直线与圆锥曲线的位置关系-高考全攻略之2019年高考数学（理）考点一遍过含解析

考点41直线与圆锥曲线的位置关系

考拥原攵

（1）了解圆锥曲线的简单应用.

（2）理解数形结合的思想.

&知识整色

一、直线与圆锥曲线的位置关系

1.曲线的交点

在平面直角坐标系x伽中，给定两条曲线G,，己知它们的方程为G：/（%,y）=o,G：g。,y）=o，

・"")’)=°的实数解.

求曲线G，G的交点坐标，即求方程组，

g(x,y)=O

方程组有儿组实数解，这两条曲线就有儿个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点.

2.直线与圆锥曲线的交点个数的判定

设直线/:Ax+3y+C=0,圆锥曲线C:/（x,y）=0,把二者方程联立得到方程组，消去y（x）得到一

个关于x(y)的方程ox?+bx+c=0(ay2+by+c=0).

（1）当时,

/〉00方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点;

4=0=方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点;

/<00方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.

（2）当疔0时;方程为一次方程，若6W0,方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点;

若/0,cWO,方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.

3.直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.

(1)直线与椭圆有两个交点O相交；直线与椭圆有一个交点。相切；直线与椭圆没有交点O相离.

(2)直线与双曲线有两个交点O相交.

当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直

线与双曲线的渐近线平行.

直线与双曲线没有交点O相离.

(3)直线与抛物线有两个交点O相交.

当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直

线与抛物线的对称轴平行或重合.

直线与抛物线没有交点O相离.

二、圆锥曲线中弦的相关问题

1.弦长的求解

(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；

(2)当直线的斜率存在时，斜率为A的直线/与圆锥曲线。相交于A(x,,y),3(七，为)两个不同的点，

则弦长|AB\=他-％y+(%-另了=Jl+展|%%|=Jl+3I弘—%I(%H°).

(3)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.

2.中点弦问题

22

(1)47为椭圆,+我=1(。>〃〉0)的弦，4(%,州),伙々，必)，弦中点必(刘，％)，则16所在直线

hrxkr

的斜率为％=——产，弦力8的斜率与弦中点〃和椭圆中心。的连线的斜率之积为定值-二.

。%a

X~2V2

(2)为双曲线----=1(。>0,/?>0)的弦，A(X[,y),8(工2,%)，弦中点欣照，jo),则49所在

cTb

22

直线的斜率为女l)x=¥，弦4?的斜率与弦中点〃和双曲线中心。的连线的斜率之积为定值b二.

矿为矿

(3)在抛物线y2=2px(p>0)中，以材(施，㈤为中点的弦所在直线的斜率％=上.

%

考向一直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用

1.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次

方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.

2.依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项

系数是否为0,若为0,则方程为一次方程；若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.

典例引领

典例1已知椭圆，+4y2=4，直线

(1)若I与椭圆有一个公共点，求小的值；

⑵若/与椭圆相交于正,0两点，且等于椭圆的短轴长，求加的值.

'/+4y2=4

【解析】(1期立直线与椭圆的方程，得也，即审+8加+痴-4=。,

由于直线I与椭圆有一个公共点，则』=80-16m，=。，

所以m=+V5-

Q股Q(M，巧)，

r+n八"n87M4m2-4

由(14口：x1+%2jqxj=——-——，

则P0=J1+d|乙一4|=殍45-刑2=2.

解得：m=土田.

典例2已知抛物线。:旷2=20匠(°>0)的焦点为/:1(1,0),抛物线£/=2/(">0)的焦点为朋.

(1)若过点M的直线/与抛物线C有且只有一个交点，求直线/的方程;

(2)若直线加/与抛物线C交于A,B两点、,求△OAB的面积.

【解析】(1)由题意知抛物线。：产=2/.(〃>0)的焦点为尸(1,0),抛物线氏/=20，5>0)的焦点为加,

所以〃=2,例(0,1),

则抛物线C的方程为*=4%，抛物线E的方程为d=4」.

若直线】的斜率不存在，则易知直线】的方程为％=0；

若直线I的斜率存在，设为左，则直线I的方程为>=辰+1,

联立刀二代，可得其2+(2{-4)0；+1=0,

当上=0时，x=l满足题意，此时直线】的方程为y=i；

4

当上工0时，/=(加一4尸一4/=0,解得上=1,

此时直线i的方程为y=%+L

综上，直线/的方程为4=0,或>=1,或»=工+1.

(2)易得直线好的方程为y=—x+i,

由《，得了2+4y-4=0：

。=-%+1

设幺(今0)1(巧，为)，则M+>2=T,yi»2=T,

从而|必一当|=小历，

所以4OAB的面积为S△刖=1P尸恒一切=2份.

变式拓展

1.已知直线,=乙与双曲线4/一了2=16.当〃为何值时，直线与双曲线:

(1)有两个公共点;

（2）有一个公共点;

（3）没有公共点.

考向二直线与圆锥曲线的弦长问题

直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：

（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题.

（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长.

（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系

数的关系.

典例引领

典例3已知抛物线C：y2=2px（p>0）,焦点为F,直线，交抛物线c于4（孙力），两点，。（与，丫0）为AB

的中点，且MF|+|BF|=l+2%.

（1）求抛物线c的方程;

（2）若无产2+力力=-1,求厂宅的最小值・

【解析】《D根据抛物线的定义知MF|+田广|=叼+孙+P,与+必=2%，

•.•MF|+|BF|=1+2%,.1=1,

.'.y2=2x.

（2）设直线J的方程为戈=皿^+%

代入抛物线方程，得非—2my-2b=0,

22

\xtx2+yty3=-1,即竺31-+»为=-1,

4

...32=-2,

即当为=-26=-2,...b=l,

.•.力+》2=2山，、仍=-2,

22222

\AB\—V1+m|y1—y2|=V1+m•^（yt4-y2）—4yty2=2V1+m•Vm+2,

演=乜产="彳4-=：[（弘+刈）2-2必治=病+1,

.%_-2+1

••西一防.42+2,

令£=^+1,t6[1.4-oo）,

则画一行疯‘彳’

当且仅当f=i时等号成立.

故的最小值为-

\AJS\4

x2y2

—+—=1

典例4已知椭圆「：。庐（a>b>0）的右焦点为（2或,0）,且椭圆「上一点M到其两焦点尸1,G的距离

之和为4小.

(1)求椭圆「的标准方程;

(2)设直线Ly=x+m(meR)与椭圆「交于不同的两点4B,且［48|=3企，若点P(刈2)满足|曲|=|诙

求“。的值.

【解析】(1)由已知得2a=4J5,贝ija=2显

又c=2嫄，

/.b2=a2-C2=4,

.•.椭圆厂的方程为三+±=1.

124

y=x+m

⑵由Y产得4—+6mx+3m2-12=0①

—+—=1

U24

•••直线/与椭圆「交于不同的两点AB,.•.A=36m2-16(3m2-12)>0,得病<16,

设做与必)、%2以),

3m3m2-12

则…]"丁

.\|4B|==y/2x-(3m=-12)=^xl-m3+12.

又由MM=3媳，得一：抽2+12=9,解得m=±2.

a

根据题意知，点尸为线段AB的中垂线与直线y=2的交点,

设幺B的中点为贝1扰。=二m=~m,yD=x0+m=3

班.吃)

当m=2时，2'21

1,3、

y—=-(x+—j

此时，线段48的中垂线方程为'22；即y=-x-l,

令y=2,得无o=-3.

当m=-2时，吗4,

1/3、

y4--=-(x——)

此时，线段48的中垂线方程为，221即y=-x+l.

令y=2,得了0=-1.

综上所述，方的值为-3或-1.

变式拓展

2.直线y=ar+l与双曲线3/—V=i相交于月，两点.

(1)当。=2时，求线段46的长；

(2)若以47为直径的圆经过坐标原点，求实数a的值.

考向三圆锥曲线中的定点、定值问题

定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等

问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参

数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利

用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.

典例引领

典例5如图，已知点£(加,0)(0>0)为抛物线/=4x内一个定点，过£作斜率分别为尢，%的两条直线交

抛物线于点4B,C,。，且M,"分别是48,切的中点.

(1)若加=1,k\kz=-l,求△包为V面积的最小值;

(2)若左+左=1,求证：直线J介过定点.

【解析】（D当加=1时，E为抛物线尸=皿的焦点,

•.%扁=-1,：.ABLCD.

设直线的方程为y=的（％—1）,月01，治）,8（孙,先）,

由｛'D得治yz_4y_4%=o,%+先=羡,y\y2=-4.

i22

则M[I+■需,同理,2（2封+L-2%）,

'l+l.x2Af,

SAX-=—|£A/||£V|=jXjl+/X壅X

化简得54=：四|即|=2、富之2、2=4,

2陶

当且仅当七=±1时等号成立.

故AEMN的面积取得最小值，为4.

（2）设直线幺B的方程为y=的—m）,月（匕,比）,B（孙，先），

由｛,不得士1y一妙_4心？n=0,%+%=/，>i>2=一.，

则4+获〉同理力+旌）’

二.直线MN的方程为j=左玲|x-m-^I,即〉=心上式x_m）+2,

K\KJ

二.直线MN恒过定点、（科2）.

典例6已知椭圆氏5=13〉。＞0）与y轴的正半轴相交于点必点凡A为椭圆的焦点,且△断鸟是

a~b~

边长为2的等边三角形,若直线/:尸履+2依与椭圆£交于不同的两点A,B.

（1）直线口,,监的斜率之积是否为定值?若是，请求出该定值,若不是，请说明理由：

（2）求的面积的最大值.

【解析】（1）因为鸟是边长为2的等边三角形，所以2A2,奸2,

所以炉2,1木,

22

所以椭圆E-点M0,、⑶.

将直线/:尸4"2G代入椭圆£■的方程,整理得（3留〃）/+16^3^*36=0.（*）

设力（为,yi）,5（怂/2）,则由（力式可得/二（16娘出2-4（3网幻x36=48（4A2-9）＞0,

16尿36

所以kG（-8,为以产-----------,为应=-——y

3+4公3+4Z-

则直线幽M的斜率之积为km•eX-（------二）（---~~~~■~~

X]X2XtX2玉々

-16限、

+3

3+442,2

,29-36k

k2+---k+-----1,

36364

3+4公

所以直线MAJAB的斜率之积是定值\.

4

（2）记直线4Tx+2在与丁轴的交点为颂0.2、行）,

则S/LMBAf■-S△刑y|=—Wv|.|女一再|=J（再+女尸一4不巧=今\K3+）"―4-3+4上2

6“二一96,指

3+4/麻口+「-2

当且仅当4触A1厚fl上=±回时等号成立,

2__

A3

所以△/BAf的面积的最大值为也.

2

变式拓展

3.已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在工轴上，离心率e=好，虚轴长为2.

2

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)若直线/:y="+加与双曲线C相交于两点(4,5均异于左、右顶点)，且以A8为直径的

圆过双曲线C的左顶点。，求证：直线/过定点，并求出定点的坐标.

22£

4.已知椭圆E:「+4=l(a>8>0)的离心率为2,右焦点G与抛物线y2=4x的焦点重合，左顶点为P,

ab

过22的直线交椭圆于4、B两点，直线P4PB与直线盘=4交于M、N两点.

(1)求椭圆E的方程；

(2)试计算是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由.

声点冲关充

x2y2

i.直线y=kx-k+i与椭圆6十%=1的位置关系为

A.相交B.相切

C.相离D.不确定

2.已知直线'=--1与双曲线，-丁=4的右支有两个交点，则k的取值范围为

3.设厂为抛物线GV=8x的焦点，过尸作倾斜角为30°的直线交C于4B两点,则|4B|=

32

A.3B.16

C.32D.4G

x2y2

--1--=1i1j

4.若平行四边形4BCD内接于椭圆42,直线4B的斜率占=1,则直线4。的斜率0=

11

A.2B.2

1

C.4D.-2

,22

Y*y

5.过双曲线一、---彳=1（。＞0/＞0）的右顶点A作倾斜角为135°的直线，该直线与双曲线的两条渐近线

ah

的交点分别为B,C,^AB=JBC,则双曲线的渐近线方程为

2

A.（避产0B.（避+1）尸厂0

C.（遂+1）万土产0D.（或+1）/±尸0

x2y2

6.已知。是坐标原点,月是椭圆4+3=1的一个焦点，过尸且与x轴垂直的直线与椭圆交于MN两点，则

cosNM2V的值为

55

A.——B.

1313

r2而2>/13

C.----------D.

1313

7.直线1过抛物线V=4同的焦点尸且与抛物线交于4B两点,若线段4F，BF的长分别为mn则4m+"的最小

值是

A.10B.9

C.8D.7

2,2

8.已知椭圆E:%=1（。＞〃＞0）的右焦点为尸（3,0）,过点尸的直线交椭圆于A3两点.若43的

7+5

中点坐标为（1,-1）,则E的方程为

2,2,2,2

.丁y[

A.——+—=1B.三+J

1893627

,22,22

C.二+二1D,工X+工=1

27184536

x2

,2

比，=1（。＞0,。＞0）的一条渐近线截椭圆«+'2=1

9.已知双曲线r所得弦长为3,则此双曲线的离

a"

心率为

,|i4F|=-

过抛物线y7=轨上的焦点F,作直线1与抛物线交于4B两点，已知2,则|BF|=

3

1

2

xy.

--F—=1(0<b<2)

11.若椭圆彳b2与直线％-2y+4=0有公共点，则该椭圆离心率的取值范围是

A.(叫B.(0,；

12.如图,过抛物线/=2Px(p>0)的焦点厂的直线1交抛物线于点AB,交其准线于点C,若|BC\=2BF\,

且IAF\=3,则此抛物线的方程为

A.y=9xy=6x

C.y~=3x

13.已知椭圆过点Ml,0)的直线1与椭圆C交于点A,B,^AM=2MB,则直线1的斜率为

14.若直线y=kx-\与抛物线/=4x有且只有一个公共点,则X的值为

15.如图，己知斜率为1的直线/过椭圆a匕+土=1的下焦点，交椭圆。于48两点，则弦4?的长

84

XV

16.如果双曲线。点-3=1的渐近线与抛物线y=，+i相切，则该双曲线的离心率为.

2

L+y=1

17.直线m与椭圆2分别交于点DI,七，线段匕尸2的中点为P,设直线m的斜率为々（hKO）,直线。。

的斜率为%2,则勺•七的值为.

18.过抛物线C:/=x上一点加1,1）作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于P,。（异于点⑷两点,则直线PQ

恒过定点.

19.己知椭圆耳+¥=1（。>8>0）的离心率6="，焦距是2近.

（1）求椭圆的方程;

（2）若直线丁=丘+2/#0）与椭圆交于C、。两点，|。力=罕，求女的值.

20.已知抛物线/=2PMp>0)上的点尸到点九川的距离与到直线％=0的距离之差为1,过点M(P，。)的直线

1交抛物线于4B两点.

(1)求抛物线的方程；

(2)若△4BO的面积为40，求直线］的方程.

21.设A、8分别为双曲线］—==1(。>0/>0)的左、右项点，双曲线的实轴长为48，焦点到渐近

a~b~

线的距离为、/L

(1)求双曲线的方程；

(2)已知直线>=正*—2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点。使

3

OM+ON=tOD>求/的值及点。的坐标・

22.已知抛物线y2=2px(p>0)上的点T(3j)到焦点尸的距离为4.

(1)求f,P的值；

(2)设4,B是抛物线上分别位于工轴两侧的两个动点，且。4.08=5,其中。为坐标原点.求证:

直线A8过定点，并求出该定点的坐标.

23.已知点。(1,J2)在双曲线C:斗=1(a〉0,b〉0)上，且双曲线的一条渐近线的方程是

a

\[3x+y-Q.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若过点(0,1)且斜率为2的直线/与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；

(3)设(2)中直线/与双曲线C交于A、8两个不同的点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，

求实数人的值.

e=也

24.己知椭圆C以K(T°),/2(1，°)为焦点，且离心率—2.

（I）求椭圆C的方程；

（2）过点M（OW5）,斜率为k的直线％与椭圆C有两个不同的交点P、Q,求〃的取值范围；

（3）设椭圆C与x轴正半轴、丁轴正半轴的交点分别为力、B,是否存在直线片满足（2）中的条件且使

得向量◎+例与脑垂直？如果存在，写出"的方程；如果不存在，请说明理由.

25.已知抛物线G：：/=2由p＞0）的焦点/以及椭圆。2：5+2=1（4＞匕〉0）的上、下焦点及左、右

顶点均在圆O:x2+y2=1上.

（1）求抛物线q和椭圆G的标准方程；

（2）过点F的直线交抛物线G于A,6不同的两点，交y轴于点N,已知N4=qA尸，NB=4BF,

求证：4+4为定值.

22

26.已知椭圆。：=+与=1（。＞。＞0）的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线

ab

/:x-y+0=O与以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆相切.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设材是椭圆的上顶点，过点M分别作直线场、，监交椭圆于4、6两点，设两直线的斜率分别为4、

ki,且左］+幺=4,证明：直线46过定点-1).

2

3通高考金

2

1.(2018新课标全国I理科)设抛物线C：V=4x的焦点为产，过点(-2,0)且斜率为1的直线与。交于

M，N两点，则方”.EV=

A.5B.6

C.7D.8

X22

2.(2018新课标全国n理科)已知6，月是椭圆c：y=1(〃>/?>0)的左，右焦点，A是C的左顶

点，点P在过4且斜率为由的直线上，耳巴为等腰三角形，ZFtF2P^l2O°,则C的离心率为

6

2

A.-B.

32

1

C.—D.

34

3.(2018新课标全国I理科)已知双曲线C：^-—V=1,。为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线

3

与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形，则|MN|=

3

A.-B.3

2

C.2GD.4

4.(2018新课标全国HI理科)已知点加(-1,1)和抛物线C:：/=4x,过C的焦点且斜率为女的直线与C交

于A,8两点.若NAMB=90。，则上=.

5.(2018新课标全国H理科)设抛物线G的焦点为尸，过尸且斜率为2(k>0)的直线/与C交

于4,B两点,|AB|=8.

(1)求/的方程：

(2)求过点A,8且与C的准线相切的圆的方程.

6.(2018新课标全国I理科)设椭圆C:土+：/=1的右焦点为尸，过F的直线/与C交于A5两点，点M

2

的坐标为(2,0).

(1)当/与龙轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设。为坐标原点，证明：ZOMA=ZOMB.

22

7.(2018新课标全国HI理科)已知斜率为k的直线/与椭圆G工+汇=1交于A,B两点，线段AB的中

43

点为M(l,m)(m>0).

(1)证明：k<--；

2

⑵设F为C的右焦点，尸为C上一点，且尸产+必+尸8=0.证明：网，网，网成等差数歹IJ,

并求该数列的公差.

8.（2018北京理科）己知抛物线C:y2=2px经过点P（l,2）.过点Q（O,1）的直线/与抛物线C有两个不同

的交点A,B,且直线PA交》轴于M,直线P8交丫轴于N.

（1）求直线/的斜率的取值范围；

11

（2）设。为原点，QM=XQO，QN=RQO,求证：丁+一为定值.

71〃

9.（2018江苏）如图，在平面直角坐标系X0V中，椭圆C过点（百,g）,焦点耳（一相,0）心（6,0）,圆。

的直径为6K.

（1）求椭圆C及圆。的方程；

（2）设直线/与圆。相切于第一象限内的点P.

①若直线1与椭圆C有且只有一个公共点，求点尸的坐标;

②直线/与椭圆C交于A,3两点.若△Q48的面积为侦，求直线，的方程.

7

2=l（a>»0）的左焦点为反上顶点为比己知椭圆的离心率为、5,

10.（2018天津理科）设椭圆X三+

a'3

点力的坐标为S,0),S.\FB\-\AB\=&j2.

（i）求椭圆的方程;

（2）设直线？：丁=依（%>0）与椭圆在第一象限的交点为P,且，与直线48交于点0.

若因=乎5由440。（。为原点），求〃的值.

11.（2017新课标全国in理科）已知抛物线G/=2x,过点（2,0）的直线/交。于48两点，圆材是以

线段为直径的圆.

（1）证明：坐标原点。在圆材上；

(2)设圆必过点F(4,-2),求直线/与圆"的方程.

x2V

12.(2017新课标全国I理科)已知椭圆C-.靛+后=1(。＞。＞0)，四点K(1,1),P＞(0,1),月(-1,

立),汽(1,立)中恰有三点在椭圆。上.

22

(1)求C的方程:

(2)设直线，不经过2点且与C相交于4,8两点.若直线8/与直线月8的斜率的和为-1,证明：1

过定点.

参考答案,

变式拓展

y=kx-.

]疗一/=16消去,得《一")'T6=°①,

1•【解析】由4

当4一d=0,即左=±2时，方程①无解;

当4一dwOB寸，，=0-4（4一功（一16）=64＜4-玲,

当/＞0,即一2＜上＜2时，方程①有两解；

当，＜0,即上＜-2或上＞2时，方程①无解；

当，=0,且4一炉工0时，这样的比值不存在.

综上所述，（1）当-2＜上＜2时，直线与双曲线有两个公共点;

（2）不存在使直线与双曲线有一个公共点的k值；

（3）当上4—2或左之2时，直线与双曲线没有公共点.

y=ux+l、，

2.【解析】由%2,2_1消去了得(3一。»一26一2=0.

2a-2

设A(%，x),B(x,y),则玉+工2=——？，="——.

223-a3-a'?

22

⑴|AB|=A/(x1-x2)+(yl-y2)=^(1+/)[(内+々)2—4%/2】

2a1+/)(6一/)2/1+22)(6—22)

当。=2时，|AB|==2厢.

|3-22|

(2)由题意知，OALOB,则玉%2+,％=0，即玉&+(叫+1)(%+D=0，

即(1+〃)大占+。(5+9)+1=0,即(1+/)-----+a^-+1=0,解得a=±1.

3-a~3-a~

所以当以力夕为直径的圆经过坐标原点时，a的值为1或-1.

3.【解析】（1）设双曲线的标准方程为2r=1（4＞0,。＞0）,

ab~

由已知得£=@,2b=2,

a2

又4+b2=c2,解得a=2,b=l,

y,

所以双曲线的标准方程为=1.

4

y=kx+m

（2）设4菁,乂）,仅工2，%），由＜£_、2得(1一4/)%2-Smkx-4(^+1)=0,

.4)=1

A=64疗左2+16(1—4公)(加2+1)>o

8"认

则〈玉+々

1一4公

-4(/?z2+1)

x,x

2\-4k2

irr-4^2

yy=(kX[+m)(kx2+m)=+mk(x+x)+m2

t2t21—4公

以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（-ZO），二kg.%=-1,

222

yim-4A-4^m+1)I6mk.n

即-^―---=~L，PM+丹马+2(冯+均)+4=01.\--------=-+———+------T+4=0

天4-23^+21-4后l-4/t21-4后

二3^2—16Mk+20勿1=0,解得m=2k或所=唾

3

当胆=船时，/的方程为y=A（x+2）,直线过定点（一2：0）,与已知矛盾;

当胴=可时，/的方程为y=k（x+—）f直线过定点（-不=0）,经检蛉符合已知条件,

所以直线/过定点，定点坐标为（-竽：0）.

C_1

4.【解析】（1）由题意知£一2,右焦点尸2（1，0）,即C=l,且辰+°2=&2，

解得a=2,b=G,

所以椭圆E的方程为43

(2)由(1)知P(-2,0),

当直线的斜率不存在时，即直线4B的方程为x=1,

3311

4(1),8(1,一)尸43=三》+2),直线28:丫=-53+2)

易知22,所以直线22.

令x=4,可知：M(4,3),N(4,-3),

此时前PN=27.

当直线AB的斜率存在时，设直线幺8的方程为y=A(x-1),

设以必，%)，8(M，凫)，直线P小尸=*1曲+"A。+2),直线PE：y=J合T?十4Q+2),

令x=4,可知M(4,券？,N(4,笠),

*17-3*24-3

»=上(*-,消去整理得()婷一炉炉

联立《1)y3+448x+4—12=0,

3f+4/=12

4^-12

..X4-Xn=-----Y,不论=

3+4k2F3+4后

=光।36：%刍一&+t)+□

此时丽.丽=36+36M打=36+36/(^^)=27.

(不+2)(巧+2)+2(%+与)+4

综上所述，前•可为定值，目丽•丽=27.

考点冲关

-------

1.【答案】A

22

xy

—।—

【解析】由题意得直线y-l=k(x-l)恒过定点(1,1),而点(1,1)在椭圆94=1的内部，所以直线与椭圆相

交.选A.

2.【答案】D

【解析】•.•双曲线的渐近线方程为y=±x,.•.当-1＜在W1时，直线与双曲线的右支只有1个交点；

当〃W-1时，直线与双曲线的右支没有交点.

把y=6—1代入y-y2=4得(1一左2)f+2入一5=0,

令/=4二+20(1—/)=0,解得公2或公-2(舍去).

...直线丫=依-1与双曲线--/=4的右支有两个交点时，1<衣<2.故选D.

3.【答案】C

„,、y=tan30°(x-2)=——(x-2)人

【解析】由题意知尸⑵。)，力6所在直线的方程为.31联立F2=8X消元得

y2_8岛-16=0,设4(*1，力)，8。2，丫2),则+乃=8火,力,丫2=一16,

所以718|尸乐/64X3+4x16=32,故选c.

4.【答案】B

【解析】设直线幺B的方程为y=*+t,幺Gi,%),8(吗，为)，

利用椭圆与平行四边形的对称性可得：。(一孙，-先)一

y=x+t

联立，一/，消去〃得3婷+4以+2户一4=0,

——+—=1

42

由A>0,即(旬2-4x3x(2d—4)>0,

解得。</<6《£=0时不能构成平行四边形)，

4>e

a

则直线AD的斜率/=正丝=-+W=1+_至一=1+当=一：.故选B.

再+为毛+巧毛+巧2£2