控制理论第五章

控制理论第五章第1页，共98页，2023年，2月20日，星期五第五章线性定常系统的综合本章主要内容：线性反馈控制系统的基本结构及其特性极点配置问题系统镇定问题状态观测器第2页，共98页，2023年，2月20日，星期五反馈经典控制理论：现代控制理论：输出反馈输出反馈状态反馈选择反馈信号的形式和强度（反馈系数）使闭环控制系统的性能满足设计要求。5.1线性反馈控制系统的基本结构及其特性第3页，共98页，2023年，2月20日，星期五输出反馈状态反馈一、反馈类型系统：输出——参考输入反馈输出——状态微分反馈第4页，共98页，2023年，2月20日，星期五状态反馈原系统：反馈控制律：参考输入实反馈增益矩阵状态状态反馈闭环系统：第5页，共98页，2023年，2月20日，星期五状态反馈原系统：反馈控制律：状态反馈闭环系统：第6页，共98页，2023年，2月20日，星期五原系统：状态反馈闭环系统：系统维数不变；选择K改变系统特征值（闭环极点），改善系统性能。第7页，共98页，2023年，2月20日，星期五输出——参考输入v反馈原系统：反馈控制律：参考输入实反馈增益矩阵输出输出——参考输入反馈闭环系统第8页，共98页，2023年，2月20日，星期五反馈控制律：输出——参考输入v反馈输出——参考输入反馈闭环系统第9页，共98页，2023年，2月20日，星期五原系统：系统维数不变；选择H改变系统特征值（闭环极点），改善系统性能。输出——参考输入反馈闭环系统第10页，共98页，2023年，2月20日，星期五比较输出——参考输入反馈闭环系统状态反馈闭环系统：K相当于HC；H的选择自由度远小于K；输出反馈只相当于一部分状态反馈；输出反馈效果低于状态反馈，但方便实现。第11页，共98页，2023年，2月20日，星期五输出——状态微分反馈原系统：状态微分：实反馈增益矩阵输出输出——状态微分反馈闭环系统第12页，共98页，2023年，2月20日，星期五状态微分：输出——状态微分反馈闭环系统第13页，共98页，2023年，2月20日，星期五状态反馈输出——参考输入反馈第14页，共98页，2023年，2月20日，星期五输出——状态微分反馈三种反馈的共同点不增加新的状态变量，系统开环、闭环同维数；反馈增益矩阵都是常数矩阵，反馈为线性变换。第15页，共98页，2023年，2月20日，星期五二、反馈结构对系统能控能观性的影响状态反馈输出——参考输入反馈定理5.1.1定理5.1.2状态反馈不改变系统的能控性，但不能保证系统的能观性不变。输出反馈(参考输入)不改变系统的能控性和能观性。输出反馈(状态微分)不改变系统的能观性。第16页，共98页，2023年，2月20日，星期五反馈控制律：状态反馈闭环系统：状态反馈不影响系统的能控性第17页，共98页，2023年，2月20日，星期五例：分析引入状态反馈后的能控性和能观性。解：能控能观第18页，共98页，2023年，2月20日，星期五例：分析引入状态反馈后的能控性和能观性。能控不能观第19页，共98页，2023年，2月20日，星期五例：分析引入状态反馈后的能控性和能观性。解：极点：1、-1极点：0、0第20页，共98页，2023年，2月20日，星期五输出——参考输入反馈闭环系统反馈控制律：输出——参考输入反馈不影响系统的能控性和能观性第21页，共98页，2023年，2月20日，星期五状态微分：输出——状态微分反馈闭环系统输出——状态微分反馈不影响系统的能观性第22页，共98页，2023年，2月20日，星期五5.2极点配置问题

——利用状态反馈或者输出反馈使闭环系统的极点位于希望的位置。一、极点可配置的条件1、利用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统能控。2、利用输出——状态微分任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统能观测。第23页，共98页，2023年，2月20日，星期五状态反馈输出——状态微分反馈第24页，共98页，2023年，2月20日，星期五二、极点配置的算法

已知能控系统(A，b)，求状态反馈增益矩阵k，使闭环系统特征值为1、状态反馈极点配置的算法（1）(A,b)为任意型第25页，共98页，2023年，2月20日，星期五

判断系统的能控性计算状态反馈系统(A+bk)的特征多项式计算希望的特征多项式：令二者相等，得到反馈增益矩阵：极点配置步骤第26页，共98页，2023年，2月20日，星期五例：已知系统结构图，用状态反馈将系统的闭环极点配置在解：第27页，共98页，2023年，2月20日，星期五系统能控，可以进行任意的极点配置！设特征多项式：第28页，共98页，2023年，2月20日，星期五希望的特征多项式：对应系数相等：第29页，共98页，2023年，2月20日，星期五第30页，共98页，2023年，2月20日，星期五（2）(A,b)具有能控标准型第31页，共98页，2023年，2月20日，星期五第32页，共98页，2023年，2月20日，星期五极点配置步骤

计算状态反馈系统(A+bk)的特征多项式计算希望的特征多项式：令二者相等，得到反馈增益矩阵：第33页，共98页，2023年，2月20日，星期五例：已知线性定常系统，确定系统的状态反馈，将系统的闭环极点配置在解：判断系统能控性能控标准型，能控！设第34页，共98页，2023年，2月20日，星期五特征多项式：希望的特征多项式：对应系数相等：第35页，共98页，2023年，2月20日，星期五第36页，共98页，2023年，2月20日，星期五(A,b)不具有能控标准型，也可以先通过线性变换成能控标准型，进行状态反馈的极点配置，设计好状态矩阵后，再通过线性变换得到原系统的状态反馈矩阵第37页，共98页，2023年，2月20日，星期五

已知能观系统(A，c)，求输出反馈增益矩阵g，使闭环系统特征值为2、输出——状态微分反馈极点配置的算法第38页，共98页，2023年，2月20日，星期五

判断系统的能观性计算输出反馈系统(A+gc)的特征多项式计算希望的特征多项式：令二者相等，得到反馈增益矩阵：第39页，共98页，2023年，2月20日，星期五例：已知线性定常系统，确定系统的输出反馈矩阵，使系统的极点配置在-5和-8.解：系统能观测，可以通过输出反馈进行极点配置！第40页，共98页，2023年，2月20日，星期五特征多项式：希望的特征多项式：第41页，共98页，2023年，2月20日，星期五第42页，共98页，2023年，2月20日，星期五5.3系统镇定问题

——通过反馈，是闭环系统稳定。不变特性！选择使能控部分的均具有负实部无法通过状态反馈改变不能控部分的必须渐近稳定第43页，共98页，2023年，2月20日，星期五当且仅当线性定常系统的不能控部分渐近稳定时，系统是状态反馈可镇定的。不变特性！选择使能控部分的均具有负实部无法通过状态反馈改变不能控部分的必须渐近稳定第44页，共98页，2023年，2月20日，星期五例：已知线性定常系统，能否通过状态反馈使系统的极点配置在{-2，-2，-1}、{-2，-2，-3}？解：判断系统能控性！能控性分解第45页，共98页，2023年，2月20日，星期五能控子系统希望的特征多项式不可改变不能控子系统第46页，共98页，2023年，2月20日，星期五希望的特征多项式状态反馈不能改变不能控部分的极点-1，所以不能通过状态反馈将极点配置在{-2，-2，-3}第47页，共98页，2023年，2月20日，星期五同理可证：系统输出反馈能镇定的充分必要条件是能控能观系统可镇定，其余部分渐进稳定。第48页，共98页，2023年，2月20日，星期五状态反馈原系统：反馈控制律：参考输入实反馈增益矩阵状态状态反馈闭环系统：5.4状态观测器第49页，共98页，2023年，2月20日，星期五状态反馈原系统：反馈控制律：状态反馈闭环系统：从何而来？第50页，共98页，2023年，2月20日，星期五状态反馈原系统：反馈控制律：状态反馈闭环系统：状态观测器第51页，共98页，2023年，2月20日，星期五原系统：利用A、B、C、u建立状态观测器：状态不易或者不能测量时，建立状态观测器：作用：重构（估计）状态，实现状态反馈第52页，共98页，2023年，2月20日，星期五理想观测器：实际观测器：存在条件第53页，共98页，2023年，2月20日，星期五原系统：利用A、B、C、u建立状态观测器：估计状态与实际状态的误差：收敛误差动态方程：第54页，共98页，2023年，2月20日，星期五第55页，共98页，2023年，2月20日，星期五原系统：状态观测器：误差动态方程：观测器系统矩阵第56页，共98页，2023年，2月20日，星期五第57页，共98页，2023年，2月20日，星期五原系统：状态观测器：误差动态方程：观测器系统矩阵有负实部选择G实现第58页，共98页，2023年，2月20日，星期五系统能观测！输出反馈配置观测器极点！第59页，共98页，2023年，2月20日，星期五

已知能观系统(A，c)，求输出反馈增益矩阵g，使闭环系统特征值为输出——状态微分反馈极点配置第60页，共98页，2023年，2月20日，星期五例：为以下系统设计状态观测器，使观测器的两个极点都配置在-10。解：判断系统能观性！系统能观，可以任意设计观测器的极点。设：第61页，共98页，2023年，2月20日，星期五特征多项式：对应系数相等：希望的特征多项式：第62页，共98页，2023年，2月20日，星期五5.5解耦控制

对于一个多输入多输出的系统

假设输入向量和输出向量的维相同（即r=m），且。则输出和输入之间的传递关系为

第63页，共98页，2023年，2月20日，星期五将其展开后有

上式可见，每一个输出都受着每一个输入的控制，每一个输入都对每一个输出会产生控制作用。我们把这种输入和输出之间存在相互耦合关系的系统称作耦合系统。

耦合系统要想确定一个输入去调整一个输出，而不影响其它输出，几乎是不可能的。设法消除这种交叉耦合，以实现分离控制。第64页，共98页，2023年，2月20日，星期五即；实现每一个输出仅受相应的一个输入的控制，每一个输入也仅能控制相应的一个输出，这样的问题就称为解耦控制。

系统达到解耦后，其传递函数矩阵就化为对角矩阵，即

（5-34）

第65页，共98页，2023年，2月20日，星期五

在对角矩阵中，系统只有相同序号的输入输出之间才存在传递关系.

多输入多输出系统达到解耦后，就可以认为是由多个独立的单输入单输出子系统组成.图5-6解耦系统第66页，共98页，2023年，2月20日，星期五

要完全解决上述解耦问题，必须

解决两个基本点方面的问题，

一是确定系统能解耦的充要条件；二是确定解耦控制规律和系统的结构。这两个问题因解耦方法不同而不同。

线性系统解耦常用的方法有两种。一种方法是在被解耦系统中串联一个解耦器，称为串联解耦，这种方法会增加系统的维数。另一种方法是状态反馈解耦，这种方法不增加系统的维数。

第67页，共98页，2023年，2月20日，星期五

对于具有耦合关系的多输入多输出系统，其输入和输出的维数相同。串联解耦就是采用输出反馈加补偿器的方法来使其得到解耦，其结构如图5-7所示。

5-7串联解耦系统的结构图

图中，被控对象的传递函数矩阵，串联解耦器的传递函数矩阵。

5.5.1串联解耦

第68页，共98页，2023年，2月20日，星期五

，，

（5-35）

为控制系统的开环传递函数矩阵。当系统达到解耦以后，就是一个非奇异的对角阵，求解出系统的开环传递函数矩阵为

（5-36）

闭环系统有下列关系

第69页，共98页，2023年，2月20日，星期五

为对角阵，则也是对角阵，是两个对角阵的乘积，它必然是对角阵。

开环传递函数矩阵

当存在时，则通过

（5-37）

即可解出串联解耦器的传递函数矩阵。第70页，共98页，2023年，2月20日，星期五

例5-7已知双输入双输出系统被控对象的传递函数矩阵为。根据题意，要求闭环传递函数阵为。

，

试求解耦器的传递函数矩阵．

解系统开环传递函数为第71页，共98页，2023年，2月20日，星期五可得解耦器的传递函数矩阵为

第72页，共98页，2023年，2月20日，星期五

上式所求出的解耦器的传递函数矩阵中，和是比例积分（PI）控制器，是

第73页，共98页，2023年，2月20日，星期五是比例积分微分（PID）控制器．串联解耦系统的结构图如图5-8所示．

图5-8串联解耦系统的结构图第74页，共98页，2023年，2月20日，星期五5.5.2反馈解耦

对于输入和输出维数相同的具有相互耦合的多输入多输出系统，采用状态反馈结合输入变换也可以实现其解耦。

设多输入多输出系统，如果采用输入变换的线性状态反馈控制，则

式中，－的实常数反馈阵，－的实常数非奇异变换阵，－维的输入向量。其结构图如图所示

第75页，共98页，2023年，2月20日，星期五

5-9状态反馈解耦系统的结构图

图中，虚线框内待为解耦的系统。第76页，共98页，2023年，2月20日，星期五

带输入变换状态反馈闭环控制系统的状态空间表达式为

则闭环系统的传递函数矩阵为

如果能找到某个阵和阵，使变为对角阵，就可实现系统的解耦。问题是如何求阵和阵，以及在什么条件下通过状态反馈可以实现解耦。

第77页，共98页，2023年，2月20日，星期五（1）传递函数矩阵的两个特征量

定义

若已知待解耦系统状态空间表达式，则是0到之间使下列不等式

成立的最小的整数。式中，是矩阵的行向量。当下式

，成立时，则取

第78页，共98页，2023年，2月20日，星期五

若已知待解耦系统的传递函数矩阵，为的第行传递函数向量，即

再设为的分母多项式的次数和的分子多项式的次数之差，则定义为

，第79页，共98页，2023年，2月20日，星期五

定义

若已知待解耦系统状态空间表达式，则为

若已知待解耦系统的传递函数矩阵，则为

，

，）

第80页，共98页，2023年，2月20日，星期五（2）能解耦性判据

定理待解耦系统，采用状态反馈和输入变换进行解耦的充分必要条件，是如下矩阵为非奇异第81页，共98页，2023年，2月20日，星期五（3）积分型解耦

定理

若系统是满足状态解耦的条件，则闭环系统是一个积分型解耦系统。状态反馈阵和输入变换阵分别为

其中，维的矩阵定义如下

第82页，共98页，2023年，2月20日，星期五闭环系统的传递函数矩阵为

第83页，共98页，2023年，2月20日，星期五

利用该控制规律可以使系统解耦.得到的只是积分型解耦。由于积分解耦的极点都在s平面的原点，所以它是不稳定系统，无法在实际中使用。在积分解耦的基础上，对每一个子系统按单输入单输出系统的极点配置方法，用状态反馈把位于原点的极点配置到期望的位置上。第84页，共98页，2023年，2月20日，星期五（4）解耦控制的综合设计

对于满足可解耦条件的多数入多输出系统，应用和的输入变换和状态反馈，已实现了积分解耦。

系统积分解耦后状态空间表达式为

（5-52）

式中，，。

第85页，共98页，2023年，2月20日，星期五

当为完全能控时，仍保持完全能控性。但要判别系统的能观测性，当为完全能观测时，一定可以通过线性非奇异变换将化为解耦标准型，即

第86页，共98页，2023年，2月20日，星期五其中,,

线性变换阵用下列公式计算

，

，

第87页，共98页，2023年，2月20日，星期五

，

设状态反馈矩阵为

其中

，

第88页，共98页，2023年，2月20日，星期五

对应于每一个独立的单输入单输出系统的状态反馈阵。

闭环系统的传递函数矩阵为

仍然是解耦系统，其中

第89页，共98页，2023年，2月20日，星期五则

当依据性能指标确定每一个子系统期望的极点，即已知时，各子系统期望的特征方程为

让和对应系数相等，即可求出以及。

第90页，共98页，2023年，2月20日，星期五

对原系