商洛市洛南中学2021届高三上学期第一次模拟数学（理）试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精陕西省商洛市洛南中学2021届高三上学期第一次模拟数学（理）试题含解析2020—2021学年度第一学期第一次模拟考试高三数学（理科)一、选择题。1.已知集合，，若，则实数的取值范围为(）A。 B. C。 D。【答案】D【解析】【分析】先求出集合,再根据包含关系可得关于的不等式,从而可求其取值范围.【详解】，因为，故.故选：D.【点睛】本题考查一元二次不等式的解、集合的包含关系，后者应根据包含关系得到参数满足的不等式或不等式组，注意端点是否可取，本题属于基础题。2。下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(）A。 B. C。 D.【答案】A【解析】【分析】根据基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可.【详解】。显然该函数为奇函数；时，为增函数，时，为增函数,且该函数在R上为增函数，即该选项正确;。，为幂函数，既是奇函数又是减函数，不符合题意；。为一次函数，不是奇函数，不符合题意；.为反比例函数，为奇函数，在区间以及上都是减函数,不符合题意；故选：。【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，定义是解决该类题目的基本方法熟记基本函数的相关性质是解题基础,是基础题.3.下列四个命题①命题“若，则”的逆否命题为“若，则”②“”是“”的充分不必要条件③若为假命题，则、均为假命题④命题:存在，使得，则为：任意，均有其中，错误的命题个数为(）A.0个 B。1个 C.2个 D.3个【答案】C【解析】【分析】根据原命题和其逆否命题的关系可判断①的正误，根据集合的包含关系可判断②的正误，根据复合命题的真假判断可判断③的正误，根据量词的否定可判断④的正误．从而可得正确的选项．【详解】命题“若，则”的逆否命题确为“若，则"，故①正确．的解为，因为为的真子集，故“”是“”的充分不必要条件，故②正确．当一真一假时，也为假命题,故③错误．命题：存在，使得否定为：任意,均有,故④错误．故选:C．【点睛】本题考查逆否命题、充分不必要条件的判断、复合命题的真假判断、存在性命题的否定,四种命题、存在性命题的否定均可以根据规则写出,充分条件、必要条件的判断可根据集合的包含关系来判断，本题属于中档题．4.函数的零点所在区间为（）A。 B。 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用零点存在性定理即可判断零点所在的区间。【详解】由复合函数的单调性知，是减函数

，，,,，因为,由零点存在性定理知在区间内存在零点.故选:D【点睛】本题主要考查了利用零点存在性定理判断零点所在的区间，属于基础题。5。下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是()A.y＝x B.y＝lgx C.y＝2x D。y＝【答案】D【解析】试题分析:因函数的定义域和值域分别为，故应选D．考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．6.把曲线向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的得到曲线，则（）A。关于直线对称 B。关于直线对称C.关于点对称 D.关于点对称【答案】C【解析】【分析】根据平移变换和周期变换的规则可求的解析式，从而可判断其对称中心和对称轴。【详解】曲线向右平移个单位长度，所得图象对应的解析式为：。再把得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的得到曲线，则所得图象对应的解析式为：。令,从而,故曲线的对称轴的方程为:，令，解得;令，解得；故直线、直线均不是的对称轴。令，从而，故曲线的对称中心,令，解得；令，解得；故为的对称中心，不是的对称中心。故选：C.【点睛】本题考查图象变换和正弦型函数的图象和性质，注意利用整体法来求正弦型函数图象的对称轴和对称性，本题属于中档题。7.已知，，,则（）A。 B。 C. D。【答案】B【解析】【分析】利用对数函数的单调性和指数函数的单调性可判断三个数之间的大小关系。【详解】因为为上的增函数，且，故即,因为为上的增函数，且，故，因为为上减函数，且,故,故，所以.故选：B．【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，此类问题一般通过对数函数、指数函数的单调性和中间数来处理，本题属于基础题．8.定义在上的函数满足，则（)A. B. C. D.【答案】A【解析】，故选A。9。函数f（x)=在[—π，π］的图像大致为A。 B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别,利用特殊值得正确答案．【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．10。已知函数，若函数有2个零点,则实数的取值范围为（）A.(0，1） B. C.(—1,0） D。【答案】B【解析】【分析】画出的图像，进行数形结合，考查和的交点个数即可得解.【详解】如图，若要有2个零点,即和有两个交点即可.故选:B.【点睛】本题考查了函数零点问题，考查了转化思想和数形结合思想,关键点是转化零点问题为函数交点问题,属于中档题。11.定义在上函数满足以下三个条件：①对于任意，都有，②函数图像关于轴对称，③对任意，都有，则，,的大小关系为（）A。 B.C。 D。【答案】D【解析】【分析】由已知条件可得函数周期为2,图象关于直线对称,在区间上单调递增；即可得,，,利用单调性即可比较大小。【详解】①对于任意，都有，则，所以函数周期为2；可得，②函数图象关于轴对称,所以图象关于直线对称；可得③对任意,都有，可得在区间上单调递增；因为，所以，即，故选：D【点睛】本题主要考查了函数的周期性、对称性、单调性、利用函数的性质比较函数值的大小,属于中档题.12.设为上的奇函数，满足，且当时，，则（)A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得对称轴，结合奇偶性可知周期为；可将所求式子通过周期化为，结合解析式可求得函数值。【详解】由得：关于对称又为上的奇函数是以为周期的周期函数且故选：【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，关键是能够利用奇偶性和对称轴得到函数的周期，并求得基础区间内的函数值.二．填空题。13.函数f(x）的单调递增区间是_____．【答案】［，2）．【解析】【分析】根据对数复合函数的单调区间方法以及定义域求解即可。【详解】由题，因为为减函数,故求的单调递增区间即求的单调递减区间,即。又对数函数的定义域有，解得。故的单调递增区间是.故答案为：【点睛】本题主要考查了对数型复合函数的单调区间,属于基础题。14。已知集合，,若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】根据题意得，由于是的充分不必要条件，故，再根据集合的关系求范围即可得答案。【详解】解：根据指数函数的性质得,因为是的充分不必要条件，所以,所以，解得.所以实数的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查根据充分不必要条件求参数范围,指数不等式，是中档题.15。已知且,函数图像恒过点，若在幂函数图像上，则点坐标为________，________.【答案】(1)。(2）。【解析】【分析】令，即，求得，得到，再设幂函数，将点代入求得幂函数解析式，进而求得的值。【详解】由题意，函数图像恒过点,令，即，可得，即,设幂函数，将点代入幂函数，可得,解得，即，所以。故答案为:，.【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，以及幂函数的概念及函数值的运算，其中解答中熟记对数函数的性质，以及根据幂函数的定义求得幂函数的解析式是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.16.设函数f(x)＝ln（1＋|x｜)－，则使得f（x)＞f(2x－1）成立的x的取值范围是________。【答案】【解析】【分析】判断的奇偶性和单调性，据此等价转化不等式，则问题得解。【详解】由f（x）＝ln(1＋|x|)－，且其定义域为，故f（x）为上的偶函数，于是f(x)＞f(2x－1）即为f(|x｜）＞f(|2x－1｜）.当x≥0时，f(x）＝ln（1＋x)－，在均是单调增函数，所以f(x）为［0，＋∞）上的增函数,则由f（｜x|）＞f(｜2x－1｜)得|x|＞｜2x－1|,两边平方得3x2－4x＋1＜0,解得＜x＜1。故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断,涉及利用函数性质解不等式，属综合基础题。三、解答题。17.如图，在正方体中，E为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出,然后利用线面平行的判定定理可证得结论;（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出直线与平面所成角的正弦值.【详解】（Ⅰ）如下图所示：在正方体中，且,且，且,所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；(Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为，则、、、，，，设平面的法向量为，由，得，令，则，，则..因此，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力,属于基础题。18。在锐角△ABC中,角A,B，C的对边分别为a，b，c,且．（I）求角B的大小;(II)求cosA+cosB+cosC的取值范围．【答案】(I）；（II)【解析】【分析】（I)首先利用正弦定理边化角,然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B的大小;（II）结合（1）的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定∠A的取值范围,最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.【详解】（I）由结合正弦定理可得:△ABC锐角三角形，故.（II）结合(1）的结论有：。由可得：，，则,.即的取值范围是.【点睛】解三角形的基本策略:一是利用正弦定理实现“边化角”,二是利用余弦定理实现“角化边”;求最值也是一种常见类型，主要方法有两类,一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值。19。已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且。（1）求抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值.【答案】（1）y2＝8x。(2）λ＝0,或λ＝2。【解析】【详解】试题分析：第一问求抛物线的焦点弦长问题可直接利用焦半径公式，先写出直线的方程，再与抛物线的方程联立方程组，设而不求,利用根与系数关系得出，然后利用焦半径公式得出焦点弦长公式,求出弦长，第二问根据联立方程组解出的A、B两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C的坐标，由于点C在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值.试题解析：（1）直线AB的方程是y＝2（x-),与y2＝2px联立，消去y得8x2－10px＋2＝0,由根与系数的关系得x1＋x2＝。由抛物线定义得｜AB|＝＋p＝9，故p=4（2)由(1)得x2－5x＋4＝0，得x1＝1，x2＝4，从而A(1，－2），B(4，4)．设＝（x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2），又y＝8x3,即［2（2λ－1）]2＝8（4λ＋1),即（2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.【点睛】求弦长问题,一般采用设而不求联立方程组，借助根与系数关系，利用弦长公式去求;但是遇到抛物线的焦点弦长问题时，可直接利用焦半径公式，使用焦点弦长公式，求出弦长.遇到与向量有关的问题,一般采用坐标法去解决，根据联立方程组解出的A、B两点坐标,和向量的坐标关系表示出点C的坐标，由于点C在抛物线上满足抛物线方程,求出参数值。20。心理学家分析选择过马路的方式与性别有关，某中学课外兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取70名同学(男40女30），在不加任何说明和指导的情况下让各位同学自由选择走天桥还是走斑马线过马路，选择情况统计如下表：(单位：人）走斑马线走天桥总计男同学251540女同学82230总计333770（1）能否据此判断有99％的把握认为选择过马路的方式与性别有关？(2）现从选择走斑马线过马路的8名女生中任意抽取两人对她们过马路的情况进行全程研究,记甲、乙2名女生被抽到的人数为，求的分布列及数学期望。附表及公式如图：0.150100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357。87910.828。【答案】（1)没有99％的把握认为选择过马路的方式与性别有关；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）由表中数据求得卡方的值,结合附表可以判定；（2）先求出的所有取值，分别求解每个取值所对应的概率，然后可得分布列，利用期望的公式可求期望.【详解】（1）由表中数据可得，所以没有99％的把握认为选择过马路的方式与性别有关。（2）由题意可得的所有可能取值为：0，1，2.,，。所以的分布列为：012数学期望.【点睛】本题主要考查独立性检验和随机变量的分布列及期望，准确计算卡方是求解独立性检验问题的关键，随机变量的期望求解的关键是计算随机变量取值的概率,侧重考查数学运算和数据处理的核心素养。21。已知函数.(1）当时，求函数的单调增区间；（2)当时，对于任意的，不等式恒成立,求实数的取值范围。【答案】（1），;（2）.【解析】【分析】(1），将a=4代入，解求单调区间即可；(2）令，得,讨论与1的大小关系得g(x）的最值解a的不等式求解即可【详解】（1）∵，∴当时，∴令解得或.∴的单调增区间为，;（2）令，则（i）当时，即，当时，有，(当且仅当时取等号）.∴在上单调递增,∴，（不符合题意,舍去）。（ⅱ）当时，即，，(仅当时取等号）,∴在上单调递增,∴，（不符合题意，舍去）.（ⅲ）当时,即,在上单调递减，在上单调递增.∴令，则.当时，,∴在上单调递增。∴。∴恒成立，满足题意。综上所述：.【点睛】本题考查导数与函数的单调性及最值，考查不等式恒成立及分类讨论思想，考查转化化归能力，是中档题选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答.22。在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）,在以坐标为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为。（1）求曲线的普通方程,并指出曲线是什么曲线；（2)若直线与曲线相交于两点，,求的值.【答案】（1)曲线的轨迹是以为圆心，3为半径的圆。（2)【解析】【分析】（1)由曲线的参数方程，消去参数，