基础公共课复习资料-概率论-高斯课堂讲义

蜂考速成课《概率论与数理统计》版权声明：内容来自蜂考原创，讲义笔记和相关图文均有著作权，视频课程已申请版权，登记号：陕作蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时一事件的运算及概率考点重要程度分值常见题型1.事件及运算必考6~10选择、填空2.古典概型★★★3~6选择、填空3.几何概型1.事件及运算1)文氏图包含事件差事件+ABB

ABSSSABABAB

ABAABA

BASSSABABAAS独立事件(1)A与B独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立B(2)若C相互独立ASSPPAPBP①两两独立②PAPBPC(3)两两独立C相互独立2）常用公式1德摩根律：ABABABAB(长杠变短杠，开口换方向)2加法公式：PABPAPBPPABCPAPBPCPPPP3减法公式：PABPABPAP4对立事件：PA1PA5独立事件：PPAPB1微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q题1.事件C中至少有一个事件发生可以表示为ABC。题2.设PA0.4,PB0.3,P0.1,则PAB______。解：P(AB)P()P(B)P(AB）＝0.40.30.10.611

题3.已知PAPBPC,PP,P0则C中至少有一

7个发生的概率_______。解：PABCPAPBPCPPPP111112

00

7777题4.若PA0.4，PB0.5,、B互斥，则PAB_______。解：PABPAB1PAB1PAPBP10.40.500.1题5.、B相互独立，PA0.3，PAB，PB_______。解：P(AB)P()P(B)P(AB)PAPBPAPB0.3P(B)0.3P(B)P(B)37题6.若PB0.3，PAB，则PAB_______。解：PABPAPBP0.3PAPPABPAP题7.设P=0，则A.A和B互不相容B.A和B对立C.PA=0或PB=0D.PABPA解：A错：若A和B互不相容P=0，但P=0B和C错：、B独立，PPAPB不一定等于0D正确：PABPAPPA2微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q2.古典概型题1.在一箱子中共有7个球，3个黑球4个白球，求：n!n(n1⑴从中无放回抽取3个球，求A“取得两黑一白”的概率；

0!1⑵从中有放回抽取3个球，求B“取得两黑一白”的概率。解：PA=CC2134C37Cmnnnnm1n!m!m!nm!22PBC=3=3434237777CCn1n1nn题2.一箱产品有a个正品，b品的概率。解：若甲取的为正品，乙取得正品概率：P1aa1abab1出k个”和“逐次无放回若甲取的为次品，乙取得正品概率：baP2abab1取出ki次抽取的时候和第一个人对应的概aa1baaPPP12abab1abab1ab率是一样的，比如最典型的：抽奖。3.几何概型题1.设x的取值范围为6，问2x5的概率为_______。解：P(2x35x123456题2.两个人相约7点至8点到某地点会面，先到者等另一人分钟，过时就可以离去，试求两个人能会面的概率。解：设两人到达的时间分别为x，y，两个人会面的事件为A。y则Axyxy405PA=609xyx3微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时一练习题1.设事件、B互不相容，已知PA=0.4，PB=0.5,则PAB=若、B独立，则PAB2.已知、B是两个独立的事件，其中PA=0.7，PB=0.3，则PAB=3.已知PA=0.5，PAB=0.7,若、B独立，则PB4.、B为随机事件，若PAB=0.5，PA=0.3，则PBA5.甲袋中有46610只白球，现从两袋中各任取1球，则2个球颜色相同的概率是（）6..C..6.甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为0.3和，则飞机至少被击中一炮的概率为____7.掷2颗均匀的骰子，两个点数之和为7的概率为____8.设随机变量A为x5,7上的均匀分布，则关于x的方程29x6A60有实根的概率为4微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时二全概率公式、贝叶斯公式考点重要程度分值常见题型1.条件概率、乘法公式2.全概率、贝叶斯公式必考~15大题1.条件概率、乘法公式题1.投一颗骰子，事件A为“点数大于3B为“点数为5P(B)_______。解：PPB()1()()PA62162P(B)1P()611P()32条件概率：P(B)P()P()P(AB)P()P(B)区别：P(B)样本空间为点数2,3,4,5,6，P(B)=16乘法公式：P()P()P(B)PBA样本空间为点数A6，P(B)=13()P(B)P(AB)题2.已知P()，P(B)0.3，则P()_______。解：P()P()P(B)题3.已知P(AB)，P(B)，则P(AB)_______。解：P(AB)P(AB)P()P()P(B)P(B)P(AB)P()P(B)P()P()P()得P()P()P(B)1P(B)1故P(AB)P()P()2P(B)35微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q2.全概率公式、贝叶斯公式题1.甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量，35%，，次品率分别为，0.02，，现从所有产品中抽取一个产品，试求：⑴该产品是次品的概率?⑵若检查该产品是次品，求该产品是乙车间生产的概率？

全概率公式解题：1设A为发生的事件解：①设事件A为该产品是次品②B为甲厂生产，1B为乙厂生产，2B为丙厂生产32找出完备事件组i③P(B)114P(B)27P(B)3253写出P(B)及P(AB)ii4代入全概率公式：④P(AB)0.03P(AB)0.02P(AB)0.01123P()P(B)P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB)112233nP()P(B)P(AB)iii1贝叶斯（逆概）公式:172455P(B)iP(B)P(AB)iiP()7PBPAB()()⑤P(B)222P()题2.设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为和A和B的产品分别占和的产品中，随机抽取一件发现是次品，则该次品属于A厂生产的概率是多少？解：设事件A为“抽取一件为次品”B为从A工厂生产，1B为从B工厂生产2P(B)，1P(B)2P(AB)0.01，1P(AB)0.022则P()P(B)P(AB)P(B)P(AB)0.011122P(B)1P(B)P(AB)311P()76微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q题3.盒中有4个红球，6个黑球，今随机地取出一球，观察颜色后放回，并加上同色球2个，再从盒中第二次抽取一球，求：⑴第二次取出的是黑球的概率；⑵已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率。解：⑴设事件A为“第二次取出的是黑球”B为第一次取出是红球，1B为第一次取出是黑球2P(B)14P(B)26P(AB)16P(AB)28则46683P()P(B)P(AB)P(B)P(AB)+=1122568P(B)P(AB)2⑵P(B)2223P()35课时二练习题1.已知PA0.8,PB0.4,且AB,则PBA2.设、B是两个随机事件，且0PAPBPBAPBA,则必有（）APABPAB.PBAPAB.CPPAPB.PPAPB.3.设,B满足PBA1则（）AA是必然事件.PBA0C.AB.PAPB.4.仓库中有10箱同种规格的产品，其中2箱、3箱、5箱分别由甲、乙、丙三个厂生产，三个厂的正品率分别为0.9，现在从这10箱产品中任取一箱，再从中任取一件(1)求取出的产品为正品的概率(2)如果取出的是正品，求此件产品由乙厂生产的概率5.某保险公司把被保险人分为33种人在一年内发生事故的概率依次为；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的占，问：(1)一个被保险人在一年内出事故的概率是多大？(2)若已知某被保险人出了事故，求他是“谨慎的”类型的概率。7微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时三一维随机变量考点重要程度分值常见题型离散型随机变量1.分布律、分布函数★★★2.函数的分布★★★3~6选择、填空连续型随机变量3.概率密度、分布函数必考4.函数的分布★★★★6~10大题1.离散型随机变量分布律、分布函数题1.盒中有6个球，其中4个白球，2个黑球，从中任取2个球，求：(1)抽到白球数X的分布律；（2）随机变量X的分布函数解：⑴X可取0，1，2CC1CC8CC02112042PXPX0PX142242CCC2226666X012分布函数：P815615F(x)PXx⑵x0时，F(x)00x1时，1x2时，1F(x)189F(x)2x时，F(x)100x10x19F(x)1x212x①0F(x)1②F()0,F(+)1③F(x)单调不减函数④右连续F(x)F(x)0xx0题2.设随机变量X的分布函数为Fx0x111x，求X的分布律和P1X1x313x解：X113分布函数求分布律：P①先写分断点②分段点处概率减去上一个概率P1XPXPX30.48微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q2.离散型随机变量函数的分布题1.设随机变量X的分布律如下：ggX的分布律X1012P0.30.1①计算gX②合并相同项求：⑴UX1的分布律。⑵WX2的分布律。解：P0.30.1X1012UX12101WX21014⑴UX1的分布律U2101P0.30.1⑵WX2的分布律W014P0.30.13.连续型随机变量的概率密度、分布函数概率密度fx的性质y(1)fx1fxx(2)FxPXxfxxabb(3)PaXFbFafxa9微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q题1.设连续型随机变量X的概率密度函数为fx2,01axx其他，求：求：⑴常数a⑵PX⑶分布函数Fx01解：⑴fxfxfxfx010120ax0011123ax1xa133001a23212⑵PXfxx3112215123xxx3338x⑶x0时，00Fx2210x230x1时，Fxxxx33301221012x31x时，Fxxxx1013330综上所述：x0021Fxxxx3013311x10微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q题2.连续型随机变量X的分布函数F(x)ABx,x，求：求：⑴系数A,B；⑵P1X;⑶X的概率密度f(x)。yx1F()ABAB0A22解：⑴1F()ABAB1B2⑵11F(x)x2分布函数：22P1XF1F1F(x)PX1111arctan1122①0F(x)11111124242②F(x)f(x)③F()0，F(+)1⑶111f(x)F(x)1x1x22x(,)④F(x)单调不减函数⑤右连续：F(x)F(x)0xx04.连续型随机变量函数的分布x题1.设随机变量X的概率密度为8,4fxx0,其他，求Y2X8的概率密度。解：①x4,y2x8②xy8,2x12ggX单调可导①求出g(X)值域y81y81y8③fyfxYX2822②xhy，y1y8yfyY其他0③fyfhyyYX11微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q题2.设随机变量X的概率密度为fxxex0，求YX2的概率密度。0其他解：①x0yx20ggX非单调可导②FyPYyPXy2Y①求出g(x)的值域PyXyP0Xy②FyPYyYFyF0XXPgXyPXhy③0fyFyFyFFyYYXXX11fyeyX2y2yF(hy)X③FyfyYY补充：复合函数求导综上：fyY1yey02y其他0y2x)1y2x22x课时三练习题1.设随机变量X的分布律如下：求：⑴X的分布函数;⑵P1XX1123

P0.30.12.离散型随机变量X的分布函数Fxx，2，2x0，0x1，x1，YX1,求Y的分布律。01，x3.设随机变量X的概率密度为fxxx2,12

其他X的分布函数Fx（2）求PX31PX3212微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q4.设随机变量X的概率密度为fxx，0xA2其他PX11A;（2）分布函数Fx；（3）25.设随机变量X的概率密度为fxx2x2e，x0其他Y1e2X,求Y的概率密度fy。Y13微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时四五种重要分布考点重要程度分值常见题型离散型连续型1.二项分布2.泊松分布3.均匀分布4.指数分布★★★★3~63~6一般不单独考基础知识5.正态分布必考6~12大题必考1.离散型—二项分布【记作：Xbn,p分布律：1PXkCkpkp】nkn题1.一大楼有5台供水设备，设每台设备是否被使用相互独立，同一时刻每台被使用的概率为0.1，问在某一时刻：有时候也写成：⑴恰有两台设备被使用的概率；X~Bn,p⑵至少有两台设备被使用的概率。解：X~b0.1分布律PXkCk5k5k⑴PX2C23

25⑵PX1PX1PX0PX11CC0.1101054555题2.设XBp,YBp,若PX，则PY_______。1

9解：XBpPXkC2p1pkk2kPX1PX1PX01Cp1p00

222511p9p13k3kYBPYkC112k333303PYPYPYC12111101033314微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Qk2.离散型—泊松分布【记作：X~分布律2PXkek】k!题1.假设某地区年地震发生次数服从参数为2的泊松分布，则未来一年，该地区至少发生一次地震的概率_______。

有时候也写成：2k解：2PXke2k!X~P0!120PXPXPXee1111011220!题2.设X、Y相互独立，且X，Y则XY服从~~。12121axb3.连续型—均匀分布【记作X~Ua,b，密度函数fxba0其他】题1.随机变量X在区间服从均匀分布，求Y3lnX的概率密度。解：f(x)101x0其他y3lnx为单调可导函数xy3lnx1y3xe1111yyxe3e333111311313yyyfyfexeeYX3311yey03fy3Y其他04.连续型—指数分布【记作X~E密度函数fxxex0其他0】题1.若X服从E，且PXe，则_______；PX9|X_______。36解：X~Efxxe,x0其他指数函数的无记忆性PXstXsPXt|PXfxe332exeeee63PX9|XPXfxeexe2255515微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Qx215.连续型—正态分布【记作XN概率密度fxe】~,220.7980.51.0(1)图像关于对称(2)越小，图像越陡u题1.设X~N4，PXaPXa，则a=2。解：u2题2.设XN，已知PXa，则PXa。~2解：1.52题3.设XN，~~2YNP1XP2Y02121,,2解：12321016微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q标准正态分布:1x2xXN，概率密度~fxexPXxfx2(1)0，012(2)x1x(3)若X~N,2xx0X1~Na2PXaba3PaXb题4.设X~N4，且1.25,1.75，则P2X_______。42解：PX24221.251.75111题5.若X~N4，则服从N的随机变量是()。A.X4B.XC.2X24D.X22题6.若X~N4，求PX,PX。1.5，。13解：PX=0228PX2P2X2P8X2211112112117微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时四练习题1.设随机变量Xb0.1，则PX2______。2.设随机变量X服从N分布，则其渐近线在()处2A.xB.yC.y0D.x03.设fx为标准正态分布的概率密度，fx为3上的均匀分布的概率密度，若12afx,x01fxab0bfx,x02为随机变量的概率密度，则a,b应满足()A.ab4B.ab4C.ab1D.ab24.若X~Ua，则概率密度fx10axa其他0,分布函数值Fa。5.设随机变量X服从N4分布，满足PXPX，则a()A.0B.2C.4D.56.设XN1，且，则P0X______。7.X与Y相互独立且都服从泊松分布，则XY服从的泊松分布为______。18微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时五离散型二维随机变量考点重要程度分值常见题型1.分布律基础知识离散型二维随机变量2.边缘分布律★★★★★3.独立性★★★★★4.函数的分布★★★5.条件分布★★★6~12选择填空大题题1.已知二维离散型随机变量X,Y的联合分布律如下(1)PXY和PXYX(2)X和Y的边缘分布律(3)X和Y是否独立Y112(4)ZXY,WX,Y的分布律(5)PX1Y解:(1)PXYPXYPXPXPXPX1,Y1,Y1,Y22,Y20.10.20.30.10.7(2)X的边缘分布律PXPXPXPX0.10.2Y1,Y1,Y2PXPXYPXYPXY2X12Y112P0.6P0.30.3Y的边缘分布律XPY0.1Y121pXxiPY10.10.30.6PY0.320.10.1PYy0.30.3119微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q(3)X和Y是否独立PXY独立条件：PXY0.6PXxyPXxPYy,Y=iiiiPXYPXY故X和Y不相互独立。(4)ZXY，WX,Y的分布律P0.10.30.10.1ijX,Y11,22ZXY201134WXY112222,ZXY的分布律WX,Y的分布律Z20134W112P0.1P0.10.50.10.1（5）PXY12PX1Y13PY题2设X和Y相互独立，下表是X与Y的联合分布律，试求出a,b,c,d,,f,g,h填入表中XYy1y2yPXx3ixa18bc1x18def2111acc1111aaX和Y相互独立cgg解：866482cff111111ghhh346623bch111133dgf131ehf4324834420微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时五练习题1．已知二维随机变量XY的联合分布律:要使X、Y相互独立，则,的值为XY122．设二维随机变量X,Y的分布律，则PXYX.0.3C.0.2Y1013．加油站有两套用来加油的设备，设备A是工作人员操作的，设备B是顾客自己操作的，

、B均装有两根加油软管，任取一时间，、B正在使用的软管数分别为X、Y,X、Y的联

合分布律为下表，求：(1)PXY(2)至少有一根软管在使用的概率XY012(3)PXY00.10.081(4)PXY20.34．二维随机变量X,Y的联合分布列见右表,求ZX,Y的分布列XY123121919161316195．设、B为两个随机事件，PPBPAB令随机变量AB1发生1发生

XY0不发生0B不发生(1)求X,Y的联合分布律(2)求PX2Y2121微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时六连续型二维随机变量考点重要程度分值常见题型1.概率密度连续型二维随机变量2.边缘概率密度3.条件概率密度4.独立性必考大题题1.设二维随机变量XY的概率密度为fx,y0x10y1,求：0其他(1)常数c和PXY(2)X,Y的边缘概率密度联合概率密度性质:(3)fxy和f|y|x(4)判定X和Y是否相互独立XYYX||,1fxy++解：(1)fx,y11PX,YDfx,yD边缘概率密度:11111220000111c12c412440011,fxfxyX,fyfxyY条件密度概率:fx,yfx|yXYfyYPXYfxy,D1112x=2x1x=4000161x:01y:01xfx,yfy|xY|XfxX独立性:2x0x11(2)fxfxydyxydy,4X0其他02y0y11fyf,y4Y00fxyfxfy,XY1111(3)2x0x10y1fx|yXY|fyy20Yy:01x:01f,y42y0x10y1fy|xY|Xfx2x0X4fx,y4fxfy2x2y4故X和Y相互独立XY22微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q题2.设X,Y的联合概率密度为fx,y0yx0x10其他A和PXY（2）X和Y的边缘概率密度

（3）X与Y是否独立，为什么fx,y1x112xAxA20000yxx:01y:0xAA13A8x128011yPXY1f(x,y820yDyx11y24dy=4y8y2220y018122yy23360112y1x112y:0x:y1yyx（2）X的边缘概率密度34x0x1xfxfxy,8X00y:0x1Y的边缘概率密度xy214y1y0y1fyfxy,8Yy0其他x:y11（3）,8fxyfxfy故X和Y不相互独立XY23微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时六练习题题1.设X,Y的联合概率密度是fx,y3400xyxy0求：(1)常数k(2)X与Y的边缘分布，并确定是否独立，为什么？(3)P0X0Y题2.设二维连续型随机变量X,Y的联合概率密度函数为：fx,y20x1xy10其他求：(1)关于X和Y的边缘密度函数fx和fyXY(2)求PXY(3)X与Y是否独立，为什么？题3.设X和Y相互独立，X在上服从均匀分布，fyYy1e2y0，试求2其他0(1)X和Y的联合概率密度(2)二次方程a22Y20有实根的概率24微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时七二维随机变量函数的分布考点重要程度分值常见题型1.ZXY分布★★★★★2.Z分布★★★3.ZmaxX,Y分布★★★0~8大题题1.设X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度如下

ZXY型求解：xex0fxfyXY其他0求随机变量ZXY的概率密度。10y10其他1.替换：YZX1,fzfxzxz解：①,fzfxzxZ2确定被积函数：fx,zx②确定被积函数：fx,zx3确定x的积分范围4分情况，带入公式X和Y独立xex00y1fxyfxfy,XY0其他2.替换：XZY1,fzfzyydyzfx,zxexx00y2确定被积函数：fz,y③确定x的积分范围xxx0000y10zx1z1xz3确定y积分范围4分情况，代入公式④分情况，带入公式zz0xz10zx0z1zx1z10z10z1z0fz0z1Zz0积分区间：x:z1z

积分区间：x:0zfzfx,zxzzzxe1e0fzfx,zxzzxzzeeez10z0综上：fz1e0z1zzzee1z25微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q题2.设随机变量X,Y的概率密度为fx,yxy0x10y10其他Z的概率密度。1z解：①fzfx,xx②确定被积函数：11zzfx,(x)xxxxx010x10x1③z0y1010zxxZ的分布替换：YZX1zfzfx,xx1z2确定被积函数：fx,xx④分情况，代入公式3确定x积分范围4分情况，代入公式01zx1z时:0fz0z1x0z1时：积分区间：x:z11z1zz11fzfxx,1zz2xxxxxz1xz22xzz01xz时，因为0zx，所以无意义，则00fz综上：fz22z0z1其他026微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q题3.设随机变量X与Y相互独立且都服从概率密度为fxXZX,Y求的概率密度xex00x0的分布，xxxx解：x0Fxfxee1XX0FxX1ex0xx1ex00x0ZX,Y的分布1FzFzFzXY2fzFzX和Y独立同分布若X、Y独立同分布21ez0zFzFz()2X002e1ez0fzFz001FzFz2X2fzFz题4.设XXX相互独立且具有相同分布Fx，则1,2...nXXX相互独立且具有相同分布Fx，则(1)zXXX的分布函数为：,...Fzn12n(2)zXXX的分布函数为：11,...Fzn12n课时七：练习题1.设X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别如下，求ZXY的概率密度。fxX2x0ex0x0fyY10y2202.设随机变量X,Y的概率密度为f,y10xy1，求Z的概率密度。03.设XXXX相互独立且具有相同分布Fx，1,2,3,4XXXX相互独立且具有相同分布Fx，①ZX,X,X,X的分布函数为_______；1234②ZXXXX的分布函数为_______。,,,123427微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时八数学期望、方差、协方差考点重要程度分值常见题型1.一维随机变量期望与方差2.二维随机变量期望与方差必考1530选择、填空3.协方差大题必考4.切比雪夫不等式★★★03选择、填空1.一维随机变量期望与方差离散型：题1.随机变量X的分布律如下nEXxpiiX012P0.30.3YgXEX（2）YX，求EY（3）DX2nEYgxpii1解：EX00.410.32连续型：EYEX2020.420.3220.3EXxfx2DXEX2E2X1.5YgX题2.设随机变量X的概率密度为fx38x0x220其他EYgxfx方差：Ex（2）YX，求EY（3）DX2DXEX2E2X2333224解：EXxxxx08202332EYEXxfxxxx2222508502DXEXEX223352期望EX方差DX①Ecc②EcXc①Dc0②DbaDX2③EXYEXEY③DXYDXDYXY④X和Y独立EEXEY④X与Y相互独立:DXYDXDY28微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q常用分布的数学期望和方差分布分布列p或概率密度fx期望方差k01分布kPXkp1ppp1pk二项分布Bn,p1nknp1pPXkCppkknk泊松分布PXkek!p)1p几何分布Gpk1PXk1ppp2Nx,2正态分布12,fx222均匀分布Ua,bfx1axbabba2ba212指数分布E0fxex11x2分布不记n2n

2n题3.XU2,10,YP2,则E3XY_____解：XU2,10EX2YP2EY262E3XYE3XEY3EX2EY3622题4.X服从二项分布，EXDX则n=_____P_____EXn6解：DX1pp题5.XU2,则EX2_____解：EXDX1212(322242EXDXEX2231421题6.XN2,YP3,且X与Y相互独立，则3XY_____解：D3XYD3XDY9DX4DY924329微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q2.二维随机变量期望与方差题1.设随机变量X,Y的联合分布律为YX01EX（2）E(3)EXY解：(1)X的边缘分布律X01

p0.3EX01（2）E000.1010.2100.311（3）EXY000.1010.2100.311题2.随机变量X,Y的概率密度为fx,y2x2y0yx1EX,EX,E,求20其他1x解：EXxfx,y=x2x2y00122x=2xx133=2xy00034yxx:01y:0x112x144EX2x2fx,y=x2x2y=2xx000351x,Efxy=xy2x2y0021144xx3303.协方差：CovX,Y协方差：CovX,YEEXEY相关系数:X,Y0为X和Y不相关DXDY（独立一定不相关不相关不一定独立）①CovX,YY,X②CovX,XDX③CovX,C0④Covb,YX,Y⑤

XXYXYXY12,1,2,30微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q题1.设X,Y为随机变量，DXDYCovX,Y8；则_____解：CovX,Y82DXDY25165题2.X和Y方差分别4和9，相关系数为0.5，则D3XY=解：D3XYD3XDY3X,2Y9DX4DYX,Y944912DXDY72120.52336题3.若EEXEY,则下列不正确的是A.X与Y相互独立B.CovX,Y0C.X和Y不相关D.DXYDXDY解：A错误:X与Y独立EEXEY但EEXEY独立EEXEYXY0,0X,Y0不相关DXDYDXYDXDYx,yDXDY0故、、D正确题4.已知二元离散型随机变量X,Y的联合分布如下,求:(1)X和Y的边缘分布律(2)X和Y的相关系数YX112解：(1)X的边缘分布律Y的边缘分布律X12Y112

PP0.30.331微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q(2)EX10.622EX210.62X,YDXDY2DXEX2E2X2.2EEXEYDXDYEY10.310.322EY210.320.320.50.22DYEY2E2Y2.2E0.10.20.60.40.2题5.二维随机变量X,Y联合概率密度为fx,y20x1xy1其他0求：(1)关于X和Y的边缘概率密度fx和fyXYy:x11(2)X和Y的相关系数121x0x1解：(1)fxfxy,2Xx0其他yx12y0y1yfyfx,yY00其他1x:0yxy111(2)EXxfx,y=20x3111EXxfx,yx22206x22111DXEXEX69211EYyfx,y20x3111EYyfx,y2y2220x222141DYEYEY291411E=fx,y0x11yx1x:01y:x1=112XYEEXEY,4331DXDYDXDY11232微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q4.切比雪夫不等式题1.设EXDX由切比雪夫不等式，则PX8_____解：由DXPXEX21PX842切比雪夫不等式DXPXEX2题2.设EXuDX则PXu,6,2_____DXPXEX12解：DX62PXu1122课时八练习题1.设随机变量X服从均匀分布U4，则数学期望E2X______2.设X的分布函数为Fxx1ex04其它0，则EX3.如果随机变量X服从的均匀分布，必满足EXDX3A6B4CD1,94.设X服从参数为的指数分布，则X的方差X()AB1C12D5.若2且X与Y相互独立，则DXY6.设随机变量X,Y相互独立，且EXEYDX3,则EXXY2.7.若随机变量X,Y相互独立,则()ADDXDY.D2XY2DXDY.CDXYDXDY.DXYDXDY.23498.两个随机变量X和Y的协方差X,Y()AEXY.EXYCE.E..2233微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q9.,则CovX,Y10.设DXY3X1,则11.随机变量X和Y满足DXYDXDY则下列说法哪个是不正确的()ADXYDXDY.EEXEYC.X与Y不相关.X与Y独立.12.设随机变量X服从期望为u，方差为2，则由切比雪夫不等式得PXu13.一个随机变量X的期望为10,方差为9根据切比雪夫不等式，PX______14.已知随机变量X的分布律为PXPXC,PX5C,求：1)求常数C2）X的数学期望和方差15.设连续性随机变量X的概率密度为f(x)ax2,0x10,其它1)求常数a2)求数学期望EX3)求方差DX16.已知X,Y的概率密度fx,y0x10yx其他0，求：1）求常数A和PXY2）边缘概率密度3）判断X和Y是否相互独立4）X和Y的相关系数34微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时九大数定理及中心极限定理考点重要程度分值常见题型1.独立、同分布中心极限定理★★★~大题2.二项分布中心极限定理1.独立、同分布中心极限定理定理：随机变量X满足:①独立②同分布③EXu④DXiii2nXX...XX~Nnu,n212nii1nbai1PaXbi题1.生产线上组装每件成品的时间X服从指数分布，其数学期望为15，假设各件产品的组装时间互不影响，试求组装100件成品需要到小时的概率。2.5，1.25题目特点：121解:X~EEXuDXiii5独立、同分布、期望、方差存在、求和XXXXX~Nu212i

i115uui1PXi1155115502.5012.5010.51题2.生产线生产的产品成箱包装，每箱质量随机，假设每箱平均重50千克，标准差为5用载重为5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保证不超载的概率大于。20.977n解：u5

XXXXX~Nnu,n212ni

i1n50nPX50002i5ni1即n即n2n5n35微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q2.二项分布中心极限定理定理：若X~Bn,p近似于Nnp,npp)baPaXb11pp题3.设某系统有1000.1立，以X表示系统完好的部件数，利用中心极限定理求PX2解：X~B0.9近似于Nnp,npp)npPX1p1p212122212课时九练习题1.0.5，标准方差为5000只这样的零件，总重量超过2510的概率是多少？（可能用到的数据：1.4142，7.0711）2.某电话供电网有盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率为，且设开关时间彼此独立，试用中心极限定理求夜晚同时开灯盏数在和x的36微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时十抽样分布考点重要程度分值常见题型1.常用统计量及性质★★★★★0~32.三种常见分布★★★0~3选择、填空1.常用统计量及性质题1.设XXX为来自总体1,2,,n~,XN的简单随机样本，22本函数不是统计量的是(C)。注：统计量不含任何未知参数A.1nni1XiB.X,X,...,X12n2nX1nD.C.iX2ini1i1题2.设总体X~N,,2XXX为从X中抽取的简单随机样本，X为样本均值，S21,2,,nX为样本方差。则X~_______,~Sn_______。常用统计量：解：2XN,nXtn1Sn①样本均值：②样本方差：1nXXini1题3.设Xb,p,XXX为来自总体X的一个样本，1,2,,n1n2SXX2in1i1则EX,DX,ES2。常考性质：解：EXDX1pEX(X)DX()nEXES2DXDXp))DXppnnXnNES2DX1pXtn1Sn37微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q2.三种常见分布①2分布：(卡方)若XXX独立且都服从N，则1,2,,nX1X2Xn~n2222性质：Xn,2~~XY~nn2Yn，则21212②t分布：X若XN,Y2n，且X,Y相互独立，则~~tnYn③F分布：XnXn,Yn，且X,Y相互独立，则~Fn,n2~121212Yn2性质：Fn,n121Fn,n1a12Fn,n211Fn,na21题1.设总体X服从正态分布N。若X，XX为来自X的样本，126YXXXXXX,则c时，~2分布。22123456解：YXXXYXXX11232456EYEXXX11230DYDXDXDX11233101~YYN同理1~0,32~NN33322YY11则+=2Y2Y221212333311111即：Y2Y2XXXXXXY22221212345633333c1338微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q题2.假设总体XN0,3，2X1,X2,X8是来自总体X的简单随机样本，则统计量YXXXX1234XXXX22225678服从自由度为的分布。101~解：令YXXXXN11234~N66X0XXNi~0,32ii~N332222YXXXXXXXX1~4则5678222222567833339Y16~4则tY421XXXXXXXX12346~41234t12222XXXXX2X2X2X256784567891题3.设随机变量T~tn，则~T2分布。A.B.FnC.FnD.Fn12n解：TXXN,2YnYnYn22X1Yn2nnTX,22~21~YnTX111222F,1课时十练习题1.设XN,XN且相互独立，则221~2~1+2~XX分布。X2.设X~N，。Y2,且X与Y相互独立,~~TY3.设X~N1，XXX为来自总体X的一个样本，则1,2EX;DX;ES2。4.设总体X服从正态分布N1，XXX为从X中抽取的简单随机样本，X为样本1,2,,均值。则X1~。39微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时十一参数估计考点重要程度分值常见题型1.矩估计2.最大似然估计必考10~15大题3.无偏估计★★★选择、填空1.矩估计题1.设总体具有分布律如下，试求的矩估计量。矩估计求解方法：X123①1E(X)f)p22121②f1(u)1解：1EX2131322③ˆf1(X)11=3Xˆ31222.最大似然估计题1.设总体X的概率密度函数为fx,101xx101xx，其中0为未知参数，0其他X1,X2...Xn为样本，试求的矩估计量和最大似然估计量。解:(1)1EXx11xx0111=1100X1X1矩估计量为ˆ11n(2)Lx111112nii1111=n