近世代数 B（答案）

本文格式为Word版，下载可任意编辑——近世代数B（答案）近世代数B卷答案

一．填空题（20分，每空2分）

1．写出Z18的其中三个对于加法的非平凡子群，和。

（Z2,Z3,Z6,Z9任意写出三个即算对）

2．写出整环的定义在一个含单位元的环R中，若没有零因子，且任意两个元素关于乘法可交换，则R为一个整环。

3．n维向量空间上的所有线性变换关于加法?与乘法o（即变换的复合）可构成一个环。

4．

?Ui?i?I为某集合A上的一个划分，则对于任意的m,n?I，且m?n

?Un??

k则Um5．设G??a?为一个n阶循环群，若a?1，当且仅当n|k。

6．假使E/F为域的扩张,称元素??F为域F上的超越元,指若在F上，存在一

na,a,...,aa?a??...?a??0，当且仅当a0,a1,...,an全为零。01nn组数使得017．一个循环置换?12...r?的阶数o?12...r?=r.8．阶最小的域为Z2

二.判断题(15分,每题3分)

1．若D为一个主理想环,则D中的每一个子环都是主理想（错）2．整环中任意两个元素不一定有最大公因子（对）3．一个环的极大理想是唯一的（错）4．一个群一定不能表示成两个及两个以上的真子群的并（错）5．一个带有乘法的有限集合G，满足乘法的结合律和消去律，

则G是一个群（对）

三．计算分析题（共40分每题8分）

1．在环Z12中，⑴求出Z12中所有的零因子；⑵求出x?4在Z12中的解

2⑴由于2?6?0,3?4?0,3?8?0,4?9?0,6?10?0,所以Z12中所有的零因子为2,3,4,6,8,9,10；

⑵由于Z12?{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}，所以将这12个元素依次平方，得到

x2?4在Z12中的解为2,4,8,10

2．将置换????1234567??写成若干个互不相交的循环置换的乘积，并

?4162753?求出?在S7中关于乘法的阶

由题意得，??1??4,??4??2,??2??1,而??3??6,??6??5,??5??7,??7??3,因此???142??3657?

又由于?142?的阶为3，?3657?的阶为4，因此?在关于乘法的阶为[3,4]=12

3．在有理数域Q上，（1）求出

1?5和3?2i在Q上的微小多项式，并证明你所给2出的多项式分别为

1?5和3?2iQ上的微小多项式;（2）而在复数域C上，这两个数的2微小多项式为多少？（不必给出证明）

（1）

2（i）设f?x??x?x?1，则f???1?5?1?5?0，而的微小多项式显然不是常数，??2?2?若存在一个Q上首1的一次多项式g?x??x?a,a?Q为1?51?5的微小多项式将22?1?5?1?51?51?5g??a?0,即a?,带入g?x?，得?与a?Q矛盾，因此的极??2?222??小多项只能为f?x??x?x?1

2（ii）设h?x??x2?6x?11，则h3?2i?0，同理可以证明在Q上不存在次数小于等于一的多项式k?x?使得k?x??0，即3?2i在Q上的微小多项式为

??h?x??x2?6x?11

(2)复数域C上，1?51?5的微小多项式为f(x)?x?，3?2i的微小多项式为22h?x??x?3?2i

4．设F为一个域，且F?125，若a,b?F，化简?a?b?

5??由于F?125有限，

所以对于?x?0?F，?k?N?使得kx?0，

所以charF???，

又根据无零因子环的性质，charF?p为一个素数，又由于x，由x生成的加群为F的一个子加群，所以x的阶整除F的阶又由于x的阶等于charF?p所以素数p整除125因此p?5又由于

?a?b?p??a?b?55322345?a?5ab?10ab?10ab?5ba?b因此?a?b??a5?b5

54

5.求环Z143中所有为域的子环，并设a?25,b?16，求出a?b,a?b,ab在其中一个域中所在的等价类

由于143?11?13

又由于11和13都是素数，

所以Z143的两个非平凡子环Z11,Z13为域①在Z11中，a?b?a?b?8

a?b?a?b?9，ab?ab?4②在Z13中，a?b?a?b?2

a?b?a?b?9，ab?ab?10

（①和②只要写出一个即可）

四．证明题（共25分）

??cos?1．（7分）设M?????sin??sin???|0???2??

cos????⑴证明M为一个群

⑵找出M中一个阶数为12的元素，并给出证明

⑶M中是否存在一个同构于Z6的子群，若有请找出，若没有请证明你的结论

（1）

方法（Ⅰ）①

由矩阵乘法的性质得

M中关于乘法满足封闭性和结合律②

所以若取?0?0，

?cos?0?sin?0??sin?0??cos0?sin0????I??cos?0??sin0cos0?所以对于任意的0???2?，

?cos??sin???sin???cos0?sin0??cos0?sin0??cos??????sin0cos0???sin?cos??sin0cos0???????cos??sin?????I??sin?cos???cos????sin??sin??cos????sin??cos???

?cos0?sin0?所以?为M中的单位元??sin0cos0?③

任取0??,???，则

?cos??sin???sin???cos?,??cos???sin??sin???M?cos???sin???cos??????sin?????????sin???cos???cos??????????cos?可以推出??sin??sin???cos???cos????sin?所以若取????2?，即??2???则

?cos??sin???sin???cos????cos???sin??sin???cos??????sin??????????cos???sin?????cos???????cos2????sin2??10?????01??sin2??cos2???

?cos?所以对于任意的??sin??sin???M，cos????sin??的逆元?cos?