莆田学院期末考试试卷

莆田学院期末考试试卷(A)卷

2007——2008学年第二学期

课程名称：高等代数适用年级/专业:07数学与应用数学、信息与计算科学

试卷类别开卷()闭卷(()学历层次本科考试用时120分钟

《考生注意:答案要全部抄到答题纸上,做在试卷上不给分》

一、填空题(每小题4分，共12分)

1.已知a}=(1,2,1,-2),a2=(2,3,1,0),a3=(1,2,2,-3),则£(%,%，/)的维数为

①，此生成空间的一组基为②.

2.已知0=(1,1,1),4=(1,1,0)03=(1,0,0)是尸3的一个基，由基与=(1,0,0),

s2=(0,1,0),=(0,0,1)到基a,%,区的过渡矩阵为_______®_____________，

向量/?=(a,b,c)关于基的坐标为____________②_______________.

,2-12、

3.设是3维欧氏空间『的一组基，这组基的度量矩阵为一12-1,

-12)

则向量J=/+%的长度已为.

二.(28分)已知二次型+2x/+2%3?+2%1%2+2玉%3+2办213，

通过某个正交线性替换可化为标准形/=疗+货+4*,

(1)写出二次型/的矩阵N及N的特征多项式，并确定a的值；

(2)求出作用的正交线性替换；

(3)二次型/是否正定？求出/的正惯性指数。

1234

o123

三.(16分)已知复系数矩阵/=O012

001

(1)求矩阵4的行列式因子、不变因子和初等因子；

(2)求矩阵/的若当标准形；

(3)求矩阵4的有理标准形。

四.(16分)设P是数域P上的n维线性空间，沙,〃'为忆的两个子空间，并且

%=%㊉%'，任取ae/,设a=4cG%'，定义变换b：cr((7)=ax

(1)证明：。是上的线性变换且/=<T；

(2)证明：aV=W,尸(0)=仍；

(E0、

(3)证明：a在某组基下的矩阵为'，其中耳,为r级单位矩阵，请指出r等于

什么？

五.(10分)设片,是线性空间v的一组基，工，工，工是它的对偶基，

G=2]—q，+*2+J，以3=J+q9

(1)证明：6，。2，。3也是V的一组基;

(2)用工，工,工表出6，。2，。3的对偶基。

六.(8分)设「是一个n维欧氏空间，%,火，…,%，为%中的正交向量组，令

W={a[(a,aj=0,aeV,i=1,2,…,s}

(1)证明：%是P的一个子空间；

(2)证明：,J。

试卷第2页共4页

七.（10分）1、设0■是〃维欧式空间V的一个线性变换。证明：如果（7满足下列三个条

件中的任意两个，那么它必然满足第三个：

（i）。是正交变换；

（ii）疗是对称变换；

（iii）£=£是单位变换。

2、若。是一般欧式空间V上的线性变换，上述结论是否成立？

（以下不要）

七.（6分）设48是两个"X〃实对称矩阵，且8是正定矩阵。证明存在一“X”实可逆

矩阵，使得TNT与T5T同时为对角形。

四、设P是全体次数不超过〃的实系数多项式，再添上零多项式组成的实数域上的线性

空间，定义P上的线性变换T：

T(f(x))=xf\x)-f(x),V/(x)eV

(1)写出线性变换丁在基1,X,V,…,x"T下的矩阵；(4分)

(2)求7的核厂(0)和值域TP；(6分)

(3)证明：/=7"(0)㊉7V.(6分)

二、已知二次型/a，%,%?)=2%；+3%；+3%；+2ax2%3，3〉。)

通过某个正交变换可化为标准形/=无+2戈