第七章微分方程

第七章微分方程第一页，共75页。在许多问题中,往往不能直接找出所需要的函数关系,但根据问题所提供的情况,有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式.这样的关系式就是微分方程第二页，共75页。解一、问题的提出第一节微分方程的基本概念第三页，共75页。解第四页，共75页。代入条件后知故开始制动到列车完全停住共需第五页，共75页。微分方程:凡含有未知函数的导数（偏导数）或微分的方程叫微分方程.例实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的定义第六页，共75页。微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之微分方程的阶.分类1:常微分方程,偏常微分方程.一阶微分方程高阶(n)微分方程分类2:第七页，共75页。分类3:线性与非线性微分方程.分类4:单个微分方程与微分方程组.第八页，共75页。微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之微分方程的解:.微分方程的解的分类：三、主要问题-----求方程的解(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.第九页，共75页。(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.第十页，共75页。过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.第十一页，共75页。解第十二页，共75页。所求特解为补充:微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来)第十三页，共75页。二、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.分离变量法第十四页，共75页。例1求解微分方程解分离变量两端积分第十五页，共75页。例:求微分方程的通解解：分离变量两端积分得

第十六页，共75页。例:求微分方程

满足初值条件

的特解

解：原方程可化为分离变量得

积分

第十七页，共75页。得lny=lnsinx+lnC

所以y=Csinx是原方程的通解；

由初始条件

可得C=3故所求特解为y=3sinx第十八页，共75页。例:求微分方程

满足初值条件的特解。解：分离变量

第十九页，共75页。积分有从而有

将代入上式得C=2所以隐式特解为第二十页，共75页。例:求微分方程

的特解

解：分离变量

两端积分得

所以第二十一页，共75页。例2：求解微分方程解：两边积分，得解：第二十二页，共75页。通解为解第二十三页，共75页。解由题设条件衰变规律第二十四页，共75页。例4有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度第二十五页，共75页。设在微小的时间间隔水面的高度由h降至,比较(1)和(2)得:第二十六页，共75页。即为未知函数的微分方程.可分离变量所求规律为第二十七页，共75页。解例5某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含的的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内的百分比降低到多少?设鼓风机开动后时刻的含量为在内,的通入量的排出量第二十八页，共75页。的通入量的排出量的改变量6分钟后,车间内的百分比降低到第二十九页，共75页。分离变量法步骤:1、分离变量;2、两端积分-------隐式通解.三、小结第三十页，共75页。一、齐次方程的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原式可分离变量的方程1.定义三齐次方程第三十一页，共75页。例1求解微分方程微分方程的解为解第三十二页，共75页。例:求微分方程的通解

解：令有

则原方程成为

分离变量得第三十三页，共75页。将代入得通解第三十四页，共75页。例2求解微分方程解第三十五页，共75页。微分方程的解为第三十六页，共75页。利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为第三十七页，共75页。例3抛物线的光学性质实例:车灯的反射镜面------旋转抛物面解如图第三十八页，共75页。得微分方程由夹角正切公式得第三十九页，共75页。分离变量积分得第四十页，共75页。平方化简得抛物线第四十一页，共75页。一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.一、线性方程例如线性的;非线性的.四.一阶线性微分方程

第四十二页，共75页。齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)第四十三页，共75页。2.线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:第四十四页，共75页。常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:

未知函数的变量代换.作变换第四十五页，共75页。积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解第四十六页，共75页。解例1第四十七页，共75页。例2:求微分方程

满足初值条件

的特解。解:第四十八页，共75页。=将代入上式得C=

所以特解为y=

第四十九页，共75页。第五十页，共75页。第五十一页，共75页。例5如图所示，平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解解此微分方程第五十二页，共75页。所求曲线为第五十三页，共75页。伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.

方程为非线性微分方程.二、伯努利方程解法:需经过变量代换化为线性微分方程.第五十四页，共75页。求出通解后，将代入即得代入上式第五十五页，共75页。解例3第五十六页，共75页。例4

用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为第五十七页，共75页。解分离变量法得所求通解为第五十八页，共75页。解代入原式分离变量法得所求通解为另解第五十九页，共75页。第七节可降阶的高阶微分方程本节考虑n阶微分方程中的如下的三种特殊类型:y(n)=f(x)

特点：

特点：第六十页，共75页。特例:解法:例1解法:这是关于p的一阶微分方程,若能求出降低了方程的阶数第六十一页，共75页。例2解法:这是关于p的一阶微分方程,若能求出例3降低了方程的阶数第六十二页，共75页。例4已知曲线,它的方程y=f(x)满足微分方程并且与另一条曲线y=ex相切于点(0,1),求此曲线的方程.解∵曲线满足初值问题.分离变量、积分∵上式中无满足初始条件的解，∴考虑满足初始条件的解为y=1-x第六十三页，共75页。代入原方程,得解法：特点：P(x)的(n-k)阶方程可得通解.1、型更一般的情况,如第六十四页，共75页。解代入原方程解线性方程,得两端积分,得原方程通解为例5第六十五页，共75页。求得其解为原方程通解为特点：解法：2、型第六十六页，共75页。解代入原方程得原方程通解为例6第六十七页，共75页。特点解法：类似于全微分方程可降低一阶再设法求解这个方程.附1)恰当导数方程第六十八页，共75页。解将方程写成积分后得通解注意:这一段技巧性较高,关键是配导数的方程.例7第六十九