数学分析1期末考试试卷(A卷)

数学分析1期末考试试卷(A卷)

一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分)

1>设+=8,贝ija=______。

1双x—a)

ex-1

2、设函数/(%)=------，则函数的第一类间断点是______,第二类间断点

双X-2)

是O

3、设y=ln(x+Jl+/),则dy=。

1

4、设/(x)是连续函数，且/(x)=x+2/⑺4，则/(%)=______o

Jo

5、Jarctanx<7x=______。

Jo

二、单项选择题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分)

1、设数列x与数列y满足limX"x:0,则下列断言正确的是()。

nn8

(A)若龙”发散，则y”必发散。(B)若％“无界，则y“必无界。

(D)若工为无穷小，则以必为无穷小。

(C)若％”有界，则y“必为无穷小。

龙“

2、设函数/(%)=X国，则((0)为()o

(A)lo(B)不存在。(C)0o(D)-lo

3、若/(r)=/(x)(一00<%<+00),在(—00,0)内/'(为〉0,/〃(©<(),则

/(无)在(0,+oo)内有()o

(A)/'(九)〉0,/"(%)<0。(B)/'(%)>0/(%)>0。

(C)/,(x)<0,/,z(x)<0o(D)/V)<0,/ff(x)>0o

4、设/(x)是连续函数，且/(%)=(/(。流，则尸(x)等于()。

X

xxxx

(A)-e-f(e-)-f(x)o(B)-e-f(e-)+f(x).

xxxx

(C)e-f(e-)-fMo(D)e-f(e-)+f(x)0

1JI

5、设函数/（%）=asinx+§sin3x在尤=§■处取得极值，贝U（）。

（A）。=1,/（一）是极小值。（B）。=1,/（一）是极大值。

（C）。=2,/（；）是极小值。（D）。=2,/（不）是极大值。

三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分）

心Vl+tanx-V1+sinx

1、求lim-------------------

Dln（l+A:）

x~+ax+h,，、,

2、设.nhm---------=4,求a、b。

fx-x

x=ln(l+r)dyd-y

3、设y=y(x)由参数方程《所确定，求—

y-t+arctantdxdx~

z7f(sin2A/GC)

4、设/(x)在x=0处的导数连续，求lim

x70+dx

十于士工m八「XSH1XJ

5、求不定积分--^—dxo

‘COS'X

6、求定积分Jcos4xdxo

sin2xx<03

7、设/(x)=求|f(x-2)dxo

xe~xx>0

四、证明下列不等式（本题10分）

石，Jsinx冗

1、—<sinx<^,xe(0,—)；2、1<J------dx<—

712ox2

五、(本题10分)

设/(%)={x_n，其中g(x)具有二阶连续导数，且

g(0)=Lg'(0)=-1。

(1)求/'(无)；(2)讨论/(无)在(-8,+00)上的连续性。

六、(本题8分)

设函数/⑴在[。，”上可导，证明：存在勾，使得

2"S)-/(«)]=&-/)/©。(8分)

答案

一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）

1、设lim（正网］=8,则"In2。

x-a）---

ex-1

2、设函数/（%）=，-----，则函数的第一类间断L，第二类间断点

%（尤-2）

是2o

3、设y=ln（x+71+x2），则dy-.1dx。

Jl+/

1

4、设/（幻是连续函数，且/（%）=x+2/Q）小，则/（无）=尤一1。

5、（arctanxdx=--InV20

Jo4

二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）

1、设数列％与数列y“满足=0,则下列断言正确的是（D）。

00

（A）若%“发散，则先必发散。（B）若龙“无界，则y“必无界。

（D）若」-为无穷小，则y”必为无穷小。

（C）若x“有界，则y”必为无穷小。

2、设函数/（x）=X4则（（0）为（C）0

(A)lo(B)不存在。(C)0o(D)-lo

3、若/(一x)=/(%)(-oo<x<+oo),在(—oo,0)内/'(x)〉0J"(%)<0,则

/(九)在(0,+8)内有(C)o

(A)/(x)〉0J〃(x)<0。(B)/'(无)〉0,/"(无)>0。

(C)/'(x)<0J"(x)<0。(D)/z(x)<0,/ff(x)>0o

4、设/(x)是连续函数，且/(%)=「/⑺力，则尸(x)等于(A)o

X

xxxx

(A)-e-f(e-)-fMa(B)-e-f(e-)+f(x)a

xxxx

(C)e-f(e-)-fMo(D)e-f(e-)+fMo

1兀

5、设函数/(%)=。5巾工+)5也3%在工=1处取得极值，贝Ij(D)o

(A)a=l,/(g)是极小值。(B)a=l,/(g)是极大值。

(C)a=2J(g)是极小值。(D)a=2J(g)是极大值。

三、计算题(本题共7个小题，每小题6分，满分42分)

”.Vl+tanx-Vl+sinx

1、求lim---------------------

1)皿1+马

"a、*Jl+tanx-Jl+sinxJl+tanx-Jl+sinx

解:hm-----------；--------------------=lim----------；----------------------------..................（2分）

xf°ln(l+x)iox

1+tanx-l-sinx1tanx-sinx1

=lim—~[---]=—lim----------=—.................（6分）

/(Ji+tanx+Jl+sinx)2x4

、“，.x2+ax+b“一,

2、设hm----------=4,求。、b。

3x-x

M：,.-lim（x2+ax+b）=O=>\+a+b-O,b--（1+a）................（2分）

X->1

2

x+ax+h2X+Q-4,“八、

lim-----=lim------=2+。=4=>。=2/=-3.............（6分）

xfXZ—Xxf2x-l

1程卜=ln（l+「）u匕3…4dyd~y

3、设y=y（x：）由参数7所确定，求、O

[y=f+arctantdxdx~9

解:立=2±I2/2/2+t2

2/1+r.......................（3分）

dx\+t~2t

力_-2）（1+户,

d~yd/2+〃、

.......................（6分）

dx~dt、2t）dx4t3

4、设/(%)在x=0处的导数连续，求lim"支®0

xfO+dx

解：lim"Gin=lim[/z（sin2Vx）2sinVxcosVx―...........（4分）

io+dxio+2sjx

=limf/^sin24）空正]=r（0）..............................（4分）

5、求不定积分|12芈△。

Jcos3X

解：p^4/x=「"『），」同（cos-2X）.....................（2分）

JcosxJcos'x2J

1rxrdx1rx[「“八、

2cosx'cosx2cosx

6、求定积分Jcos4xdxo

解：令G=t,dx=2tdt,x=Oj=0;光=4,f=2................................C2分)

jcosy/xdx=j2fcos以f=2[zsin《-[sinfd"

=2(2sin2+cos2-l)........................................................................(6分)

3

7出〜—[sin。x<0f.

7、Bif(x)—52,求J/(x—2)dxo

x

xe'x>0i

解：令x—2=t,dx=dt,x=l/=-l;x=3j=L.......................................（2分）

.•.「/(%-办=(〃。山=：1-cos2x,

2)1sin2xdx+xe7dx-----------ax

2

.|1cl|„1,1

—e'2d(-x2)=—[x——sin2%]°,——e~x...................................(4分)

。22212o

12

=1——[sin2+—]..................................................................................(6分)

4e

四、证明下列不等式（本题10分）

7T

sinx,7i

1、—<sinx<x,xe(0,1)；2、1<I-----ax<—

712Jox2

sinx

（）则函数在处连续，月.

证明：设/（X）=<Xxe0'Ex=0

1x=0

『，/、xcosx-sinxcosx、八小乃、八八、

f(x)=--------；-------=——(xz-tanx)<0,xG(0,—)...............................G分)

xx2

所以,当X€（0,C）时,/（x）单调减少，—<1……（6分）

2）7ix

2x."2zrrjsinx

..—<sinx<x,xG(0,—).=>1=----<I------dx<do分)

7U2"2上x

五、(本题10分)

设f(x)=\x，其中g(%)具有二阶连续导数，且

[0x=0

g(O)=l,g'(O)=­l。

(1)求/'(X)；(2)讨论/(x)在(-OO,+00)上的连续性。

g(x)-e-x

—0

z

解：0)v/(0)=lim"幻―/⑼=limx=limg(x)—

x->0%x->0Xx->0x1

g(X)+gg"(x)-e-xg”(O)-l

=lim=lim