江苏省南京市重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷及参考答案

-2023学年南京市重点中学高二第二学期期中考试数学试卷一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）1．已知等比数列{an}中，a2＝3，a3＝9，则a5＝（）A．27 B．36 C．54 D．812．已知向量＝（﹣1，2，1），＝（3，x，1），且⊥，那么||等于（）A． B．2 C． D．53．如图，在三棱锥S﹣ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在线段EF上，且满足，若＝，＝，＝，则＝（）A． B． C． D．4．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线y2＝﹣4x的焦点重合，则此椭圆方程为（）A． B． C． D．5．现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则P（B|A）＝（）A． B． C． D．6．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第n行中从左至右只有第12个数为该行中的最大值，则n＝（）A．21 B．22 C．23 D．247．将4名北京冬奥会志愿者分配到短道速滑、冰球和冰壶3个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．36种 B．72种 C．108种 D．144种8．已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣kx，若g（x）有两个零点，则k的取值范围为（）A．（0，1] B． C． D．二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）9．已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N（110，81），其中90分为及格线，则下列结论中正确的是（）附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）≈0.9545．A．该校学生成绩的期望为110 B．该校学生成绩的标准差为9 C．该校学生成绩的标准差为81 D．该校学生成绩及格率超过95%10．一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球，编号为1，2，3，4，5，6，4个白球，编号为7，8，9，10，下列结论中正确的是（）A．若有放回地摸取4个球，则取出的球中白球个数X服从二项分布 B．若一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数Y服从超几何分布 C．若一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为 D．若一次性地摸取4个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为11．圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交点为A、B，则有（）A．公共弦AB所在直线的方程为x﹣y＝0 B．公共弦AB所在直线的方程为x+y﹣1＝0 C．公共弦AB的长为 D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为12．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱B1C，BB1的中点，G为面对角线A1D上的一个动点，则下列选项中正确的是（）A．三棱锥B1﹣EFG的体积为定值 B．线段A1D上存在点G，使A1C⊥平面EFG C．线段A1D上存在点G，使平面EFG∥平面ACD1 D．设直线FG与平面ADD1A1所成角为θ，则sinθ的最大值为三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．已知直线x﹣ay﹣1＝0与直线y＝ax平行，则实数a＝．14．＝．15．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个白球、5个红球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为5或6，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为1，2，3，4，从乙箱子中随机摸出1个球．则摸到红球的概率为．16．已知正项数列{an}前n项和Sn满足，且a3+a5＝10，则m＝．四．解答题（共6小题,共70分）17（10分）．在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．已知（2x﹣1）n＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+⋅⋅⋅+anxn（n∈N*），若（2x﹣1）n的展开式中，______．（1）求n的值及展开式中所有项的系数和；（2）求展开式中含x3的项．18（12分）．已知公差不为0的等差数列{an}中，a2，a3，a5成等比数列，a1+a2＝1．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足bn＝，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Tn．19．（12分）某商场举办店庆活动，消费者凭借购物发票进行现场抽奖．抽奖盒中装有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同．抽奖规则为：抽奖者一次从中摸出2个小球，若摸到2个红球就中奖，否则均为不中奖．小球用后放回盒子，下一位抽奖者继续抽奖．（1）求每一位抽奖者中奖的概率；（2）现有甲，乙、丙三人依次抽奖，用X表示中奖的人数，求X的分布列及均值．20．（12份）如图，在底面为矩形的四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD．（1）证明：AB⊥PD；（2）若PA＝PD＝AB，∠APD＝90°，设Q为PB中点，求直线AQ与平面PBC所成角的余弦值．21．（12分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C的右顶点A在圆O：x2+y2＝3上，且．（1）求双曲线C的方程；（2）动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M，N，设O为坐标原点．求证：△OMN的面积为定值．22．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣2）ex．（1）求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）设g（x）＝f（x）+lnx﹣x+2，记函数y＝g（x）在（，1）上的最大值为g（a）（a∈R），证明：g（a）＜﹣1．

参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知等比数列{an}中，a2＝3，a3＝9，则a5＝（）A．27 B．36 C．54 D．81【解答】解：∵等比数列{an}中，a2＝3，a3＝9，∴公比q＝＝3，∴a5＝＝3×33＝81，故选：D．2．已知向量＝（﹣1，2，1），＝（3，x，1），且⊥，那么||等于（）A． B．2 C． D．5【解答】解：因为＝（﹣1，2，1），＝（3，x，1），且⊥，所以﹣1×3+2x+1×1＝0，即x＝1，所以＝（3，1，1），所以，故选：C．3．如图，在三棱锥S﹣ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在线段EF上，且满足，若＝，＝，＝，则＝（）A． B． C． D．【解答】解：∵点E，F分别是SA，BC的中点，点G在线段EF上，且满足，∴＝＝（﹣）＝×（+）﹣×＝（+﹣），则＝+＝+（+﹣）＝++，故选：D．4．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线y2＝﹣4x的焦点重合，则此椭圆方程为（）A． B． C． D．【解答】解：抛物线y2＝﹣4x的焦点为（﹣1，0），∴c＝1，由离心率可得a＝2，∴b2＝a2﹣c2＝3，故椭圆的标准方程为+＝1，故选：A．5．现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则P（B|A）＝（）A． B． C． D．【解答】解：由题意可得：事件A基本事件数，＝9；事件B的基本事件数，＝3；所以P（B|A）＝＝．故选：A．6．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第n行中从左至右只有第12个数为该行中的最大值，则n＝（）A．21 B．22 C．23 D．24【解答】解：由题意可知，第n行的数就是二项式（a+b）n的展开式中各项的二项式系数．因为只有第12项的二项式系数最大，所以n为偶数，故，解得n＝22，故选：B．7．将4名北京冬奥会志愿者分配到短道速滑、冰球和冰壶3个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．36种 B．72种 C．108种 D．144种【解答】解：先从4名志愿者中选出两名作为一组，其余每人为一组，共种方法，然后将3组志愿者分配到3个不同项目，共种，所以总的分配方案为6×6＝36种．故选：A．8．已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣kx，若g（x）有两个零点，则k的取值范围为（）A．（0，1] B． C． D．【解答】解：函数g（x）有两个零点，等价于方程f（x）﹣kx＝0有两个根，即方程k＝有两个根，令h（x）＝（x＞0），则函数y＝h（x）与y＝k的图象有两个交点，h'（x）＝＝，令h'（x）＝0得，x＝，∴当x∈（0，）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）在x＝处取得最大值h（）＝，又∵当x→0+时，h（x）→﹣∞；当x→+∞时，h（x）→0，画出函数y＝h（x）的大致图象，如图所示，由图象可知，0，故选：D．二．多选题（共4小题）9．已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N（110，81），其中90分为及格线，则下列结论中正确的是（）附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）≈0.9545．A．该校学生成绩的期望为110 B．该校学生成绩的标准差为9 C．该校学生成绩的标准差为81 D．该校学生成绩及格率超过95%【解答】解：因为该校学生的成绩服从正态分布N（110，81），则μ＝110，方差为σ2＝81，标准差为σ＝9，因为μ﹣2σ＝110﹣2×9＝92，P（ξ≥90）＞P（ξ≥92）＝P（ξ≥μ﹣2σ）＝，所以该校学生成绩的期望为110，该校学生成绩的标准差为9，该校学生成绩及格率超过95%．故选：ABD．10．一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球，编号为1，2，3，4，5，6，4个白球，编号为7，8，9，10，下列结论中正确的是（）A．若有放回地摸取4个球，则取出的球中白球个数X服从二项分布 B．若一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数Y服从超几何分布 C．若一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为 D．若一次性地摸取4个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为【解答】解：一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球，编号为1，2，3，4，5，6，4个白球，编号为7，8，9，10，对于A：取出的白球和取出黑球的概率分别为＝和，符合二项分布，故A正确；对于B：一次性地摸取4个球，则取出的球中白球的个数的分布列，符合超几何分布，故B正确；对于C：一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为，故C错误；对于D：取出的白球数为3和4，故P＝P（Y＝3）+P（Y＝4）＝，故D正确；故选：ABD．11．圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交点为A、B，则有（）A．公共弦AB所在直线的方程为x﹣y＝0 B．公共弦AB所在直线的方程为x+y﹣1＝0 C．公共弦AB的长为 D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为【解答】解：由x2+y2﹣2x＝0与x2+y2+2x﹣4y＝0作差，可得4x﹣4y＝0，即公共弦AB所在直线的方程为x﹣y＝0，故A正确，B错误；对于C，圆心O1（1，0）到直线x﹣y＝0的距离为d＝＝，圆O1的半径r＝1，所以|AB|＝2＝，故C错误；对于D，点P为圆O1上一动点，则点P到直线AB距离的最大值为d+r＝+1，故D正确，故选：AD．12.如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱B1C，BB1的中点，G为面对角线A1D上的一个动点，则下列选项中正确的是（）A．三棱锥B1﹣EFG的体积为定值 B．线段A1D上存在点G，使A1C⊥平面EFG C．线段A1D上存在点G，使平面EFG∥平面ACD1 D．设直线FG与平面ADD1A1所成角为θ，则sinθ的最大值为【解答】解：易得平面ADD1A1∥平面BCC1B1，所以G到平面BCC1B1的距离为定值，又为定值，所以三棱锥G﹣B1EF即三棱锥B1﹣EFG的体积为定值，故A正确；对于B，如图所示，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），D1（0，0，2），C1（0，2，2），E（1，2，2），F（2，2，1），所以，，，，设，则G（2λ，0，2λ），所以，，A1C⊥平面EFG⇔，即，解之得，当G为线段A1D上靠近D的四等分点时，A1C⊥平面EFG．故B正确；对于C，设平面EFG的法向量，则，取x＝1，得，同理可得设平面ACD1的法向量，平面ACD1∥平面EFG⇔，设，即（1，1，1）＝k（1，），解得k＝1，，∵0≤λ≤1，∴不合题意，∴线段B1C上不存在点G，使平面EFG∥平面BDC1，故C错误；对于D，平面ADD1A1的法向量为，则sin＝，因为，所以sin，所以sinθ的最大值为．故D正确．故选：ABD．三．填空题（共4小题）13．已知直线x﹣ay﹣1＝0与直线y＝ax平行，则实数a＝1或﹣1．【解答】解：当a＝0时，第二个方程无意义，故a≠0，故直线x﹣ay﹣1＝0可化为x﹣，由直线平行可得a＝，解得a＝±1故答案为：1或﹣114．＝．【解答】解：15．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个白球、5个红球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为5或6，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为1，2，3，4，从乙箱子中随机摸出1个球．则摸到红球的概率为．【解答】解：掷到点数为1，2，3，4的概率为＝，从乙箱子摸到红球的概率为＝，掷到点数为5，6的概率为＝，从甲箱子摸到红球的概率为＝，故摸出红球的概率P＝×+×＝．故答案为：．16．已知正项数列{an}前n项和Sn满足，且a3+a5＝10，则m＝﹣1．【解答】解：∵，，∴，即（an+1+an）（an+1﹣an﹣1）＝0，∵an＞0，an+1＞0，∴an+1﹣an﹣1＝0，即an+1﹣an＝1，故数列{an}是等差数列，公差为1，又a3+a5＝a1+2+a1+4＝10，解得a1＝2，∵，即，解得m＝﹣1，故答案为：﹣1．四．解答题（共6小题）17．在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．已知（2x﹣1）n＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+⋅⋅⋅+anxn（n∈N*），若（2x﹣1）n的展开式中，______．（1）求n的值及展开式中所有项的系数和；（2）求展开式中含x3的项．【解答】解：（1）若选①得：＝5，∴n＝10；若选②得：＝，∴n＝3+7＝10；若选③得：2n＝210，∴n＝10．令x＝1得：系数和为1．（2）（2x﹣1）10＝（﹣1+2x）10，，令r＝3，计算含x3的项为﹣960x3．18．已知公差不为0的等差数列{an}中，a2，a3，a5成等比数列，a1+a2＝1．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足bn＝，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d≠0，∵a2，a3，a5成等比数列，∴＝a2a5，又a1+a2＝1．联立可得，解得，∴an＝0+（n﹣1）×1＝n﹣1．（II）bn＝＝＝，∴数列（bn}的前n项和Tn＝++…++＝＝﹣．19．某商场举办店庆活动，消费者凭借购物发票进行现场抽奖．抽奖盒中装有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同．抽奖规则为：抽奖者一次从中摸出2个小球，若摸到2个红球就中奖，否则均为不中奖．小球用后放回盒子，下一位抽奖者继续抽奖．（1）求每一位抽奖者中奖的概率；（2）现有甲，乙、丙三人依次抽奖，用X表示中奖的人数，求X的分布列及均值．【解答】解：（1）设事件A为“抽奖者获奖”，则P（A）＝＝；（2）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，则P（X＝0）＝＝0.343，P（X＝1）＝＝0.441，P（X＝2）＝＝0.189，P（X＝3）＝＝0.027，故X的分布列为：X0123P0.3430.4410.1890.027所以E（X）＝0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027＝．20．如图，在底面为矩形的四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD．（1）证明：AB⊥PD；（2）若PA＝PD＝AB，∠APD＝90°，设Q为PB中点，求直线AQ与平面PBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）证明：依题意，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，∵AB⊆面ABC，面PAD∩面ABCD＝AD，∴AB⊥面PAD．又PD⫋面PA，∴AB⊥PD；（2）在△PAD中，取AD中点，∵PA＝PD，∴PO⊥AD，∴PO⊥面ABCD，以O为坐标原点，分别以OA所在直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，OP所在的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，不妨设PA＝2，∵∠APD＝90°，∴AD＝2∴P（0，0，），B（，2，0），C（﹣，2，0），A（，0，0），Q（，1，）；∴＝（，2，﹣），＝（﹣2，0，0），＝（，﹣1，﹣）；设面PBC法向量为＝（x，y，z），则；所以；解得：＝（0，1，）．设直线AQ与平面PBC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝＝．因为θ∈（0，]，∴cosθ＝＝＝．所以直线AQ与平面PBC所成角的余弦值．21．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C的右顶点A在圆O：x2+y2＝3上，且．（1）求双曲线C的方程；（2）动