五年级下学期培优

本文格式为Word版，下载可任意编辑——五年级下学期培优专题一数的整除特征

知识对对碰

1.常见数整除的特征

(1)能被11整除的数的特征。奇位数字之和与偶位数字之和相减（以大减小）的差是11的倍数。

(2)能被7（11或13）整除的数的特征：最终三位数与其余各位数所组成的数相减（以大减小），所得差是0，这个数既能被7整除．；也能被11（或13）整除。假使所得的差是7（11或13）的倍数，这个数就能被7（11或13）整除。

(3)能被3（或9）整除的数的特征：各位数字之和为3（或9）的倍数。(4)能被4（或25）整除的数的特征：末两位数为4（或25）的倍数。(5)能被8（或125）整除的数的特征：末三位数为8（或125）的倍数。(6)能被6整除的数的特征：这个数既是2的倍数，又是3的倍数。2.数整除的性质

(1)假使数a，b都能被c整除，那么(a+b)与（a-b）也能被c整除。(2)假使数a能被数b整除，c是整数，那么口c也能被b整除。(3)假使数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除。

(4)假使数a能同时被数b、c整除，而且b、c互质，那么a一定能被积bc整除。

名题典中题

例1(★)判断25102能不能被7或11或13整除。

例2(★)在□内填上适当的数字，使六位数43217□能被4（或25）整除。

例3(★)自然数N由两种数字O和8组成，且是15的倍数。当N可能小时，它是15的多少倍？

例4(★)在685后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，符合条件的最小六位数是多少？

例5(★)已知一个五位数□l691□能被55整除，那么符合题意的五位数是几？

例6(★★)四个学生同时做加法练习，老师在黑板上写出了一个六位数，然后把它的个位数字（不等于0）拿到这个数最左边得到一个新的六位数，老师要求将这个新得的六位数与原来的六位数相加，结果，他们四个人的得数分别是172536，568741，620708,845267。问：在这些答案中哪一个可能是正确的？为什么？

例7(★★)试将1，2，3，4，5，6，7分别填人下面的方框中，每个数字只用1次：

7□1□4（这是一个三位数）□

□□□（这是一个三位数）□（这是一位数）

使得这三个数中任意两个都互质，其中一个三位数已填好，它是714。

例8(★★★)三个连续自然数在100～200之间，其中最小的三位数能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，试写出所有这样的三个自然数。

例9(★★★)假使下面这个41位数555???5?999???9能被7整除，那么中间方格内的数??????????20个520个9字是几？

例10(★★★)用0，1，2，…，9十个数字，各用1次，组成一个十位数。将这个十位

数依次分成三段，每一段不少于三位数。第一段的数分别能被1，2，3整除；其次段的数分别能被4，5，6整除，第三段的数分别能被7，8，9整除，那么第一段的数是多少？（只要求写1个答案）

魔法训练营

1．在25□79这个数的口内填上一个数字，使这个数能被11整除，方格内应填____。2．在下式□中分别填入三个质数，使等式成立。□+□+□=50

3．有55块糖分给甲、乙、丙三个人，甲分的块数是乙的2倍，丙最少，但也多于10块，三个人各分到糖多少块？

4．把7，14，20，21，28，30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等。

5．一个三位数减去它的各个数位的数字之和，其差还是一个三位数51x，求x是多少。

6．用数字1～9组成九位数，左起第一位能被1整除，前两位能被2整除，前三位能被3整除??前九位能被9整除。已知第七位是7，求这个九位数。

7.173□是个四位数，在□中先后填人三个数字，所得到的三个四位数依次可被9，11，6整除，问先后填入的三个数字的和是多少。

8．在□内填上适合的数，使五位数7□36□能被15整除，共有几种不同的填法？

9．小明的妈妈要到银行去取钱，可是她忘了存折的密码，她记得密码是六位数，头三位是586，而且这个六位数能同时被3、4、5整除，且是符合条件中最小的一个。聪明的同学们，你能帮助小明的妈妈回忆起存折的密码吗？

10.有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成一个四位数（例如1409），把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第5个数的末位数字是多少？

专题二质数、合数及分解质因数

知识对对碰1.概念

质数：一个数除了1和它本身没有别的约数，这个数叫做质数，如5，7，29。合数：一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数，如20，45，30。互质数：公约数只有1的两个数叫做互质数。

分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示，叫做分解质因数。如12=2×2×3。这时2和3都是12的质因数。2.性质

(1)任何大于1的合数都能表示成质数的乘积。(2)1既不是质数，也不是合数；质数有无限多个；最小的质数是2；

在质数中只有2是偶数，其余的质数全是奇数；每个质数只有两个约数：l和它本身。

(3)假使一个质数是某个数的约数，就说这个质数是这个数的质因数。(4)合数有无限多个；最小的合数是4；

每个合数至少有三个约数。

(5)假使把一致的质因数合并为它的幂，则任意大于1的整数N只能唯一地表示成：

rnrr21N?P1?P2????Pn;(r1,r2,???rn是自然数，它们分别是P1，P2，…，Pn的指数），此式称

为Ⅳ的标准分解式。3.分解质因数的方法

主要是短除法（在小学阶段），试除时一般从最小质数开始。

例9(★★)一支队伍不超过1000人，列队时分别按2人、3人、4人、5人、6人一排，最终一排都缺1人，改为7人一排时正好。问：这支队伍共有多少人？

例10(★★)用自然数a去除374，410，464，得到一致的余数。a最大是多少？

例11(★★★)两个自然数的差是27，它们的最大公约数与最小公倍数的和是1179。那么这两个数的和是_________。

魔法训练营

1．A、B两个数都恰恰只含有质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知A有12个约数，B有10个约数，那么A、B两数的和等于多少？

2．有12分米长的铁丝12根，18分米长的铁丝9根，24分米长的铁丝10根。现在要把它们截成一样长的铁丝，不能浪费，截下的铁丝要最长，铁丝长是多少分米？可以截成多少根？

3．有铅笔433支、橡皮260块，平均分派给若干小学生。学生人数在30～50之间，分到最终余铅笔13支、橡皮8块，问小学生毕竟有多少人。

4．把一张长147厘米、宽105厘米的长方形纸截成大小一样且长与宽之比是5:3的长方形纸，且没有剩余，问最少可截成几张。

5．现有252个红球，396个蓝球，498个黄球。把它们分组装在n个袋子里，要求每个袋子里都有红、黄、蓝三种颜色的球，而且每个袋子里的红球数一致，黄球数一致，蓝球数也一致。求n最大是几。

6．一箱鸡蛋，两个两个数、三个三个数、四个四个数、五个五个数、六个六个数均多出一个，假使七个七个数正好数尽，问这箱鸡蛋至少有多少个。

7．六年级学生参与植树活动，人数在30和50之间。假使分成3人一组、4人一组、6人一组或8人一组，都恰好分完。六年级参与植树活动的学生有多少人？

8．用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块多少块？

9．某班学生参与一次考试，成绩分为优、良、中、下四等。已知该班有有

1的学生得优，211的学生得良，有的学生得中，其余学生得下。该班学生人数不超过60人，该班得37下的学生有多少人？

10.从甲地到乙地原来每隔45米安装一根电线杆，加上两端的共53根。现在改为每隔60米安装一根，除两端的两根不必移动外，中间还有多少根不必移动？

11.甲校和乙校有同样多的同学参与数学竞赛，学校用汽车把学生送往考场。甲校用的汽车，每车坐15人；乙校用的汽车，每车坐13人，结果甲校比乙校少派一辆汽车。后来每校各增加一个人参与竞赛，这样两校需要的汽车就一样多了。最终又决定每校再各增加一个人参与竞赛，乙校又要比甲校多派一辆汽车。问最终两校共有多少人参与竞赛。

12.有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整时响一次铃，中午12时整，电子钟既响铃又亮灯，问：下一次既响铃又亮灯是几时？

13.大雪后的一天，小飞和爷爷共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全一致，小飞每步长48厘米，爷爷每步长72厘米，由于两人脚印有重合，所以各走完一圈后雪地上只留下40个脚印，求花圃的周长。

14.有两个油桶，一个容积为27升，另一个容积为15升，只利用这两个油桶怎样从一个大油桶中倒出6升油来？

规律学的用处

有个学生请教数学家规律学有什么用。数学家问他：“两个人从烟囱里爬出去，一个满脸烟灰，一个干清白净，你认为哪一个该去洗澡？〞“当然是脏的那个。〞学生说。

“不对。脏的那个看见对方干清白净，以为自己也不会脏，哪里会去洗澡！〞这就是数学家的规律学。

专题四分数计算

知识对对碰1.有关概念

最简分数：分子和分母是互质数的分数叫做最简分数，也叫做既约分数。

分数化简：根据分数的基本性质，把一个分数化为最简分数的过程，叫做分数化简。约分：把一个分数的分子和分母都除以它们的公约数（1除外），化成与原来分数相等的分数，这种运算叫做约分。2.分数的基本性质

分数的分子和分母同时乘或除以一个不为0的数，分数值的大小不变。分数的基本性质是通分的基础和依据。3.约分方法

(1)逐次约分法。把分数的分子和分母逐次除以它们的公约数，直到得出一个最简分数为止。

(2)一次约分法。把分数的分子和分母都除以它们的最大公约数，就得到一个最简分数。(3)辗转相除法。当分子和分母都比较大时，一般先用辗转相除法求它们的最大公约数再约分。

4.比较分数的大小

对于分数

bdbd和来说，假使bc?ad，则?;acacbd?;ac假使bc?ad，则假使bc?ad,则

bd?。ac名题典中典

例1(★)一个分数的分子扩大为原来的2倍，分母不变，分数值会发生什么变化？假使分数的分母扩大为原来的2倍，分子不变，分数值会发生什么变化？

例2(★)计算：625?379?(4?0.01)25例3(★)计算：(

例5(★)化简：

例6(★)计算：

1153252525252252??)?48例4(★)化简：?12645255255252521?2?3?2?4?6?4?8?12?7?14?21

1?3?5?2?6?10?4?12?20?7?21?3512?3?564?78例7(★)把下面各分数化成小数。

917112411

20232525125

例8(★)比较

例9(★)一个真分数，分子、分母是两个连续自然数，假使分母加3，这个分数是

3333122224和的大小。33335222274，求5原分数。

例10(★★)分母是1998的最简真分数有多少个？

例11(★★)比

21大，比小，分子是17的分数共有多少个？73

7．如图11-12所示，有6个长、宽、高分别是4厘米、3厘米、5厘米的一致的长方体，把它们的某些面染上红色，使得有一个长方体只有一个面是红色的，有一个长方体恰有两个面是红色的，有一个长方体恰有三个面是红色的，有一个长方体恰有四个面是红色的，有一个长方体有五个面是红色，还有一个长方体六个面都是红色的。染色后把所有的长方体分割成棱长为1厘米的小正方体，分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体最多有几个？

8.19个边长是1厘米的小正方体堆成如图11-13的形状，求它的表面积。

9．用铁丝做一个正方体框架，要求棱长为15厘米，至少要铁丝多少厘米？这段铁丝假使要做成长15厘米、宽14厘米、高16厘米的长方体框架，长度够不够？

10.图11-14是一个正方体纸盒拆开后的平面展开图。

(1)假使将这个展开图重新恢复成原来的正方体，那么图中的E点、F点分别与哪两点重合？

(2)假使把恢复后的正方体沿它两条棱中点的连线截成两半，并使截面为正六边形，那么，这个正六边形的六条边分别落在正方体的6个面上，请在图中画出这个正六边形的六条边。

11.在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体(如图11-15)。求这个立体图形的表面积。

12.在一个六面都涂成红色的大正方体中，假使想得到100个六面都没有涂红色的小正方体，那么，每个面上至少需要等距离地切几刀？

13.如图11-16是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为第三个正方体小洞的挖法与前两个一致，棱长为积是多少平方厘米？

1厘米的正方体小洞，21厘米，那么最终得到的立体图形的表面4鬼谷算

我国汉代有位大将，名叫韩信。他每次集合部队，只要求部下先后按1～3、1～5、l～7报数，然后再报告一下各队每次报数的余数，他就知道到了多少人。他的这种巧妙算法，人们称为鬼谷算，也叫隔墙算，或称为韩信点兵，外国人还称它为中国剩余定理。到了明代，数学家程大位用诗歌概括了这一算法，他写道：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团聚月正半，除百零五便得知。

这首诗的意思是：用3除一个数所得的余数乘上70，加上用5除这个数所得余数乘上21，再加上用7除这个数所得的余数乘上15，结果大于105就减去105的倍数，这样就知道这个数了。

譬如，一篮鸡蛋，三个三个地数余l，五个五个地数余2，七个七个地数余3，篮子里有鸡蛋一定是52个。算式是：1×70+2×21+3×15=157157-105=52（个）

请你根据这一算法计算下面的题目。

新华小学订了若干张《中国少年报》，假使三张三张地数，余数为1张；五张五张地数，余数为2张；七张七张地数，余数为2张。新华小学订了多少张《中国少年报》呢？

专题七长方体、正方体的体积

知识对对碰

1.长方体和正方体的体积概念及其计算公式(1)长方体体积=长×宽×高

V长方体?abc

(2)正方体体积=棱长×棱长×棱长

V正方体?a3

2.求不规则物体的体积

假使我们碰见不规则的物体要求体积，只要用一个长方体的水箱，把不规则的物体完全浸没在水中，水箱中水上升的体积就是这个不规则物体的体积，从而解决立体图形有关问题中的体积转化。解这类题的基本公式：

水中物体的体积=容器的底面积×水上升或下降的高度水上升或下降的高度=水中物体的体积÷容器的底面积容器的底面积=水中物体的体积÷水上升或下降的高度

（本节中提到容积时，容器的各边长与面积均指容器内部测量数据）

名题典中典

例1(★)一只长方体包装箱，从里面量长60厘米，宽50厘米，高40厘米，内装300个药瓶（包装箱正好装满），平均每个药瓶占箱子多少立方厘米的容积？

例2(★)一个正方体油箱里面装满了油，容积是216立方分米，把这一箱油倒入另一个长方体油箱内，已知长方体油箱长9分米，宽6分米，这个长方体油箱中油深多少分米？

例3(★)在一只长为40厘米，宽为25厘米，水深为20厘米的玻璃鱼缸中放入一个棱长为10厘米的正方体铁块（完全浸没），水可上升到多少厘米？

例4(★)一个底面是正方形的长方体木箱，假使把它的侧面展开，正好得到一个边长是60厘米的正方形，求这个木箱的体积。

例5(★)有一根长3.5米的方木，把它截成3段，表面积增加了144平方厘米，这根方木的体积是多少立方分米？

例6(★)一个长方体的表面积是67.92平方分米，底面积是19平方分米，底面周长是17.6分米，这个长方体的体积是多少？

例7(★)某工厂要做150个棱长为0.8米的无盖正方体硬纸箱，那么，做这些纸箱至少要用多少平方米的硬纸？这些纸箱容积和是多少立方米？

例8(★)如图12-1，有一个棱长为3厘米的正方体，在正方体的上底面向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面再向下挖一个棱长为0．5厘米的小洞，再在小洞中向下挖一个棱长为0.25厘米的小洞，求此时这个物体的体积。

例9(★)在长为16厘米，宽15厘米的长方体水箱中有10厘米深的水。现在往水箱里放一块石头完全沉入水中，这时水面上升了4厘米。假使把石头取出来又放人一个铁球（球浸没在水中，且水没有溢出），这时水深17厘米，正好是水箱的高度。求水箱的容积和铁球、石头的体积。

例10(★★)一个棱长都是整数的长