课件第四章弯曲内力

第四章

弯曲内力§4.1弯曲的概念和实例工程问题中，有很多杆件是承受弯曲变形的。受力特点：变形特点：外力垂直于杆件的轴线轴线由直线变为曲线以弯曲变形为主的杆件—称为梁对称弯曲的概念对称轴#

梁的横截面至少有一个对称轴所有的截面的对称轴构成纵向对称面#

所有外力都作用在梁的纵向对称面内研究矩形截面梁的对称弯曲矩形截面梁有一个纵向对称面当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲变形后的轴线成为位于该对称面内的平面曲线，称之为对称弯曲。§4.2受弯杆件的简化一、支座的几种基本形式固定铰支座可动铰支座固定端二、静定梁的基本形式悬臂梁简支梁外伸梁悬臂梁简支梁外伸梁静定梁§4.3剪力和弯矩F1F2FRAABaMFSmmFRBF1a(x)(x)可知：梁的横截面上应有竖向力

FS(x)剪力力偶

M(x)弯矩F3xyFRAMFSF1a(x)(x)FRA对截面形心

O取矩，建立力矩平衡方程计算指定截面的剪力和弯矩研究左侧梁段的平衡如果研究右侧梁段的平衡，相信会给出同样的结果！O剪力和弯矩的符号规定#剪力mmmmFSFSFSFS使梁段顺时针转动的剪力为正(+)使梁段逆时针转动的剪力为负(-)#弯矩使梁段凸向下的弯矩为正(+)使梁段凸向上的弯矩为负(-)mmMmmM例1悬臂梁AB,求1-1和2-2截面上的剪力和弯矩。解：(1)约束反力

(2)截面1-1ABaa2FFRAMAFRAMAM1FS1Me2=4FaMe1=FaF2211(3)2-2截面FRAMAM2FS2Me1=FaFABaa2FFRAMAMe2=4FaMe1=FaF1221任一截面的剪力FS=S[截面一侧横向力的代数值]计算指定截面的剪力和弯矩法则：左上右下为正，反之为负任一截面的弯矩M=S[截面一侧外力对截面形心之矩的代数值]左顺右逆为正，反之为负§4.4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图表示剪力和弯矩沿杆轴变化规律的图形称为剪力图和弯矩图。学习剪力、弯矩图的画法4个基本的剪力、弯矩图(剪力方程、弯矩方程）MxFlFlF:ABxmm任意截面m-mFSxlqFSxql/2AB:FRAFRBql/2ql2/8l/2lqABFRAFRBFSxql/2ql/2Mxx1x2FCABablFRA分段：AC、CB两段（集中力作用点）:FRBabF/lbF/laF/l集中力作用处弯矩图发生折曲x1x2FCABablFRAFRBFSxMx集中力作用处剪力图发生突变lbaABx1x2CMe:FRAFRB分段：AC、CB两段（集中力偶作用点）集中力偶作用处弯矩图发生突变Meb

/lMea

/lMe/lB集中力偶作用处剪力图没有变化lbaABx1x2CMeFRAFRBFSxMxACB例2约束反力x1分段：AC、CB两段（均布载荷终点）ACBx2ACBx25qa/34qa2/325qa2/18qa/3qa2FSxMx总结FS、M图的基本画法：1、用静力学平衡方程求解出支座反力2、研究FS、M

的分段情况

分段端点通常为：#集中力或集中力偶的作用处#分布载荷的起始和终点处3、根据分段情况，选择任意截面，写该截面的FS、M方程，（既可选用左侧的外力，也可选择右侧的外力）4、按写出的FS、M

方程，画FS、M

图5、检查FS、M

图的正确性6、注意图形的极值点（有、位置、极值）总结FS、M图的基本画法：§4.5载荷集度、剪力和弯矩间的关系q=q(x)Oxyxdxq(x)FS(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)Cq(x)FS(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)Cdx一、微分关系研究dx微段的平衡（舍去二阶小量）一、微分关系q=q(x)Oxyxdxq(x)FS(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)C二、积分关系对于[x1

x2]区间二、积分关系对于[x1

x2]区间注意：[x1

x2]区间不应有集中力和集中力偶＃用于检查FS、M图的形态＃用于检查区间FS、M的增量三、突变关系总结FS、M图的变化规律：1、在q=0的区段，FS图为平直线，

M图为斜直线。2、在q=C

的区段，FS图为斜直线，

M图为二次抛物线。3、在集中力作用处，FS图发生突变，突变值等于集中力值，M图产生折角。在集中力偶作用处，M图有突变，突变值等于集中力偶矩值，FS图无变化。4、在FS=0的截面处，M图有极值，极值的数值可用（无集中力偶）一侧FS图面积的代数和计算（注意右侧FS图面积的区别）。CABD20kN15kN25kNFSx31.25kNm20kNm20kNmMx—§4.6直接画剪力、弯矩图1、计算支反力（清楚全梁的受力情况）步骤：2、研究FS、M图的分段情况3、根据微分关系研究FS

、M图形态直线曲线；增减性；凸凹性4、计算FS

、M图的段端值根据突变关系，积分关系难点：M段端值5、根据曲线形态和段端值画FS

、M图解：1、解支座反力（方法：单独载荷反力叠加法）2、研究分段两段CA、AB段3、图形的形态和段端值计算FSMCCA段A-0A+0AB段B平直线斜直线\斜直线抛物线╭╮-20-2015-25CAB20kN15kN25kN#FS图按横向力走向可直接画FSMCCA段A-0A+0AB段B平直线斜直线\斜直线抛物线╭╮-20-2015-25DFSx40kNCABMx31.25kNm20kNm20kNmFSMCCA段A-0A+0AB段B平直线斜直线\斜直线抛物线╭╮-20-2015-250-20020CABD20kN15kN25kNFSx#

难点：M的段端值（用FS图面积计算）ACB例2FSx3qa/2qa/2qa斜直线抛物线qa2/8qa2ACBMx两端的弯矩M值引起注意的内容：自由端、铰支端，无集中力偶作用时M=0关于M图的凸凹性和极值点注意M图导数；补算极值难点：M段端值（FS图面积计算）左侧FS图面积的代数和=M数值右侧FS图面积的代数和＝－M

数值区间内不应有集中力偶作用检查集中力偶作用处M图突变关于的FS、M的要求：＃不写剪力弯矩方程，直接画图Maaaa例3CABq2qaED注意到结构对称，载荷对称，支反力应是对称的解：研究分段：四段CA、AE、EB、BD按横向力的自然走向画剪力图弯矩图在各段内均是二次抛物线aaaaCABq2qaEDFSxqaqaqaqaMxqa2/2qa2qa2/2CA段FS图面积

-qa2/2–BD段FS图面积

-qa2/2剪力图面积法计算弯矩图的段端值结构对称、载荷对称剪力图反对称、弯矩图对称aaACBqqqa2/2例4注意到结构对称，载荷反对称，形成一个力偶解：FRA和FRB也应形成一个力偶FRA按横向力的自然走向画剪力图FRB弯矩图在各段内均是二次抛物线AD段FS图面积

qa2/32aaACBqqqa2/2qa/4qa/4FSxqa/43qa/4qa/4MxDEqa2/32AC段FS图面积代数和qa2/4qa2/32qa2/4剪力图面积法计算弯矩图的段端值结构对称、载荷反对称剪力图对称、弯矩图反对称ABCEq=5kN/mF=24kN6m2m2m2m注意到这是一个物系平衡问题解：12kN例512kN12kN31kN11kN研究FS、M图分段：4段DCABCEq=5kN/mF=24kN6m2m2m2m12kN31kN11kNDFSx11kN19kN12kN12kNMx12.1kN·m24kN·m面积相等24kN·m弯矩必等于零铰链处（包含中间铰）若无集中力偶作用剪力图面积法计算弯矩图的段端值§4.7平面刚架和曲杆的内力及内力图一、平面刚架杆与杆之间通过刚节点连接的杆系结构，称为刚架全部杆在一个平面之内，且载荷与约束反力均位于此平面内，称为平面刚架二、平面刚架的内力和内力图FABCFa1.5ax111x11F1AM(x1)FS(x1)取左段为研究对象可知FABCFa1.5ax111x222取上段为研究对象FABFx222M(x2)FN(x2)FS(x2)考虑平衡（右侧受压）x11F1AM(x1)FS(x1)FABFx222M(x2)FN(x2)FS(x2)可知：对于平面刚架，内力通常包括轴力、剪力和弯矩符号规定：轴力：拉伸为正，压缩为负剪力：使研究对象顺时针转动为正，反之为负弯矩：不规定正负号约定：弯矩图画在构件的受压侧（右侧受压）x11F1AM(x1)FS(x1)FABFx222M(x2)FN(x2)FS(x2)FN图FABCFa1.5ax111x222F（右侧受压）x11F1AM(x1)FS(x1)FABFx222M(x2)FN(x2)FS(x2)FS图FABCFa1.5ax111x222FF（右侧受压）x11F1AM(x1)FS(x1)FABFx222M(x2)FN(x2)FS(x2)M图FABCFa1.5ax111x222FaFaFa/2注意节点处FN、FS和M的特点M1=FaFS1=FFS2=FFN2=FBFM2=Fa在节点B处，AB段和BC段的弯矩应是相同的，亦即M1＝M2FF二、平面曲