数学高考冲刺模拟试卷及答案

高考模拟测试数学试题

（满分：150分，完卷时间：120分钟）

一.选择题（共10小题，每题4分）

1.已知全集U为实数集，A=（^|X2-3X?O）,B={X|X>1},则An£,B）=（）

A{x[0«x<l}B.{x|O4x〈l}

C.{x[l<x〈3}D.{x|O〈x〈3}

2.设复数Z1,Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且Z1=l+i,则z/W=（）

A.—2—2iB.2—2iC.—2zD.-2

3.若。、b、c为非零实数，贝！]“a>6>c”是“a+h>2c”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.平行四边形ABC。中，点E是。。的中点，点F是8。的一个三等分点（靠近B）,则

EF=（）

11I,],

A.-AB——ADB.-AB+-AD

2342

C.-AB+-ADD.-AB--AD.

3223

x-y+620

5.若直线产ax+2a与不等式组<X43表示的平面区域有公共点，则实数a的取值范

x+y-3>0

围是（）

-9'

A.0,-B.[0,9]C.[0,+oo）D.（-co,9]

6.在[4一/]的展开式中x'的系数是（）

A.-20B.-15C.20D.30

7.黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比黄金三角形被认为是最美的三角形,

它是一个顶角为36。的等腰三角形（另一种是顶角为108。的等腰三角形）.例如，五角星由五个

黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金AAHC中，生=1二1,

AC2

根据这些信息，可得sin126°=（）

Bi

R3+V5C1+亚

A,且D.--------------D.

484

4+V5

8

8.设/(x)是函数/(x)的导函数，y=/'(x)的图象如图所示，则y=/(x)的图象可能

2+ax,则下列结论中正确是(

A.存在实数a,使/(X)有最小值且最小值大于0

B.对任意实数“，/(X)有最小值且最小值大于0

存在正实数〃和实数%,使/(X)在(-8,%)上递减，在(天,”)上递增

D.对任意负实数小存在实数%,使/(x)在(-8,%)上递减，在(天,”)上递增

10.在空间直角坐标系。-型中有一正三角形A3C,其边长为4,其中点A在z轴上运动,

点B在平面xOy上，则0c的长度的取值范围是()

A.[2,6]B.[2V2-1,2A/2+1]

C.[2A/3-2,2V3+2]D.12^-1,273+1]

二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）

11.函数/（同=2"+/（aeR）为奇函数，则。=.

12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是cm3,表面积是

_____cm2.

13.我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这样一道题：”三百七十八里关，初行健步不

为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关；要见每朝行里数，请君仔细详推算其大意为"某

人行路，每天走路是前一天的一半，6天共走了378里.”则他第六天走里路，前三

天共走了里路.

14.在AAHC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,C,若

VSasinB+\/3bsinA=2csinA）若a=b，则4=，三角形的形状为

15.某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A、3、C三个不同的乡

镇中学，现要求甲乙两位名优教师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师,

则不同的分配方案共有种

22

16.椭圆二+与=1（。＞方＞0）的半焦距为c,直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰

a~b~

为c,则该椭圆的离心率为.

17.已知平面向量工员工，同=咽=3,忖=4,屈B|,则|溷匹|的最大值是

,最小值是_

三、解答题（共5小题，第18题14分，其余每题15分，共74分）

18.函数/（x）=Asin（s+e）［的部分图象如图所示.

⑴求函数/(x)的解析式；

⑵求函数g(x)=/(x-2)-2cos2x在区间0,y上的最小值.

19.如图，直三棱柱ABC—AA&中，AC=BC=^AA]=2,M、N分别为AB、4G

的中点.

(1)求证：MN〃平面ACC/；

(2)若4M=3夜，求二面角g-AM-N的余弦值.

20.设等差数列｛4｝公差为d,等比数列也｝公比为9,己知麻=4,4=4+仇=5,

q=2”.

⑴求数列｛4｝,也”｝的通项公式；

⑵记g=an-bn,求数列｛c,｝的前n项和Sn.

r22

21.已知椭圆C：—+方=1(〃＞方＞°)右焦点为F(LO)，且过点A(—2,0).

(1)求C的方程；

(2)点尸、。分别在C和直线x=4上，OQ//AP,M为AP的中点，求证：直线QW与直线

的交点在某定曲线上.

22.已知函数，(x)=Y71nx(a>0).

(1)若。=2,求曲线y=f(x)的斜率等于3的切线方程；

⑵若y=/(x)在区间-，e上恰有两个零点，求a的取值范围.

答案与解析

一、选择题(共10小题，每题4分)

1.已知全集U为实数集，A={x|x2-3x?o),B={X|X>1},则an(。向=()

A.{x|O〈x<l}B,^%|0<x<

C.{x［l<x〈3}D.{x|O〈xW3}

［答案］B

［解析］

［分析］解不等式求得A，然后求得出8,进而求得40(63).

［详解］f-3x=x(x-3)WO,所以A=［0,3］,23=(-00,1］,

所以Ac(Q/)={x|04x«l}.

故选：B

2.设复数Z1,Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z=l+i,则z/［=()

A.—22zB.2—2zC.—2/D.-2

［答案］C

［解析］

1分析］根据复数Z1,Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且Zl=l+i,得到Z2=-1+i,再

利用复数的乘法求解.

［详解•复数Z”Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且Z|=l+i,

.*.Z2=-l+l,

Z［2=(1+z)\-i)=-\-i-i-P=-2i.

故选：C.

3.若a、b、。为非零实数，贝I"a>b>c”是“a+0>2c”的()

A.充分不必要条件区必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

［答案］A

［解析］

［分析］本题可根据充分条件以及必要条件的判定得出结果.

［详解］若a>6>c,则a+h>2c,

故"a>b>c”是“a+h>2c”的充分条件，

令a=5,b=\,c=2,满足a+8>2c,但不满足a>6>c,

故"a>b>c”不是"a+b>2c"的必要条件,

综上所述，“a>b>c”是"a+b>2c”的充分不必要条件,

故选：A.

4,平行四边形A3CD中，点E是OC的中点，点F是8C的一个三等分点（靠近B）,则

乔=（）

A.-AB--ADB.-AB+-AD

2342

1—1―.

C.-AB+-ADD.-AB--AD.

3223

［答案］D

［解析］

［分析］用向量的加法和数乘法则运算.

由题意：点后是DC的中点，点尸是8C的一个三等分点，

________1__112

：.EF^ED+DA+AB+BF^——AB-AD+AB+-AD^-AB——AD.

2323

故选：D.

［点睛］方法点睛：解题时可根据加法法则，从向量的起点到终点，然后结合向量的数乘运算

即可得.

x-y+6>0

5.若直线y^ax+2a与不等式组■x<3表示的平面区域有公共点，则实数a的取值范

x+y-320

围是（）

9-

A.5-B.[0,9]C.[0,+oo)D.(-oo,9]

-

［答案］B

［解析］

［分析］画出不等式组表示的平面区域，直线y=a（x+2）过定点4-2,0）,数形结合得出

a..0,求出心c，得出实数4的取值范围.

［详解］画出不等式组表示的平面区域，如图所示，

3

x=——

x-y+6=02

x+y-3=09

直线y=。(冗+2)过定点A(-2,0),

直线y=a(x+2)经过不等式组表示的平面区域有公共点

2-o

则a>0,卜八©==9,

(--)-(-2)

：.ae[0,9].

A.-20B.-15C.20D.30

［答案］A

［解析］

［分析］

首先写出展开式的通项(+1=C：)'=(-1丫禺/-6,再令3「一6=3,即可求

［详解］(J_—*2)的展开式的通公式为=C；2「(3)'=(-邛3"，

令3—6=3.则r=3,

故尤3的系数是7；=(―1)3C；=-20,

故选：A

［点睛］本题主要考查了求二项式展开式中某一项的系数，属于基础题.

7.黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比黄金三角形被认为是最美的三角形,

它是一个顶角为36。的等腰三角形(另一种是顶角为108。的等腰三角形).例如，五角星由五个

黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金AAHC中，生=叵1，

AC2

4+V5

8

［答案］C

［解析］

［分析］结合已知条件以及诱导公式、二倍角公式求得正确结果.

［详解］依题意可知.IQ。2V5-1,

AC4

所以sin1260=sin(90°+36°)=cos36。=1—2sir?18°

3-V51+V5

=l-2x

4-4

故选：C

8.设/'(x)是函数的导函数，y=/'(x)的图象如图所示，则y=/(x)的图象可能

是()

［解析］

［分析］

根据导函数图像得到原函数单调性，再逐一对照选项即可.

［详解］解：根据导函数图像，丁="£)的增区间为(一3,-1),(0,1),减区间为(一1,0),(1,3),

观察选项可得D符合，

故选：D.

［点睛］本题考查原函数和导函数图像之间的关系，注意导函数图像重点关注函数值的正负，

原函数图像重点关注函数的单调性，是基础题.

9.已知函数/(x)=：_?+：办2+◎,则下列结论中正确的是()

A.存在实数“，使/(X)有最小值且最小值大于0

B.对任意实数a,/(x)有最小值且最小值大于0

C.存在正实数a和实数方,使〃x)在(一%为)上递减，在(%,+8)上递增

D.对任意负实数”，存在实数%,使/(X)在(-8,%)上递减，在(毛,+8)上递增

［答案］C

［解析］

［分析］求出导函数，根据导数与单调性、最值的关系判断.

［i^f'(x)=x3+a)c+a,^-g(x)=f'(x)=x3+ax+a,则g'(x)=3/+a,

当aNO时，g'(x)20恒成立，g(x)即/'(x)在R为增函数，/'(x)=O有且只有一个实根

x。，且无<%时，/'(x)<0,f(x)递减，X〉/时，f'(x)>0,f(x)递增，/是极小值

点，也是最小值点.C显然正确.

"0时‘/u)min=/(o)=o,

a>0时，/(%0)=焉+“)+4=(),--ax-a,a=----->0,-1<x0<0,

()Xo+1

/(必而=/(%)

=­X：H—(2XQ+ux^——XQ(-tzXy-a)+万ax^+UXQ———ax^+jox0———ax。(x0+3)<0,

B错误，

当。<0时，/(0)=0,而x=0不是最小值点(因为/'(O)wO),因此存在％0。0,使得

综上得A错,

/ai4

由g'(x)=0得百=一,----,X<X]x>X?,g'(x)>0,X,<x<x2Ht，

g'(X)<0,即g(x)在(-8,%)和(4,+8)上递增，在(%,％2)上递减，

所以g(x)极大俶=g(X])=d+a=—qX++a=­t7(2X1+3),当a<——时，g(x)

极大整>0,g(x)极小优=g(%)<g(0)<。，

因此g(x)即/'(X)在(-8,X|),(*,々)，(々,+8)上各有一个零点，从小到大依次为

在(-00,6),&幻上)'(X)<0,/(X)递减,在(讨2)，«3，+8)上/'(X)>0，/(幻递

增，D错误.

故选：C.

[点睛]关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性与极值.解题基础是掌握单调性与导

数的关系.解题关键是对“存在”、“任意”等词语的正确理解，掌握相应命题的求解方法.

10.在空间直角坐标系。-xyz中有一正三角形ABC,其边长为4,其中点A在z轴上运动,

点B在平面xOy上，则OC的长度的取值范围是()

A.[2,6]B.[2&一1,2&+1]

C.[273-2,273+2]D.[273-1,2^+1]

[答案]C

[解析]

[分析]取A8的中点为。，连接。。，CD,根据题中条件，求出0。，CD；得到点。在

以D点为圆心，以2石为半径的圆上，根据圆的性质，结合题意，即可得出

\OC\-\OD\<\OC\<\OD\+\CD\,从而可得出结果.

取A3的中点为连接0。，CD,

因为在空间直角坐标系中，ZAOB=90°,即AAOB为直角三角形，

又AB=4,所以。。=,。6=2；

2

因为AABC是边长为4的等边三角形，所以CD="-22=2技

因此点。在以。点为圆心，以为半径的圆上，

为使0c的长度取得最值，只需O,C,。三点共线，

因此一|0胃V10cl<\0D\+\CD\,即2G-2V因V26+2,

所以0C的长度的取值范围是［26一2,2百+2］.

故选：C.

［点睛］关键点点睛：

求解本题的关键在先确定点C是以AB中点为圆心，以2石为半径的圆上的点，将问题转

化为求定点到圆上一点距离的最值问题即可.

二、填空题(共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)

11.函数/(x)=2"+?(aeR)为奇函数，则。=.

［答案］-1

［解析］

［分析］利用函数为奇函数，由奇函数的定义即可求解.

［详解］若函数/(x)=2'+5为奇函数，则/(—x)=—/(x),

即(。+1)［2、+5)=0对任意的工恒成立，则。+1=0,

得。=T.

故答案为：一1.

12.某儿何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的体积是cnA表面积是

_____cm2.

［答案］①.3；②.11+石

［解析］

［分析］由题意，直观图为以正视图为底面的直三棱柱，由图中数据可得该几何体的体积，表

面积.

［详解］由题意，直观图为以正视图为底面的直三棱柱，

由图中数据可得该几何体的体积是g(l+2)x2xl=3cn?,

表面积是(2+2+1+^y^)xl+2X］(l+2)x2=11+cm2.

故答案为：3,11+JJ.

［点睛］本题了考查三视图的还原，求几何体的面积、体积，确定直观图的形状是关键，属于

基础题.

13.我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这样一道题：“三百七十八里关，初行健步不

为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关；要见每朝行里数，请君仔细详推算其大意为"某

人行路，每天走的路是前一天的一半，6天共走了378里.”则他第六天走里路，前三

天共走了______里路.

［答案］①.6②.336

［解析］

［分析］

将实际问题转化为等比数列模型，由每天走的路是前一天的一半，6天共走了378里，可知

等比数列的公比与前6项和，即可求得首项，代入第6项的通项公式与等比数列前3项前〃

项和公式，求得答案.

［详解］由题可知每天走的路程成等比数列，设第一天走了。里，且公比=g

/一呼

所以6天共走§_（⑵）_63叱372,所以a=192

6,132

1------

2

2

故答案为：（1）6⑵336

1点睛］本题考查等比数列的实际应用，优先建立等比数列模型，再解模，属于中档题.

14.在AABC中，内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,若

V3asinB+V3Z>sinA-2csinA>若a=b,则4=>三角形的形状为

［答案］①.?②.等腰三角形

O

［解析］

［分析］由给定等式边化角得回=c,再用余弦定理求出cosA即可得解.

［详解］AABC中，由正弦定理及给定等式得

GsinAsinB+>/3sinBsinA=2sinCsinA,

因为sinAwO,所以6sin3=sinC，所以=

用小A向'］A6？+c2—/h2+3h2—b2A/3

2bc2屉22

7t

又0<A<〃，所以A=一；

6

7C

因〃=从A=-,于是6c为等腰三角形.

6

7T

故答案为：等腰三角形.

6

15.某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A、3、C三个不同的乡

镇中学，现要求甲乙两位名优教师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，

则不同的分配方案共有种

［答案］81

［解析］

［分析］根据题意，分2步进行分析：①在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，②由分步计

数原理分析剩下的3人分配方案数目，由乘法原理计算可得答案.

［详解］根据题意，分2步进行分析：

①在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，有=3种情况，

②对于剩下的三人，每人都可以安排在A、3、C三个不同的乡镇中学中任意1个，则剩

下三人有3x3x3=27种不同的选法，

则有3x27=81种不同的分配方法；

故答案为：81

［点睛］本题考查分步计数原理的应用，注意“可以有乡镇中学不分配到名优教师”的条件，

属于基础题.

22

16.椭圆斗+方=1（。＞人＞0）的半焦距为c,直线y=2尤与椭圆的一个交点的横坐标恰

为则该椭圆的离心率为

［答案

［解析］

［分析］先确定直线y=2x与椭圆的一个交点的坐标，代入椭圆方程，转化为关于a,c之间的

方程，从而可求椭圆的离心率.

［详解］解：由题意，直线y=2x与椭圆的一个交点的纵坐标为2c,

将其代入=1

所以e=J5—l，另一根不合题意，舍去

故答案为

［点睛］本题的考点是椭圆的简单性质，主要考查椭圆的离心率，关键是寻找几何量a,C之

间的关系.

17.已知平面向量工反入W=2，W=3，W=4,£?B|,则匹||网的最大值是

,最小值是

［答案］16(2).2715

［解析］

［分析］

设£=(2,0),2=(4以)54,45足4),(£,方>=4,易得cosa=；,则sina=1^，进而表

示B?4，作图分析只讨论。e[0。,18()']；利用分类讨论£与乱的投影的正负，以

£与£垂直，£与B垂直作为分界线，从而分三类讨论单调性，求得分别的最值，即可求得

答案.

[详解]因为忖=2,忖=3,忖=4,£?B-|,可设£=(2,0),3=(4(：054,45泊4),(£©=4,

易得cosa=—,则sina=

44

所以|a?c'||4鬃cosq|+|4鬃cos(a-q)或

W?q|4鬟cosg|+|4鬃cos(g-a)],其外有绝对值，结果一样故后面只讨论前者,

将其整理为卜?c|卜?c||8cos^I+|3cos^+3V15sin^r|；

从图象中可看出对顶角部分(无论阴影部分还是非阴影部分)是对称的，所以只讨论

6>G[()O,180O]

①当[与£,5的投影均非负时，显然以£与£垂直是第一个分界线，则4i馥,90

113A/15

则词网1looser+3-715sin^=16sin^+j)，患n/—,cos/

I1616

1211281,

因为sin2/----V-----—=sin'45°所以(T<45

2562562

由j?qj?905j<135,即一=sin/?sin(gj)?1,则

11?16sin(^j)?16,所以最小值为11,最大值为16；

②当"与3的投影为负，与否的投影为正时，显然以"与坂垂直是第二个分界线，则

q?(90,90

则-5cosq+3VT^sing=4>/i3sin(q-匕),壬nb=-^^,cosb

i27

显然£在第四象限，因cos2(-45)=5<记=8$2万，所以-45。<8<0,即

0<-h<45?9090°-b<135790a<90-b+a<135°+n<225°,故

90°<90-b<q-b?90b+a<225°,

所以桃=4jidsin(q-b)在区间q-h?(90b,90-。+。口上应单调递减，

故

mmin-45/10sin^90-b+a^=4>/10cos^-=4\/10^?2^15

肛皿=4>/10sin(90-=4>/10cosh=35/15；

③当£与的投影均为负时，则q?(90a,180口

所以[I?]|/2?c|-llcos^-3>/15sin<7=-16sin^+j)，和nJ=j^,cosj=^~^~

由①中0勺<45°,B|J90<90+a+/<q+j?180°j<225°

所以〃=-16sin(qt/)在区间qt/?(90a+j,180+/R上应单调递减

故

,

nmin=-16sin(180+/)=16sinj=11

?吟争非2屏;

"max=-16sin(90°+。47)=-16cos(a川)=-16

综上所述,B?3的最大值为16,最小值为2厉.

故答案为：(1).16：(2).2715

［点睛］本题考查在平面向量的背景下转化为三角函数求最值，涉及向量数量积的坐标运算与

表示，还考查了分类讨论思想的使用，属于难题.

三、解答题(共5小题，第18题14分，其余每题15分，共74分)

18.函数/(x)=Asin(ftzr+。)［A>O,«y>O,O<e<m卜勺部分图象如图所示.

⑴求函数“X)的解析式;

717T

(2)求函数g(x)=yX------2cos2x在区间0,-上的最小值.

［答案］⑴〃x)=2sin2彳+讣⑵一3.

［解析］

［分析］

(1)由图象可得出/(x)的最大值和最小正周期，可求得A、①的值，再由=2结合。

的取值范围可求得9的值，进而可求得函数/(x)的解析式；

⑵利用三角恒等变换思想化简函数g(x)的解析式为g(x)=2&sin12x-。，由

xe0,1可求得2x-。的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数g(x)在区间

JT

0,y上的最小值.

［详解］(1)由图象可得A

=%,所以,若=2,

八7t71715万7171一,/口

0<夕<—,一<—&(p<—,/.(p-\———,可得(p

233632

因此，/(x)=2sin(2x+?)；

⑵

/、

.71

—2cos2x=2sin2x-----2cos2x

I6J

二百sin2x-cos2x-2cos2x=Gsin2x-3cos2x=2gsin2x---

,„71万c乃2万

当0,—时，一一＜2x一一＜——，

2333

所以，当2%一(=一(时，函数g(x)取最小值，EP^(x)mjn=2A/3sin［-yj=-3.

［点睛］方法点睛：根据三角函数/(x)=Asin(&x+°)+人的部分图象求函数解析式的方法:

⑴求A、h:A―――~~———~~，b=[(一)“&—―)'加.；

22

⑵求出函数的最小正周期T，进而得出0=—；

T

(3)取特殊点代入函数可求得。的值.

19.如图，直三棱柱ABC-4AG中，AC=BC=^AA,=2,M＞N分别为AB、B©

的中点.

(1)求证：MN〃平面ACGA；

(2)若4"=3直，求二面角4-4M-N的余弦值.

［答案1(1)证明见解析；⑵士叵.

3

［解析］

［分析］(1)取AC的中点。，连接OM、0G，证明四边形。MNG为平行四边形，可得出

MNHOG，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

(2)以点C为坐标原点，C4、CB、CG所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,

利用空间向量法可求得二面角的余弦值.

［详解］(1)取AC的中点。，连接OM、0G，

在AAHC中，因为M为AB中点，。为AC中点，所以且OA/=，BC,

2

•；BB、//CCIRBB、=CG，所以，四边形BB|GC平行四边形，

所以，BC〃BCi且BC=BCi，

又因为点N为4G的中点，所以CN〃BC,且GN=：BC,

所以。M〃GN且OM=£N,从而四边形。MNG为平行四边形，所以MN〃OG，

又MNZ平面ACGA，OC|U平面ACG4,所以MN〃平面ACG4；

(2)在直三棱柱ABC—AAC中，8g，平面ABC,ABI平面ABC,则8耳_1,48,

因为4M=30，BBI=4,所BM=可不二威=6，

故43=2及，AC2+BC2=AB2.从而ACJ_BC-

以点。为原点，C4、CB、CG所在直线分别为X、丁、z轴建立空间直角坐标系C一孙z

如图所示，

则M（l,l,o）、A（2,0,4）、耳（0,2,4）、N（0,L4）,

而瓦=（-1,1,4）,胸=（1,-1,4）,2W7V=（-1,0,4）,

设平面M4,用的法向量为彳=(x,,y,zj，

勺-MA^=0王一y+4Z]=0X=x\

则即,解得八令X]=1,得勺=(1,1,0)，

雇函=0一%+y+4Z|=0匕=0

设平面MAN的法向量为1=(x2,y2,z2),

«2-MA,=0x-y+4z,=0[x,=4z,

即{7,7\,解得1-。令Z2=l,得后=（4,8,1）,

n^-MN=Q

[-X2+4Z2=Q[y2=8Z2

n}•n2_12272

所以cos<4,%>=亍

由图可知，二面角g-4"-N为锐角，所以二面角4一4"-N的余弦值为逑.

3

［点睛］思路点睛：利用空间向量法求解二面角步骤如下：

(1)建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；

(2)设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量(注:

若半平面为坐标平面，直接取法向量即可)；

(3)计算(2)中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角

还是钝角，从而得到二面角的余弦值.

20.设等差数列｛4｝公差为d,等比数列也｝公比为已知q=4，%=4+仇=5，

4=2d.

（1）求数列｛%｝,｛2｝的通项公式；

⑵记C“=an-bn,求数列｛%｝的前几项和S,,.

［答案］⑴/=2〃-1,包=4"，⑵S“=9^3X4"+'

［解析］

［分析］

（1）将条件均用基本量表示，列方程求解即可；

⑵写出S”和4S“，作差，利用等比数列的求和公式整理即可.

［详解贝）：伉+优=5,；.白（1+4）=5,

又,：q=2d,%=%，q（l+2d）=5,

4=4+2d=5,，4=5—2。，

（5-2d）（l+2d）=5,

解得：4=0,4=2,

若4=0,g=24=0（舍去），

若d=2,q=2d=4,

b、=%=CI3.2d=T,

an=4+（〃-1”=2n—l,

勿=伪01=4，1

⑵%=4•〃=（2〃-1）41,

S“=1+3x4+5x42+…+（2〃-l）4"T,

4S“=4+3x42+5x4，+…+（2〃-1）4”,

-3S“=1+2x4+2x42+2x4、…+2x4"T-（2〃-1）x4”

=l+2x-^-----^-（2〃-1）x4"

6n-5„5

=------x4A——.

33

［点睛］本题考查等差，等比数列通项公式的求解以及错位相减法求和，考查学生的计算能力,

是基础题.

21.已知椭圆C：工•+3=1(。＞。＞0)右焦点为尸(1,0),且过点村(一2,0).

(1)求C的方程；

(2)点P、。分别在C和直线x=4上，OQ//AP,例为”的中点，求证：直线OM与直线

QE的交点在某定曲线上.

22

［答案］⑴工+汇=1;⑵证明见解析.

43

［解析］

1分析］(1)根据已知条件求得由此求得。方程.

(2)设出的坐标，求得直线AP的斜率，根据OQ//AP求得直线。。的方程，从而求得

Q点的坐标，计算而'•而=0，由此得到OMLQF,从而判断出直线OM与直线Q