2022-2023学年江苏省南京市南师大附中2校高三下学期3月联考数学试卷（word版）

PAGEPAGE11页南京市2校2022-2023学年高三下学期3月联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（为虚数单位）的共轭复数的虚部等于1 2．已知，为全集的两个不相等的非空子集，若，则下列结论中正确的是， ， ， ，3．过圆外一点作圆的切线，切点分别为，，则2 34．已知数列是等比数列，且公比，则实数的取值范围为 5．某学校有6个数学兴趣小组，每个小组都配备1位指导老师，现根据工作需要，学校准备将其中4位指导老师由原来的小组均相应的调整到其他兴趣小组，其余的2位指导老师仍在原来的兴趣小组（不作调整），如果调整后每个兴趣小组仍配备1位指导老师，则不同的调整方案为135种 360种 90种 270种6．正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是 7．已知函数图象与函数图象相邻的三个交点依次为，，，且是锐角三角形，则的取值范围是 8．设，则，，的大小关系为 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，是长方体，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是，，，四点共面 ，，，四点共面 ，，，四点共面 ，，三点共线10．定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心．已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有， 函数既有极大值又有极小值 函数有三个零点 过可以作三条直线与图像相切11．设点是的外心，且，下列命题为真命题的是若，则 若，则 若是正三角形，则 若，，，则四边形的面积是512．中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结．中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现．它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条．其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线．曲线是双纽线，则下列结论正确的是曲线的图象关于对称 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 曲线经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点） 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应位置上.13．“”是“”的条件．（请从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选择一个）14．设，则．15．设函数，则使得成立的的取值范围是．16．如图，在矩形中，，，，，分别为，，，的中点，与交于点，现将，，，分别沿，，，把这个矩形折成一个空间图形，使与重合，与重合，重合后的点分别记为，，为的中点，则多面体的体积为；若点是该多面体表面上的动点，满足时，点的轨迹长度为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）如图，在四棱锥中，平面，，．（1）证明：平面；（2）若是的中点，，．求直线与平面所成角的正弦值．18．（本小题满分12分）设为数列的前项和，，对任意的自然数，恒有.（1）求数列的通项公式；（2）若集合，，，，将集合中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列，计数列的前项和为．求的值．19．（本小题满分12分）在凸四边形中，，，，．（1）若，求；（2）若的角平分线交对角线于点，求的最大值．20．（本小题满分12分）某学校为了了解高一学生安全知识水平，对高一年级学生进行“消防安全知识测试”，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”．若该校“不合格”的人数不超过总人数的，则该年级知识达标为“合格”；否则该年级知识达标为“不合格”，需要重新对该年级学生进行消防安全培训．现从全体高一学生中随机抽取10名，并将这10名学生随机分为甲、乙两个组，其中甲组有6名学生，乙组有4名学生．甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6（题中所有数据的最后结果都精确到整数）．（1）求这10名学生测试成绩的平均分和标准差；（2）假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布．将上述10名学生的成绩作为样品，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值．利用估计值估计：高一学生知识达标是否“合格”？（3）已知知识测试中的多项选择题中，有4个选项．小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求的分布列及数学期望．附：①个数的方差；②若随机变量服从正态分布，则，，．21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为.斜率为的直线经过点，点是直线与双曲线的交点，且.（1）求双曲线的方程；（2）若经过定点的直线与双曲线相交于、两点，经过点斜率为的直线与直线的交点为，求证：直线经过轴上的定点.22．（本小题满分12分）已知函数和函数有相同的最小值.（1）求的值；（2）设集合，(为常数).①证明：存在实数，使得集合中有且仅有3个元素；②设，，求证：.

南京市2校2022-2023学年高三下学期3月联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（为虚数单位）的共轭复数的虚部等于1 【答案】．2．已知，为全集的两个不相等的非空子集，若，则下列结论中正确的是， ， ， ，【答案】．3．过圆外一点作圆的切线，切点分别为，，则2 3【答案】．4．已知数列是等比数列，且公比，则实数的取值范围为（） 【答案】．5．某学校有6个数学兴趣小组，每个小组都配备1位指导老师，现根据工作需要，学校准备将其中4位指导老师由原来的小组均相应的调整到其他兴趣小组，其余的2位指导老师仍在原来的兴趣小组（不作调整），如果调整后每个兴趣小组仍配备1位指导老师，则不同的调整方案为135种 360种 90种 270种【答案】．6．正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是 【答案】．7．已知函数图象与函数图象相邻的三个交点依次为，，，且是锐角三角形，则的取值范围是 【答案】．8．设，则，，的大小关系为 【答案】．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，是长方体，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是，，，四点共面 ，，，四点共面 ，，，四点共面 ，，三点共线【答案】．10．定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心．已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有， 函数既有极大值又有极小值 函数有三个零点 过可以作三条直线与图像相切【答案】．11．设点是的外心，且，下列命题为真命题的是若，则 若，则 若是正三角形，则 若，，，则四边形的面积是5【答案】．12．中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结．中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现．它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条．其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线．曲线是双纽线，则下列结论正确的是曲线的图象关于对称 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 曲线经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点） 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为【答案】．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应位置上.13．“”是“”的条件．（请从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选择一个）【答案】充分不必要．14．设，则．【答案】．15．设函数，则使得成立的的取值范围是．【答案】．16．如图，在矩形中，，，，，分别为，，，的中点，与交于点，现将，，，分别沿，，，把这个矩形折成一个空间图形，使与重合，与重合，重合后的点分别记为，，为的中点，则多面体的体积为；若点是该多面体表面上的动点，满足时，点的轨迹长度为．【答案】；．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）如图，在四棱锥中，平面，，．（1）证明：平面；（2）若是的中点，，．求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】解：（1）证明：平面，又平面，，又，，且，平面，平面，又平面，，又，且，平面；（2）根据（1）可知，，两两相互垂直，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建系如图，则根据题意可得：，，，，，，，设平面的法向量为，则，取，直线与平面所成角的正弦值为：．18．（本小题满分12分）设为数列的前项和，，对任意的自然数，恒有.（1）求数列的通项公式；（2）若集合，，，，将集合中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列，计数列的前项和为．求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】解：（1），对任意的自然数，恒有，可得时，，解得；时，，解得；时，，解得．当时，变为，两式相减可得，当时，上式变为，上面两式相减可得，且，所以数列是首项为3，公差为4的等差数列，可得；（2）集合，，，，集合中的所有元素的最小值为3，且3，27，243三个元素是中前102项中的元素，且是中的元素，所以．19．（本小题满分12分）在凸四边形中，，，，．（1）若，求；（2）若的角平分线交对角线于点，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）连接，中，，，，，所以，，所以，中，；.（2）中，，，当且仅当时取等号，，，，，，，令，，的最大值为.20．（本小题满分12分）某学校为了了解高一学生安全知识水平，对高一年级学生进行“消防安全知识测试”，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”．若该校“不合格”的人数不超过总人数的，则该年级知识达标为“合格”；否则该年级知识达标为“不合格”，需要重新对该年级学生进行消防安全培训．现从全体高一学生中随机抽取10名，并将这10名学生随机分为甲、乙两个组，其中甲组有6名学生，乙组有4名学生．甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6（题中所有数据的最后结果都精确到整数）．（1）求这10名学生测试成绩的平均分和标准差；（2）假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布．将上述10名学生的成绩作为样品，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值．利用估计值估计：高一学生知识达标是否“合格”？（3）已知知识测试中的多项选择题中，有4个选项．小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求的分布列及数学期望．附：①个数的方差；②若随机变量服从正态分布，则，，．【答案】（1）；；（2）能；（3）分布列见解析；．【解析】解：（1），，解得，，解得，这40名学生的方差为，．（2）由，，得的估计值，的估计值，，，从而高三年级1000名学生中，不合格的有（人），又，所以高三年级学生体能达标为“合格”．（3）由题意得，的可能取值为0，2，5，，，，的分布列为025．21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为.斜率为的直线经过点，点是直线与双曲线的交点，且.（1）求双曲线的方程；（2）若经过定点的直线与双曲线相交于、两点，经过点斜率为的直线与直线的交点为，求证：直线经过轴上的定点.【答案】（1）；（2）定点．【解析】（1），，又直线经过点，，又，或，又，，，.（2）设，，，解得，，，，令，，，.①联立，，，，代入化简得到，故过定点.22．（本小题满分12分）已知函数和函数有相同的