福建省福州重点中学2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题及参考答案

-2023学年第二学期期中考试高二数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）班级姓名座号注意事项：答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．2．导师制是高中新的教学探索制度，班级科任教师作为导师既面向全体授课对象，又对指定的若干学生的个性、人格发展和全面素质提高负责．已知有3位科任教师负责某学习小组的6名同学，每2名同学由1位科任教师负责，则不同的分配方法的种数为（

）A．90 B．15 C．60 D．1803.设P是双曲线QUOTE-QUOTE=1上一点,F1,F2分别是双曲线左、右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于()(A)1 (B)17 (C)1或17 (D)84．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A.个 B.个 C.个 D.个5.已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（

）A． B．C． D．6．“二十四节气”是上古农耕文明的产物，它是上古先民顺应农时，通过观察天体运行，认知一岁中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系.我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度，二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始，已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中立春到夏至的日晷长的和为（

）A．58.5尺 B．59.5尺 C．60尺D．60.5尺7．已知在处有极值，则（）A.11或4 B.-4或-11 C.11 D.48．已知F1，F2是双曲线C：（，）的左、右焦点，A是C的右顶点，点P在过点A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A． B．2 C．3 D．4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知向量则下列命题中，正确的是（

）A．若⊥，⊥，，则 B．以，为邻边的平行四边形的面积是C．若，则，之间的夹角为钝角D．若，则，之间的夹角为锐角10．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是（

）A． B．C． D．11．已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则A．的离心率为 B．的周长为5C． D．12．已知正方体的棱长为1，点分别是的中点，满足，则下列说法正确的是（

）A．点到直线的距离是B．点到平面的距离为C．平面与平面间的距离为D．点到直线的距离为第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1=14.已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．15．已知空间中三点，则点A到直线的距离为__________．16．甲、乙、丙等7人站成一排照相，要求队伍最中间只能站甲或乙，且甲与丙不相邻，则不同的站法有

种．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设是函数的一个极值点，曲线在处的切线斜率为8.(1)求的单调区间；(2)若在闭区间上的最大值为10，求的值.18.（12分）已知直线：，.(1)证明直线过定点，并求出点的坐标；(2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程；(3)若直线不经过第四象限，求的取值范围.19.（12分）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，E，M，N分别是BC，，的中点．(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值．20．（12分）在①；②，且成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.记等差数列的公差为，前项和为，已知__________.(1)求的通项公式；(2)令，求数列的前项和.21.（12分）在平面直角坐标系中，抛物线上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．(1)求抛物线的方程；(2)若直线交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，求证：直线l必过定点．22．（12分）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)设函数，若对于任意，都有，求的取值范围.2022-2023学年第二学期期中考试高二数学参考答案及评分标准第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．1．C【详解】对于A：，故A不正确；对于B：，故B不正确；对于C：，故C正确；对于D：，故D不正确，故选：C.2．导师制是高中新的教学探索制度，班级科任教师作为导师既面向全体授课对象，又对指定的若干学生的个性、人格发展和全面素质提高负责．已知有3位科任教师负责某学习小组的6名同学，每2名同学由1位科任教师负责，则不同的分配方法的种数为（

）A．90 B．15 C．60 D．1802．A【详解】先将6名同学平均分为3组，不同的分组方式为，然后再将分好的3组，分配给3位科任教师，不同的分配方式为.所以，不同的分配方法的种数为.故选：A.3.设P是双曲线QUOTE-QUOTE=1上一点,F1,F2分别是双曲线左、右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于()(A)1 (B)17 (C)1或17 (D)83.解析:由题意知|PF1|=9<a+c=10,所以P点在双曲线的左支,则有|PF2|-|PF1|=2a=8,故|PF2|=|PF1|+8=17,故选B.4．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A.个 B.个 C.个 D.个【答案】A【详解】解：由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与轴有四个公共点，在从左到右第一个交点处导数左正右负，它是极大值点；在从左到右第二个交点处导数左负右正，它是极小值点；在从左到右第三个交点处导数左正右正，它不是极值点；在从左到右第四个交点处导数左正右负，它是极大值点.所以函数在开区间内的极小值点有个.故选：A.5.已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（

）A． B．C． D．5．A【详解】由圆的方程得：圆心为，反射光线恰好平分圆的圆周，反射光线经过点；关于轴对称的点为，反射光线所在直线经过点，反射光线所在直线方程为，即.故选：A.6．“二十四节气”是上古农耕文明的产物，它是上古先民顺应农时，通过观察天体运行，认知一岁中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系.我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度，二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始，已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中立春到夏至的日晷长的和为（

）A．58.5尺 B．59.5尺 C．60尺D．60.5尺6．C【详解】设冬至日晷长为，小寒日晷长为，以此类推芒种日晷长为，因此，，设从冬至日到夏至日过程中，晷长的变化量为，所以有，立春日晷长为，夏至的日晷长为，所以一年中立春到夏至的日晷长的和为，故选：C7．已知在处有极值，则（）A.11或4 B.-4或-11 C.11 D.47.【答案】C【详解】根据题意，函数在处有极值0

且或时恒成立，此时函数无极值点.故选：C.8．已知F1，F2是双曲线C：（，）的左、右焦点，A是C的右顶点，点P在过点A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A． B．2 C．3 D．48.C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知向量则下列命题中，正确的是（

）A．若⊥，⊥，，则 B．以，为邻边的平行四边形的面积是C．若，则，之间的夹角为钝角D．若，则，之间的夹角为锐角9.BD【详解】选项A，设，由⊥，⊥，得，化简得，因为，所以或，即A错误；选项B，由，，知，，，所以，即，所以，所以以，为邻边的平行四边形的面积，即B正确；选项C，若，则，即，共线反向，故C错误；选项D，若，则，此时，之间的夹角为锐角，故D正确，故选:BD.10．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是（

）A． B．C． D．10．BCD【详解】对于A，，当时，，，故A错误；对于B，在恒成立，故B正确；对于C，在恒成立，故C正确；对于D，，因为，所以，所以恒成立，故D正确.故选：BCD.11．已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则

A．的离心率为 B．的周长为5

C． D．11.解答CD12．已知正方体的棱长为1，点分别是的中点，满足，则下列说法正确的是（

）A．点到直线的距离是B．点到平面的距离为C．平面与平面间的距离为D．点到直线的距离为12．AB【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，所以.设，则，.故到直线的距离，故A对.易知，平面的一个法向量，则点到平面的距离，故B对..设平面的法向量为，则，所以令，得，所以.所以点到平面的距离.因为平面平面，所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，所以平面与平面间的距离为，故C错.因为，所以又，则，所以点到的距离，故D错.故选：AB.第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1=13.解：a1=1∴aa3a4a5a6……∴{an}∴a∴S故答案为：425614.已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．14.5【解析】因为圆心到直线的距离，由可得，解得．故答案为：．15．已知空间中三点，则点A到直线的距离为__________．15．【详解】，,，，设点A到直线的距离为，则.故答案为：.16．甲、乙、丙等7人站成一排照相，要求队伍最中间只能站甲或乙，且甲与丙不相邻，则不同的站法有

种．16.【详解】若甲站最中间，则不同的站法有种；若乙站最中间，甲和丙站在乙的一侧，则不同的站法有种；若乙站最中间，甲和丙站在乙的两侧，则不同的站法有种．故总的站法有1008种．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设是函数的一个极值点，曲线在处的切线斜率为8.(1)求的单调区间；(2)若在闭区间上的最大值为10，求的值.17.【详解】（1），由已知得，得，解得． 1分于是， 2分由，得或，由，得， 3分可知是函数的极大值点，符合题意， 4分所以的单调递增区间是和，单调递减区间是. 5分（2）由（1）知， 6分因为在区间上是单调递减函数，在上是单调递增函数， 7分又， 8分所以的最大值为，解得. 10分18.（12分）已知直线：，.(1)证明直线过定点，并求出点的坐标；(2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程；(3)若直线不经过第四象限，求的取值范围.18．【详解】（1）证明：整理直线的方程，得，所以直线过直线与的交点， 1分联立方程组， 2分解得， 3分所以直线过定点，点的坐标为. 4分（2）当截距为0时，直线的方程为，即， 5分当截距不为0时，设直线的方程为，则， 6分解得， 7分直线的方程为，即，故直线的方程为或. 8分（3）当时，直线的方程为，符合题意； 9分当时，直线的方程为，不符合题意； 10分当，且时，，所以解得或， 11分综上所述，当直线不经过第四象限时，的取值范围是：. 12分19.（12分）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，E，M，N分别是BC，，的中点．(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值．19.【详解】（1）连接ME，，∵M，E分别为，BC中点，∴ME为的中位线，∴且， 1分因为且，所以四边形为平行四边形，所以且， 2分又N为中点，∴且，∴，，∴四边形MNDE为平行四边形， 3分∴，又平面，平面， 4分∴平面； 5分（2）连接，，设，，由直四棱柱性质可知：平面ABCD，∵四边形ABCD为菱形，∴，则以O为原点，可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则：，，，，， 6分取AB中点F，连接DF，则，∵四边形ABCD为菱形且，∴为等边三角形，∴， 7分又平面ABCD，平面ABCD，∴，又平面，∴平面，即DF⊥平面， 8分∴为平面的一个法向量，且， 9分设平面的一个法向量为，又，，∴，令，则，，∴平面的一个法向量为 10分∴，∴， 11分∴二面角的正弦值为． 12分20．（12分）在①；②，且成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.记等差数列的公差为，前项和为，已知__________.(1)求的通项公式；(2)令，求数列的前项和.20.【详解】（1）解：若选条件①，（1）由题意得， 1分解得， 3分得， 5分所以数列的通项公式