数学分析释疑解惑

数学分析释疑解惑h

释疑解惑

第一章实数集与函数

§1实数

问题1为什么2.001与2.0009999”表示同一实数？

答因为0.001=U=3X=3X0.0003333„10003000

=0.0009999„,

于是2.0001与2.0009999,,表示同一实数.为了实数的无限十进小数表示的唯一性，

约定把2.001表示为2.0009999,,.

问题2为什么有理数p（p,q为互质的整数，q#0）可以表示为无限十进循环小数？q

答不妨设有理数p£（0,1）,p<q.由实数的阿基米德性可知：存在al和rl,使得

q

10p=alq+rl,0WalW9,OWrlWqT,

（注:对lOp,q,（i）若10p<q,则al=0,rl=10p；（ii）若10p=q,则al=l,

rl=0；（iii）若10p>q,

由实数的阿基米德性，存在正整数al,0〈alW9,使得（al+1）q>10p,alqWlOp,于是

rl=10p-alq.）于是

rrpall1,OW1<qlOlOqlOqlO

同样成立

10rl=a2q+r2,0Wa2W9,0Wr2WqT,

于是

rlarr2a2r2pall2

22,0W<,2222210ql010qql01010ql0ql0

重复以上步骤可得

palqrl

lOrla2qr2

，，，，，，，，（L1z

rn1anqrn,0WanW9,OWrnWqT,于是有

arrnapall2

2nnn,0W<,nnnqlOlOlOlOqlOqlO

这样

p=0.ala2an.q

因为上述各式中的余数rn为｛0,1,2,,,,q-l｝中某数，于是等式组（1.1）从某个n

开始重复，即P是无限十进循环小数.q

§2数集•确界原理

问题I非空有界数集S的上确界是否是S中的最大数？下确界是否是S中的最小数？在

什么情况下，非空有界数集的上确保是最大数，下确界是最小数？

答如果一个数集S的最大（小）数存在，则它就是S的上（下）确界，有限数集必有

最大（小）数，故有限数集必有上（下）确界.而无限集S的上（下）确界就不一定是S

的最大（小）数.例如数集

1nS11n1,2,n

可证

supS=l,infS=-l.

先证supS=l,注意到n=2k,且n充分大时，（-1）

1n（i）n,11Wl；n

（ii）>0,当

同理可证infS=T.但是supS,infS关不是S的最大、最小数.

若非空有界数集S的上确界supSS,则supS是最大数；若S的下确界infSS,

则infS是最小数.故对于有界无限数蒋来说，其上（下）确界可以看作最大（小）数的

推广.

问题2怎样给出无下界数集和无界数集的正面了陈述？

答无下界集：设数集SR,若L,XS,使得x〈L,则称S是无下界集.

无界集：设数集SR,若M>0,xS,使得|x|刈，则称S是无界集.

例如，S=n1n1,2,是无下界集.这是因为L,n=n

比较有界集与无界集的定义，把有界集定义中“M>0”换成“M>0"；“xS”换

成“xS”；

不等式换成，即可得无界集的正面陈述.无上界集的含义是任何M

都不是数集的上界.把数学形式的陈述与其直观意义结合在一起理解，有利于掌握否定形

式的陈述.

问题3怎样给出数不是数集S的上确界的正面陈述？

答若不是数集S的上确界，则或者不是S的上界，或者是S的上界，但不是最

小上界.于是数不是数集S的上确界的正面陈述为：

(i)xOS,使得x0>；或者

(ii)0<,xS,xW0.

§3函数概念

问题1设狄利克雷函数，x为有理数，

,x为无理数，

g(x)=l,|x>1,试问复合函数f°g和g°f是否存在？x

答设有两函数

y-f(u),uD,u=g(x),xE,

记E*={xg(x)D}CE,若E*W0,则f与g可以复合成函数

y=f(g(x)),xE*.

1,u为有理数，

⑴对f(u)=D=R,g(x)=

W0,

0,u为无理数,

于是f与g可以复合成f°g,其定义域为E.

(2)对g(u)=L|x|>l,E={x||x|>l},有E*={x|g(x)D}nE=Exl,D={u||u|>l),u

1,x为有理数，

f(x)=E=R

0,x为无理数，

E*={x|f(x)D}C1E=0,

于是g与f不能复合为g°f.

xR是否正确？若不正确，问题2等式arcsin(sinx)=x,它与f

是f的反函数)是否有矛盾？1lxD(其中ffxx,

答xR,等式arcsin(sinx)=x是错误的.这是因为arcsiny是反正弦函数的主

值，arcsinyW

当

2W2,arcsin(sinx)的值应当取在［2,2］上.

于是

这与f1fxx,xD并不矛盾.这是因为定义反函数f1时，

yfD,规定D中有且

］上，则等式仅有一个x使得f(x)=y；但现在是y［1,1］,有无限多个xR,

使得sinx=y.如果把x的取值限制在［

2,

2

arcsin(sinx)=x,x［2,2］是正确的。

§4具有某些特性的函数

问题1怎样给出数集D上无上(下)界函数和无界函数的正面陈述？

答在D上无上界函数f(x)的定义如下:

M,xOD,使得f(xO)》M；

在D上无下界函数f(x)的定义如下：

L,xOD,使得f(xO)<L；

在D上无界函数f(x)的定义如下：

M>0,xOD,使得f(xO)划.

问题2由§2,习题7可知：若A,B皆为有界数集，则有

sup(A+B)=supA+supB.(4,1)

而本节教材例2中，若f,g为D上的有界函数，则

sup{f(x)g(x)}Wsupf(x)+supg(x)(4,2)

xDxDxD

而且可能成立严格不等式.上面二式(4.1)与(4.2)是否有矛盾？为什么？

答(4.1)与(4.2)并不矛盾，这是因为

{f(x)+g(x)xD)(f(x)|xD}+(g(x)xD},(4.3)

而且在包含关系(4.3)中左、右两边的集合可能不相等.例如,f(x)=x,g(x)=-x,

D=[0,1],易见

{f(x)+g(x)XD}={0},

{f(x)|x[0,1]}+{g(x)|x[0,1]}=[-1,1L

于是

{f(x)+g(x)xD}{f(x)|xD}+{g(x)|xD).

出现不等的原因在于数集{f(x)|xD)+{g(x)xD}中x是独立地取自D中,若把

(4.3)式中左、右两边的数集看作相同而应用(4.1),将导致错误的结论.

问题3试问周期函数的定义域是是否必定是(-8,+8)?

答否.例如f(x)=x,其周期C=2由此可见周期函数的定义域不一定为(-8,+8).

问题4试问周期函数是否必定有基本周期(最小正周期)？

答否.例如，常数函数，狄利克雷函数都是周期函数.任何正实数都是常数函数的周

期，任何正的有理数都是狄利克雷函数的周期，但是这两个函数都无最小正周期(见本节

习题第10题).

问题5一般定义在区间I上的函数f不一定是单调的.试问是否必定有在一个子区间

I*I,使得f在I*上是单调的？

答否.例如狄利克雷函数不存在单调子区间(参见范例3).问题6怎样给出函数f

在区间I上不是严格单调的正面陈述？答

f在I上不是严格单调f在I上不是严格递减，也不是严格递增；

f在I上不是严格递减al,a2I,al<a2,f(al)^f(a2)；f在I上不是严格递增

a3,a4I,a3<a4,f(a3)>f(a4).第二章数列极限

§1数列极限概念

问题1如何用适当放大Iana|的方法，按e-N定义验证数列极限？

答在用£-N方法验证limana时，常用的一种方法是：〉0,把ana：适当放大

后化为

n

|ana|W,,WG(n)<e,

而由G(n)<E比较容易求得Nl,当n>Nl时G(n)<£,即有|ana|<e.注意：

(1)G(n)仍应是无穷小数列(放大要适当)：(2)由G(n)<e容易求得Nl；

(3)为了放大过程的方便，有时需要预先假定n>N0,最后取

N=max|N0,Nl|.

3n23n299

3时，例如本节教材第24页中，在例3验证lim2取N0=3,G(n)二，由23«

nn3n3nn

999

£又得Nl二(也可取Nl=),最后得到N=max{3,},在例4验证limqn=0(|q|<1)

时，取

n

G(n)二

mi

1,由|qn-O|<，这里h=<£易解出N三又在例5验证lima1(a>l)时，

n|q|hnhnh

1

alala1

取G(n)=，由an-lW<£易解出N=.这些例题都是这样处理的.

nn

问题2如何用£-N方法给出limana的正面陈述？并验证|n21和|(l)n|是发散数列.

n

答limana的正面陈述：0>0,NN,n2N,使得

n

|ana|20

数列｛an｝发散aR,limana.

n

(1)O=ann2.a,

2

11

，只要取nmaxa,N,便可使|n2a|2n2|a|NN,

24

11

2a|a|2,于是｛n2｝为发散数列.

24

(2)an(l)n,若a=l,0=1,取n为任何奇数时，有|an1|2>0.若

a=-l,0=1,取n为任何偶数时，有|an(1)|2>0.若a#1,0二有

fana|20.故|(l)n|为发散数列.

1

对任何nN,min｛|a11,|a11｝,

2

§2收敛数列的性质

问题1数列｛an｝的子列｛an｝的下标nk,是n在变动还是k在变动？

k

答子列列n｝的下标nk是随着k变动的.例如如2k｝是由由n｝中偶数项组成的子列,其

中

k

nk=2k.子列的下标nk满足①nk<nk1；②nk'k.这是子列下标的两个基本性质.

问题2如何从limana,推得存在0>0和｛an｝的子列｛an｝,使得

n

k

|an-a|20?

k

答这是因为limana,于是0>0,N>0,n>N,使得

n

Ian-a|20.

取N=l,nl>l,使得|an-a|N0,

1

取N=l,nl>l,使得|an-a|20,

2

，，，，，，，，

取N=nk1,nk>nk1,使得|an-a20,k

，，，，，，，，

这样就选出｛an｝的一个子列｛an｝满足

k

Ian-a|.0

k

注这是由limana选出子列｛an｝,使得|an-a0的方法.这种方法在以后类似的

的问题

n

k

k

中将会多次遇到.

§3数列极限存在的条件

问题1如何给出柯西收敛准则的否定形式的正面陈述？答柯西收敛准则的否定形式

是：

｛an｝发散0>0,N>0,n0,mO>N,使|anam|20.它的直观意义是：总存在

正数

0,不论N怎样大，总存在大于N的n0,血），使得an与am之间的距离大于或等于0.

上述准则的一个重要应用是可以用它证明数列的发散性,例如an=l+这是因为：0=

11

+,,+为一发散数列.2n

1

n,2n>N,使得2111nl

2|aba2n|.

nIn22n2n2

这个结论在级数理论中将有重要的作用.

问题2试对验证数列收敛和发散的一些充要条件或充分条件加以总结.答验证数列收

敛的一些方法如下——(1)按定义验证：

limana>0,N,n>N,有|an-a|<£.

n

(2)用邻域形式验证：

limana>0,在U(a；e)外最多只有数列｛an｝中有限项.

n

(3)子列定理：

limanaanan,有limana.

n

k

k

n

k

｛an)收敛anan,有｛an｝收敛.

k

(4)柯西准则：

an|收敛>0,N,n,m>N,有Iana|<E.

(5)单调有界定理：若an单调有界an收敛.

(6)迫敛性：若anWcnWbn,且liman=limbn=a,则limcn=a.nnn

验证数列发散的•些方法如下

(1)按极限定义的否定形式验证:

an发散a,limanWa.n

a|，0.limanWa0>0,N,n>N,|ann

(2)用邻域形式验证:

limanra0>0,在U(a;0)外存在数列an中无限多项.n

(3)用子列验证:

若anan,an发散an发散.kk

an,limana,若两个子列ank

nkkkaa,1imaa,nknk

aaan发散.

(4)用柯西准则否定形式验证：

an发散0>0,N,n0,mO>N,an

⑸若数列an无界an发散.

0am20.0

第三章函数极限

§1函数极限概念

问题1在函数极限的e-6定义中，怎样理解e的“任意”和“给定”这两个性质?

答£-6方法是用“静态”的定量形式描述动态的极限过程.“对给定的£>0,

>0,当0〈|xx0|<6时，有|fxA|<e"，形式上是一个“静态”的描

述；当e变动趋向于零时，一系

列“静态”描述就刻画了动态的极限过程.由此可见正数e的“任意”和“给定”这

两个特性在上述过程中是相辅相成的.

问题2试总结当fx为分式时，用e-3方法验证limfxA的具体步骤.

xx0

答(1)简化分式fx的形式：当分子分母有当xx0时的零化因子xx0时，

则应消去这些因子.

(2)把|fxA|化简为下述形式：

|fxA=xxx0.

(3)选取合适的n>0,当XU(x0;)时，估算得XWM,即估计X在

U(x0;)内的上界.

(4)对任给e>0,求得min,,当0<xx0<8时，fxA|<E.

M

问题3如何给出limf(x)A和limf(x)A的正面陈述？xxOx

答limf(x)A的正面陈述：xxO

0>0,0,x,0<xx0<,使得

f(x)A20.

或者用邻域形式叙述为：

存在0>0,无论多么小，在点X。的空心邻域U°(xO;)内总存在点X,使得

f(x)U(A;0).xlimf(x)A的正面陈述：

0>0,M0,x>M,使得

f(x)A>0.

或者：存在0>0,无论M多大，在U()xxM中总存在点x,使得

f(x)U(A;0).

§2函数极限的性质

问题1区间(a,b)上的函数f(x)若在定义域中每点处局部有界，试问f(x)是否在

(a,b)上有界？是否存在(a,b)上的函数f(x),它在定义域中任何点处都不是局部有

界的？

答设函数f(x),x(a,b),xO(a,b),若存在U(xO),f(x)在U(xO)内有界，则称

f(x)在

xO局部有界.函数的局部有界性是局部性概念，而函数在(a,b)上的有界性是整体性

概念，两者

含义不同.

(a,b)上的有界函数一定在(a,b)内每点局部有界；但在(a,b)内每点处局部有

界的函数不一定是有界函数.例如：

f(x)

1

,x(0,1).x

xxO

xO(0,1),lim

11，由函数极限的局部有界性定理可知f(x)在点xO处局有部界，但是xxO

f(x)在(0,1)上是无界的.

存在(0,1)上的函数f(x),它在(0,1)内任何点都不是局部有界的.例如：定义在

(0,1)

上的函数

P

当x,p,q为互质正整数，

qf(x)=

0,当x为(0,1)内的无理数.

xO(0,1),有理数列xk,严格递增，且xkxO.设xk

pk

,数列｛qk｝必定无界，这是qk

因为假如｛qk｝有界，则xk中最多有限项互不相等，与xk的严格递增性相矛盾.

对xO的任何邻域

U(xO),K0,当k>K时，xkU(xO).由｛qk｝的无界性，M0,xk(kK),使得

f(xk)qkM,即f(x)在点xO的任何邻域内无界，即f(x)在(0,1)中任何点处都不是

局部有

界的.

问题2极限除法法则(2.4)中为什么只假设limg(x)0,而不假设晨x)0?

xxO

答若limg(x)0,由函数极限局部保号性，邻域U(xO),xU(xO),f(x)W0,

这就

xxO

limf(x)f(x)xf(x)x保证了分式在U(xO)内有意义，且lim.

xxg(x)g(x)limg(x)

xxO

若只设g(x)0,有可能limg(x)0,于是极限除法法则不成立.例如

g(x)(xx0)2,当

xxO

xxO时，g(x)0,但是limg(x)0.

xxO

§3函数极限存在的条件

问题1设f为定义在U(xO)上的单调有界函数，则f(xO0)存在.但在(3.8)

中，若f为

U(xO)上的单调函数，则f(xO0)也存在，那里并不要求有界性条件，为什么？

答在那里f在U(xO)上的递增性，保证了f在U(xO)内的有下界性.这是因为取

定

xU(xO),xU(xO),有f(x)2f(x),即f(x)为f(x)在U(xO)

内的一个下界，于是

由函数极限的单调有界定理，f(xO0)infxU(xO)f(x).

问题2试述判别limf(x)不存在的各种方法.xxO

答(1)按定义验证：A,证明limf(x)WA,即xxO

xxOlimf(x)00,0,U(xO;),使得

|f(x)A20.

(2)利用归结原则:

(i)xn,limxnxO,n

limf(x)不存在xxO

limf(xn)不存在n

xn(ii)两个数列xn

xO,limxnxO,limf(x)不存在.(3.11)limxnnnxxO

)limf(xn)limf(xnnn

(3)利用函数极限的柯西准则的否定形式：

00,0,x,x,0xxO

xxOlimf(x)不存在

0xxO使得f(x)f(x)20

§4两个重要的极限

问题1为何不能直接利用不等式

nxn1111n1

11x1n(n这x〈n+l)，

11e得到lim1e?其中令n-8,由

lim1xnix

11答不等式的两边是数列1和1nn1nnInx,而中

间项是函数11,这就不能利用函xx1数极限的迫敛性来证明

lim1e.xx

为此需要定义两个阶梯函数：x

1f(x)1,nWx〈n+ln1

nNn

1g(x)1nn1,nWx<n+l,其中f(x)递增有上界，g(x)递减有下界,

limf(x)limg(x)e.于是由xx

1f(x)1g(x),x

令x-8,根据函数极限的迫敛性，证得x

1lim1e.xx

1注若不用迫敛性，也可用£一N与£一M的方法由lim1xn

lim1x

nlxllim1e证得xn1nle,这证明就留给读者.xx

§5无穷小量与无穷大量

问题1在本节教材例2中求极限

limxOtanxsinx3sinx

时，为何用等价无穷小量代换sinx~x,tanx〜x会引出错误的结果？

答由定理3.12可知，在求极限时，只有对极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷

小量来替代.而在极限式的和、差运算中的应用等价无穷小量代换时，经常会丢失高阶无

穷小量，而弓I起错误的结果.

今后在微分学中由泰勒公式可知

Itanxxx3o(x3),3

Isinxxx3o(x3),6

这里o(x3)是比x3高阶的无穷小量，于是tanxsinx

13

xo(x3),2

13

x,因2

若随意地在原式中用sinx~x,代换，将会不合理地舍弃了高阶无穷小量而导

致错误的结论.

问题2怎样给出当xxO时的非无穷大量的正面陈述？答若f(x)是当xxO时的无

穷大量，则其定义为

G0,0,xU(xO;)时，有|f(x)|〉G.

若f(x)是当xxO时的非无穷大量，则其定义为

G00,0,xU(xO;),使得|f(x)|WG0.

作为上述非无穷大量的正面陈述的应用，可以证明：若f(x)是U(xO)上当xxO时的

非无穷大量，则存在常数G0与各项互异的数列xn,虽limxnxO,但|f(xn)|WG0.这

是因为，

n

取11,xlU(xO;1),使!f(xl)WG0,

1

取2min,xlxO

2

，，，，，，，，

,x2U(xO;2),使|f(x2)；WG0,

1

取nmin,xn1xO

，，，，，，，，

,xnU(xO;n),使|f(xn)WGO,

意即对xxO时的非无穷大量f(x),存在趋向于xO的各项不相同的数列xn,而

f(xn)是有界的.

第四章函数的连续性

§1连续性概念

问题1设函数f在某邻域U(xO)内有定义，若对一列数n

1

(n1,2,)，存在n0,n2

当xxOn时，f(x)f(xO)n,试问是否能断定f(x)在点xO连续？

答在这种情况下，可以断定f(x)在点xO处连续，这是因为：

0,N,n2时，1；n2

对11,，当；Oxx,f(x)f(x)N0N02N2N

于是

0,(N)0,当xxO时，f(x)f(xO)

注上面先由e找到N,再由N找到的方法，其中N是起了中间桥梁作用，读者应当

注意这种分析技巧.条件中1可以用一列n代替n>0,limn0.n2n

问题2若f(x)在某个邻域U(xO)内有定义，如何给出f(x)在点xO不连续的正面陈

述？

答若f(x)在点xO处不连续,则limf(x)不存在，或者limf(x)存在但不等于f(xO).

其正面xxOxxO

陈述分别为：

xxOlimf(x)不存在00,0,x,xU(xO;),使得

f(x)f(x)20；(1.1)

xxOlimf(x)f(xO)00,0,xU(xO;),使得

f(x)f(xO)>0；(1.2)

例如狄利克雷函数

1,x为有理数，

D(x)=

0,x为无理数.

xOR,limD(x)不存在，于是在任意点xO为0,1和(0,1)内无理数时，黎曼函数

在这些点xxO

处连续；而当xO为(0,1)中有理数时，limR(x)R(xO),即(0,1)中有理点是黎

曼函数的不xxO

连续点.这也可直接用(1.2)验证如下：

对xOpl,0,0,取U(xO;)中无理点x,qq

|f(x)f(xO)|010q

p处不连续.q

于是由(1.2),R(x)在xO§2连续函数的性质

问题1若函数f在开区间(a,b)内一致连续，为何由此可推得f(a0),f(b0)存

在？答函数f在(a,b)内的一致连续性是f在(a,b)内的整体性质，即

0,()0,x,x(a,b),当xx时，

f(x)f(x)<.

特别当x,xU(a;)时，有xx,于是亦有

f(x)f(x)<.而这就是函数f当

xa时存在极限的柯西准则条件，于是f(a0)存在.同理f(b0)也存在.

这样就从函数f在(a,b)内•致连续性推得了f(a0),f(b0)都存在.

若定义［a,b］上的函数F(x)：

f(a0)xa,

F(x)f(x),x(a,b),

f(b0)xb,

则因limF(x)limf(x)f(a0)F(a),limF(x)limf(x)f(b0)F(b),故F(x)

为xaxaxbxb

［a,b］上的连续函数，即(a,b)内的一致连续函数f可以延拓成［a,b］上的连续函数F.

从而F(x)在

［a,b］上有界，在(a,b)内亦有界，而在(a,b)内F(x)=f(x),所以在(a,b)内一致

连续的函数必在(a,b)内有界.

注函数极限的柯西准则是函数在某点邻域中满足的局部性质，但一致连续性是区间1

上函数的整体性质，应当注意两者的区别和联系.

问题2试总结证明函数为一致连续的常用方法.

答通常有以下一些方法：

(1)按一致连续性定义验证；

(2)若函数f在区间上满足李普希茨条件，则f必在该区间上一致连续(见本节习题

14)；

(3)应用一致连续性定理；

(4)设区间II的端点cII,区间12的左端点c12,若函数f在口，12上都一致连

续，则f在

III12上一致连续.

(5)开区间(a,b)内的连续函数f(x)为一致连续的充要条件为f(a0),f(b0)都

存在.例如，f(x)sinxsinxsinx为(0,1)内的一致连续函数,这是因为lim1与

limsinl都存在.

xOxIxxx

问题3试给出区间I上的函数f(x)不一致连续的正面陈述.

答函数f在区间I上不一致连续：00,0,x,xI,满足

XX，但是

|f(x)f(x0.

§3初等函数的连续性

问题为什么说“初等函数是其定义区间上的连续函数”，而不叙述为“初等函数是定

义域上的连续函数”？

答这是因为初等函数的定义域中可能包含某些“孤立”的点.例如，函数

f(x)x21x2

是初等函数，其定义域为两点xO1,在这些点的空心邻域中函数没有定义，这里无

法讨论极

限limf(x).但在更一般的意义下，用方式定义的连续性可以容纳孤立点作为连续

点(教材下xxO

册第100页).

第五章导数和微分

§1导数的概念

问题1若函数f(x)在点xO可导，试问f'(xO)与(f(xO))'有何区别？

答f'(xO)与(f(xO))'的含义不同。f'(xO)是函数fx在点xO的导数，而(f

(xO))'是常数f(xO)的导数，即为零，例如对于f(x)=x2,有

伊(3)=2x|x=3=6,(f(3))'=(9)'=0

问题2设有分段函数

f(x)x2,x1,

x2,x1

下面是求f'+(1)和f'—(1)的一种做法：先求导数

f(x)2x,x1,

l,x1

现将X=1代入上述的导数表达式，得到

伊(1)=2•1,f'—⑴=1

试问这样做得是否正确？不对的话，应当如何求？

答：这做法不对的。分段函数f(X)在X=1处的左、右导数应当按定义求导如下:

limf,+(1)=x0(1x)212x

=x0(2x)

=0

limf'—(1)=x0lim(3x)21x=x0(1lim2)x

=-8，

于是f'+(1)=2,但f'—(1)不存在。

注由以上结果得知此函数在x=l处不可导。

问题3试问函数f(x)在x0处不通常通有几种情形？

答(1)函数在这点不连续(例如在问题2中的例子)

(2)函数在这点的左、右导数中至少有一个不存在，例如：

,x0xsinlxf(x)0,,x0,f(0)0,f(0)不存在

(3)左、右导数都在但不相等，例如：

f(x)=|x|,f'+(0)=1,f'-(0)=-1

§2求导法则

问题1记号f'(g(x))与(f(g(x)))'有何区别？

答函数f(g(x))是由函数y=f(u)用g(x)代入后所得的结果，即

f'(g(x))=f'(u)Iu=g(x)

而(f(g(x))))是函数f(g(x))=f'(g(x))♦g'(x),

因而不能混淆。

问题2设f(x)=4)(x)+W(x),g(x)=W(x)若f(x)或g(x)在点xO处可

导，则(1)(x),W(x)中至少有一个在点xO可导，上述论断是否正确？

答:不正确，若函数小(x),V(x)在xO处可导，由导数四则运算法则，f(x)="

(x)+W(x)与g(x)=祖(x)•w(x)在点xO都可导。但反之不必然。例如，巾

(x)=|x|,V(x)=—|x|在x=0处可不导处，但f(x)=巾(x)+w(x)=0,在

x=0处可导，g(x)=力(x)•w(x)

2=-|x||x|=x在x=0处也可导。

0问题3设函数f(x)在邻域U(xO)内可导，f(x0+0),f'(x0-0)为导函数在

点xO的左、

右极限，试问是否成立。

fz+(x0+0),f+(xO)是函数f在点xO的右导数，而f'(x0+0)是导函数f'

(x)在点xO处的右极限,即

f(xo)lim

x0f(xox)f(xO),x

f(xO0)limf(x)xx0

以§1问题2中的函数

f(x)x2,x1

x2,x1

为例，它在uO(1)中的导函数为

f(x)2x,x1

1,x1,

于是f(10)lim

x12x2(f(1)),If(10)lim1x1

但是f(1)不存在，于是f(xO)f(10)也可能不存在。例如：

,x0x2sinl

f(x)0.,xOx

1cos,x02xsinl

xxf(x)0,x0

这是因为

(x)2sin

f(0)lim

x0xl0

而limf(x)都不存在x0

也有可能发生下述情况：f(xO0)都存在，但f(x)在点x0的左、右导数都不存

在。例如，f(x)x,x0

1,x0

fz(0+0)=fz(xO—0)=1,但是f(x)在x=0处不连续，显然不可导，而

f(0)lim

x0

f(0)lim

x0x1XX1X

今后在第六章中应用值定理可得使

f(xO)f(xO0),f(xO)f(xO0)成立的条件。

§3参变函数的导数♦高阶导数

问题1参变量方程给出的曲线C:

是否正确？为什么？x(t)y(t)aWtW6的求导公式为

dy(t)u(t)(t)(t)2dx(t)(t)ddyd2yddyd2y答这是错误

的，按定义误认作()，这是初学时易犯(),而上面计算中把dtdxdx2dxdxdx2

的错误，正确的算法应当是

d(t)ddy()()2dydt(t)(t)(t)(t)

23dx(t)dx[(t)]dt

问题2试总结函数的高阶导数的常用求法

答高阶导数在第六章函数的泰勒展开中将起重要作用，下面列举一些常用的计算方

法：

(1)利用基本高阶导数公式表(3.5)

(2)应用莱布尼茨公式(3.6)(本节习题5.4)

(3)应用数学归纳法求函数的n阶导数(本章节习题5(6))

(4)先简化分式，然后利用高阶层数公式(本节习题5(3),(5))

(5)证明需求导数的函数满足一个微分方程，然后利用递推公式求高阶导数(本节习

题9、10)

(6)利用复数运算和欧接公式求函数的n阶导数(见范例7)

§4微分

问题1记号du,du,d(u)这三者有何区别？

2答du表示函数u的二阶微分；du表示u的第一阶微分的平方，即du；d(u)的微

分，这三222222

者有本质的差别，不能混淆。

例如u(x)x时，du2dx;duxdx;d(u)4xdx

问题2什么是“一阶微分形式的不变性？”为什么二阶微分形式不具有不变性？

答设y=f(u)是变量u的可微函数，即有

dy=f(u)du

若u又是x的可微函数u(x),于是du(x)dx复合函数y(f)(x)的微

分为22222223dyf((x))(x)dx

=f(u)du

可以把u看作自变量或看作一可微函数巾(x)时，一阶微分形式都是dyf(u)du这

称为一阶微分形式不变性，这种不变性是复合函数求导法则的另一-种表现形式。

但是二阶微分形式不具有不变性，原因在于若U(X)是可微函数，则du(x)dx是

X的函数，若u为自变量时，y对u的二阶微分为

d2yfn(u)du2(4.4)

又若u(x)为微函数，则y对x的二阶微分为

d2yd(dy)

=d(f((x))(x)dx)

(f((x))(x))dx2[f((x))((x))2f((x))(x)]dx2

f((x))((x)dx)2f((x))(x)dx2

f(u)du2f(u)d2u

上述(4.4)、(4.5)两式中相差一项f(u)d2u,这项当u为自变量时为零，因此当

u为自变量或可微函数的因变量时，二阶微分形式并不相同，即不具有形式不变性。

第六章微分中值定理及其应用

§1拉格朗日中值定理和函数的单调性

问题1若f(x)在(a,b)内严格递增，在点a处右连续，为何由此能推得f(x)在

(a,b)上严格递增？

答只需证明xa,f(x)f(a)这时存在xl,x2G(a,b)，满足a<xl<x2<x,由f

(x)在(a,b)中的严格递增性有f(xl)<f(x2)f(x),令xla,由f(x)在点

a的右连续性，

of(a)lim

xxOf(xl)f(x2)f(x)于是f(a)<f(x)

注上述命题在证明严格不等式时很有用

问题2试问应用导数极限定理时，应当注意哪些问题？

(1)在应用导数极限定理时，哪果只注意xxOf(x)存在的条件，而忽视了f(x)

在u(xO)内连续的条件，则会导致错误的结论，例如lim

f(x)x,x0,

1,x0,

f(x)在uO(O)中可导，且f(x)1,于是有lim

xOf(x)1,若认为f(0)存在，且f(0)1,

这就导致错误结论，事实上，因为f(x)在点0处不连续，当然不可导。

(2)下面是单侧导数极限定理，证明方法与导数极限定理相似。

单侧导数极限定理设函数f(x)在点xO的右邻域u+(xO)(左邻域u-(xO))中连

续，在

limlim00u+(xO)(u-(xO))内可导，且xxf(x)(xxOf(x))存在，则o

(i)f(xO)(f(xO))存在

limlim(ii)f(xO)xxf(x)(f(xO)xxf(x))00

lim(3)若函数f(x)在u(x0)内连续，在u0(x0)内可导，xxOf(x)不存在，一般

不能得到f(xO)不存在的结论，例如，函数

x2sinl

f(x)Ox

xOx0

f(x)在u(0)中连续，且在u(0)内可导，0

f(x)cos112xsin,x0xx

lim显然lim

xOf(x)不存在，但f(0)0o此例说明：导数极限定理中xxOf(x)存在是充分条

件，

但不是必要条件。

§2柯西中值定值和不定式极限

问题1下面是由拉格朗日中值定理推导出柯西中值定理的一种“证法”：

若函数f(x)与g(x)满足柯西中值定理的条件，则它们自然满足拉格朗日中值定理

的条件，于是存在(a,b)使得

f()f(b)f(a)g(b)g(a),g()baba

因为g()0,晨b)g(a)0所以把上面两式相除即得

f()f(b)f(a)g()g(b)g(a)

试问上述证明对不对？为什么？

答上面证法是错误的。这是因为拉格朗日中值定理中的值中值点，对不同的函数f

和g在同一区间［a,b］上一般是不同的，其实，上述推导过程中应当是

1,2(a,b),使得

f(1)f(b)f(a)g(b)g(a),g(2)baba

当12时，就无法通过两式相除而得出柯西中值公式。

问题2试问罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理之间有何联系？在应用时

各有什么特点？

答(1)罗辑推理关系：罗尔中值定理是借助费马定理经推导而得到的，在此基础上，

又推得另两个中植定理，即：

费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理

柯西中值定理

由此可见费马定理在微分学中的重要地位。

(2)由证明方法看：由罗尔中值定理推导拉格朗日中值定理是利用了辅助函数

f(x)f(x)f(a)f(b)f(a)(xa);ba

由罗尔中值定理推导柯西中值定理是应用了辅助函数

F(x)f(x)f(a)f(b)f(a)(g(x)g(a))g(b)g(a)

反之，在柯西中值定理设g(x)x,就得到拉格朗日中值定理；进一步更设

f(a)f(b),又得到罗尔中值定理，所以，若能首先证明柯西中值定理，则另外两个中值

定理都是它的特殊情形。

(3)从应用方面看：

(i)罗尔中值定理除了在推导另外两个中值定理时所起的关键作用外，在利用方程f

(x)=0的根的情况讨论方程f(x)0的根的分布情况也有重要作用，典型的应用见教

材1习题11>12和本书1的范例8o

(ii)拉格朗日中值定理在利用导函数的性质讨论函数的单调性方面具有特殊的作用。

函数的单调性是函数在区间上的整体性质，中值定理中的f()只是f(x)在某点的

局部性质，但因中值点的不明确性，故只能假设在整个区间(a,b)内f(x)0,并

用以推得f(x)在［a,b］上的递增性质。这里存在着整体一局部一整体的辩证关系，也就

是应用拉格朗日中值定理的实质所在。

(iii)柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，后者是利用导数讨论函数f的增量与

自变量增量比的性质，而前者是利用导数的比来讨论两个函数f与g的增量比的性质。

柯西定理的典型应用是讨论0型不定式极限。在补充了f,g在点x0处的函数值0

f(xO)g(xO)0之后，利用

f(x)f(x)f(x0)f()(介于xO与x之间)g(x)g(x)g(xO)g()

使函数值之比可以用导数之比来表示，而不定式极限的基本思想就是利用导数之比的极

限来替代函数值之比的极限，本节范例3、5就是这种类型的应用。

§3泰勒公式

问题试问泰勒公式的拉格朗日型余项和佩亚诺型余项具有什么不同的特点？

答从定理的条件看,泰勒公式的佩亚诺型余项成立的条件是f(x)在点xo存在直到n阶

导数;而拉格朗日型余项成立则要求函数f(x)在点xo的邻域内f(n)(x)连续,且存在n1

阶导函数f(n1)(x);后者所需条件比前者强.

从余项形式看,佩亚诺型余项o((xxo)n)是以高阶无穷小量的形式给出的,是一种定性

的描述;而拉格朗日型余项是用n