空间向量与立体几何压轴题汇总（选修2-1）（解析版）

考点21空间向量与立体几何压轴题汇总

一、单选题(共15小题)

1.(2020秋•秦州区校级期末)在三棱锥P-ABC中，雨，平面ABC,NBAC=90°,D,E,尸分别是棱

AB,BC,CP的中点，AB=AC=2,PA=4,则直线必与平面OEF所成角的正弦值为()

A.—B.C.立D.—

5555

【分析】以A为坐标原点，以A8为x轴，以AC为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量

法能求出直线PA与平面DE尸所成角的正弦值.

【解答】解：以A为坐标原点，以48为x轴，以AC为y轴，以4P为z轴，建立如图所示的空间直角坐

标系，

•.•用_L平面A8C,NBAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,C尸的中点，

48=AC=2,PA—4,

(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,4),

D(I,0,0),E(1,I,0),F(0,I,2),

AAP=(0,0,4),DE=(0,1,0),DF=(-1,1,2),

设]=(x,y,z)是平面DEF的一个法向量，

则:？=y=0,取x=],则m=(2,0,1),

n*DF=-x+y+2z=0

设PA与平面OE歹所成的角为e,

则直线PA与平面OEQ所成角的正弦值为：

.nI7Ts一7IAPpn|4V5

sin0=|cos<AP，r)>|=----=;-=—5=.=-^-.

lAPMnl4V55

故选：C.

IA

【知识点】直线与平面所成的角

2.(2021•浙江模拟)在三棱锥P-A3C中，已知必=&〃，CA=Sa,CB=2a,二

面角尸-AB-C的大小为-“则三棱锥P-ABC的体积为（）

【分析】由题意画出图形，由已知求解三角形可得过点尸作A3的垂线交AB的延长线于点

4

JT

D,求解三角形可得得NPOC为是二面角尸-AB-C的平面角，则/PDC=《-，且证

得AC_L平面PCD,再由VpTacV%-ACDV%k_pcD求解三棱锥尸-ABC的体积.

【解答】解：如图，在△以8中，：AB=a,M=V5a,

由余弦定理可得，cosNPBA=a：+2a2*2=乎,得/尸以二匹.

2-a-V2a24

JT

过点P作A8的垂线交A8的延长线于点力，则/PBD=-「故PD=8力=“，

4

在△ABC中，AB=a,3c=2a,AC=J，a,由余弦定理可得，

COSNA8c=止詈?芷•制，，NABC=1•兀，则NDBC=等，

N'a'/aNSo

连接CD,在△BCD中，由余弦定理可得C£>=J§a,

：.BDL+CEr=BC1,故CDJ_AD,

兀

又PDLAO,・・・NPOC为是二面角P-A8-C的平面角，则/PDC=《-.

O

9：CDLAD,PD±AD,CDCPD=D,・・.AO_L平面PC。，

2

则SAPDC寺D-CD・si号真：・

9：AB=BD=a,

[i[1a23

V

・・・三棱锥P-诋的体积为：4ABe4P-ACD卷％PCD4x|X*X2a曦.

C

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积、二面角的平面角及求法

3.（2021•浙江模拟）已知△ABC为直角三角形，且NABC=90°,点£>,E分别在边AB,AC上.现在以

OE为折痕，将△AOE翻折至OE的位置，设8c与A'。所成的角为仇，4'。与平面ABC所成

的角为02,二面角4'-。8-<7的平面角为&，则下列结论正确的是（）

A.012。22。3B.仇C.。3、。22&D.仇》612仇

【分析】根据最小角定理和结论“二面角是所有线面角中的最大角"，得到仇》03^02,过点C作CH

，平面A'BD,连接H2,由线面角的定义得/CBH是直线BC与平面A'所成角，再结合最

小角定理知仇W&,由此能求出结果.

【解答】解：根据最小角定理和结论“二面角是所有线面角中的最大角”，

得到。田。2,。32。2，

过点C作CHJ_平面A'BD,则CHLBD,

连接，8,'：BC±DB,CHC\BC=C,

.•.3D_L平面BCH,

由线面角的定义得/C8”是直线8c与平面4'08所成角，

再结合最小角定理知03^01,

【知识点】二面角的平面角及求法

4.（2021•浙江模拟）如图，梯形48CC为直角梯形，AD//BC,AD=AB=1,ADLAB,/BC£）=45°,将

△ABO沿8。折起，使点A到点P的位置，得到三棱锥P-BCD,其中点P在底面5CO上的射影，在

△8C。的内部.记直线P3与直线A8所成的角为a,直线PQ与平面BCQ所成的角为0,二面角P-

80-C的平面角为丫，则（）

AI)

R

A.p<y<aB.p<a<yC.a<y<PD.a<p<y

【分析】先作辅助线，利用线线角、线面角和二面角的定义找到所求的空间角，然后在合适的三角形中利

用余弦定理和正切函数值，以及最小角定理进行大小比较，即可得解.

【解答】解：设8。的中点为K,连接AK,并延长交BC于E,则E为BC的中点，连接。E,则。E〃A8,

且点，在线段KE上（不含端点），连接P”，DH,PK,PE,

：.a=ZPDE,^=ZPDH,y=ZPKH,

由余弓—噪产=噌~挈

2

2221-PE9

cosy=_-P-K---+-K--E----P-E--=1-尸炉,

2PK-KE

cosa>cosy,a<y»

ptipti

又tan0=^,tany=器，且HD>KH,

HDKH

.*•tanp<tany,/.

由最小角定理知，a>0,

/.p<a<Y.

故选：B.

【知识点】二面角的平面角及求法

5.（2018秋•临川区校级期末）如图，四面体A5CQ中，AB,BC,3。两两垂直，BC=BD=2,点、E是CD

的中点，若直线AB与平面ACZ）所成角的正切值为返，则点8到平面AC。的距离为（）

4

24

返B.C•平D.

33g

【分析】以8为原点，3c为x轴，8。为y轴，8A为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B

到平面4CD的距离.

【解答】解：如图，四面体A8CD中，AB,BC,30两两垂直，

以8为原点，8c为x轴，为），轴，8A为z轴，建立空间直角坐标系，

BC=8O=2,点E是CD的中点，

设84=7,则A(0,0,r),B(0,0,0),C(2,0,0),D(0,2,0),

AB=(0,0,-?),CA=-2,0,f),CD=(-2,2,0),

设平面ACO的法向量。=（x,y,z）,

[n*CA=-2x+tz=0前।殂一，,,2、

则＜__,，取x=l,得n=（1,1,—

n*CD=-2x+2y=0t

•••直线A8与平面ACD所成角的正切值为返，

4

•••直线A8与平面AC。所成角的正弦值为方，

.|AB・n|[•，解得r=4,(t--4,

►•.—舍）,

IABI•InI

平面ACO的法向量]=(1,1,—),AB=(0,0,-4),

2

.•.点8到平面ACD的距离为：

,,lAB-n|_2_4

故选：D.

【知识点】点、线、面间的距离计算

6.（2020秋•宝应县月考）II唇是中国古代用来测定时间的仪器，利用与唇面垂直的唇针投射到号面的影子

来测定时间.把地球看成一个球（球心记为。），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成

角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日辱，若署面与赤道所在平面

平行，点A处的纬度为北纬43°,则唇针与点A处的水平面所成角为（）

A.137°B.47°C.43°D.21.5°

【分析】由纬度的定义和线面角的定义，结合直角三角形的性质，即可得到暑针与点A处的水平面所成角.

【解答】解：可设A所在的纬线圈的圆心为。，0。，垂直于纬线所在的圆面，

由图可得N0H4为唇针与点A处的水平面所成角,

又/。4。'=43°且。4_L4〃，

在RtAOWA中，O'AYOH,

所以/O〃A=NOAO，=43°,

故选：C.

【知识点】直线与平面所成的角

7.（2020春•番禺区期末）在正方体ABC。-ABCQi中，直线4B与平面所成的角的余弦值为（）

。・噜

【分析】连接交BG于点O,连接40,证明3GJ_平面A/C。，所以40为斜线4由在平面ABC。

内的射影，所以/84|。为48与平面481co所成的角，在Rt^A180中求解即可.

【解答】解：连接BC交BG于点0,连接A。.

在正方体A8CD-Ai&CQi中，

因为A|81,平面BCGS.

所以A|8iJ_BC|.

又因为8Gl.SC,BC^OBiC^O

所以8Gl•平面A|8|C£>

所以AQ为斜线A归在平面ABC。内的射影,

所以/8410为48与平面ABC。所成的角.

设正方体ABCD-ABiGG的棱长为1,

所以在△4B0中，A\B=®,。8=返，

2

所以sinX.BA10——,

所以cosN8A10=Y^.

2

故选：A.

【知识点】直线与平面所成的角

8.（2020春•越秀区校级期中）正方体ABCQ-ABCQi的棱长为2,点M为CG的中点，点N为线段

上靠近功的三等分点，平面BMN交AAi于点Q,则AQ的长为（）

i

A.2D.一cD

32-i-i

【分析】取。。中点P,连结MP,AP,则转述_8例，由平面交A4|于点Q,得至“NQj_AP,从而

AQJ_PN,由此能求出A。的长.

【解答】解：取。功中点尸，连结MP,AP,

♦.•正方体A8C。-A&CNi的棱长为2,

点M为CG的中点，点N为线段。"上靠近5的三等分点，

：.APRBM,

・平面8MN交AA|于点。，

：.NQI）AP,：.AQflPN,

,:PN=PD「皿=每2一2|=管1.

【知识点】点、线、面间的距离计算

9.（2020秋•市中区校级月考）在棱长为a的正方体ABC£>-A|BCQi中，P为AQi的中点，Q为上任

意一点，E,尸为CO上两个动点，且EF的长为定值，则点。到平面PE尸的距离（）

运

A.等于5B.和EF的长度有关系

纥

C.等于3D.和点Q的位置有关

【分析】由题意画出图形，然后利用等体积法求点Q到平面PEF的距离得答案.

【解答】解：如图，

在棱长为。的正方体A8CO-A|8|GQ中，

•./为人□的中点，...尸到EF的距离为定值，等于刊）=返&，

2_

连接4Q,过P作PGLA。，垂足为G,则尸G为尸到平面QE尸的距离，等于返球

_4

又A|8〃EP,...Q到"的距离为&a.

又EF的长为定值，设点Q到平面PEF的距离为h,

VP-12EF=Q-SAQEF•PG=£[・EF・&a•平^二务也，

乂%-PEF=ySAPEF，h=f总a・EF・h=*a・EF-h，

・••为，EF二^■a，EF，h，得h=W~a.

12125

故选：A.

【知识点】点、线、面间的距离计算

10.（2020秋•海东市月考）如图，在四面体A2CZ）中，AB=CD=3,AC=BD=V11，AD=BC=2«,/XABC

的重心为O,则。0=（）

48

A.2B.—C.—D.3

33

【分析】画出图形，连接E尸交8c于M,连接AM,则4W为8c边的中线，△4BC的重心。为AM靠近

M的三等分点.

把长方体的对角面4EFO单独画出，如图，记P为A例和EO的交点.通过三角形的相似，转

化求解即可.

【解答】解：如图，将四面体A8co还原到长方体AE8H-GCFQ中，

易知四面体ABCD的棱是长方体AEBH-GCFD的面对角线，

则DE《A2+EB2+EC2产守己声也吟^

连接£尸交BC于M,连接AM,则AM为BC边的中线，△ABC的重心。为AM靠近M的三等

分点.

把长方体的对角面4E/N）单独画出，如图，记P为AM和的交点.

因为△AQPs△例“，且当其冬空_=2，所以P为AM靠近M的三等分点，

PEMPEM

9o

即重心。与尸点重合，故OD=PD*ED吟.

故选：C.

【知识点】棱锥的结构特征、点、线、面间的距离计算

11.(2020秋•浙江月考)在正四面体ABCD中，M,N分别为A。，8c的中点，P为线段MB上的动点(包

括端点)，记PN与CQ所成角的最小值为a,尸N与平面BCD所成角的最大值为0,则()

n

A.a=0B.a>PC.a<pD.a邛=1一

【分析】根据最小角定理得PN与CO所成最小角为CD与平面8cM所成角，即NOCM,由最大角定理得：

尸N与平面BCD所成最大角为二面角M-8C-。，在正四面体中，tana=tan/OCM=返，tan。

3

=tanZDNM=^^-,由此能推导出a<0.

【解答】解：根据最小角定理得：

PN与CD所成最小角为CD与平面BCM所成角，即NDCM,

由最大角定理得：

PN与平面8C。所成最大角为二面角M-8C-。，

记PN与CD所成角的最小值为a,PN与平面SCO所成角的最大值为0,

如图，ci=NDCM,B=NDNM,

则在正四面体中，lana=lan/OCM=1

3

tan0=tanZDMW=,

【知识点】直线与平面所成的角

12.(2020春•天心区校级月考)在棱长为1的正方体ABC。-A山|GO|中，点C关于平面8。C|的对称点为

M,则AM与平面A8CD所成角的正切值为()

A.返B.V2C.V3D.2

2

【分析】以。为原点，DA,DC,所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求

出AM与平面ABCD所成角的正切值.

【解答】解：以。为原点，DA,DC,。n所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

D(0,0,0),B(1,1,0),G(0,1,1),A(1,0,0),Ai(1,0,1),

DB=(1,1,0),DC；=L1)>

设平面BOG的法向量n=(x，y，Z),

n'DB=x+y=O-

则.，取X=l,得11=(1,-1,1)>

n-DC1=y+z=O

平面BDC\的方程为x-y+z=O,

过点C（0,1,0）且垂直于平面BCG的直线方程为：

x=-y+1=z,

^-x=-y+\—z—t,得x=f,y=l-t,z—t,

代入平面方程x-y+z=0,得r+Ll+r=0,解得/=方，

二过点C（0,1,0）且垂直于平面BOC的直线方程与平面BOG的交点为着.1•），

ooO

919

・♦•点C关于平面8OG对称点用（多g自

ooo

一•

平面A8CZ）的法向量ir=（0,0,1）,AM=（-11方，9-1）

OOO

设AM与平面ABCD所成角为6,

2_

则sin°=/=返^,cos0=Ii_A=-

、”二3V93

V999

tan9--^11V2.

COSW

与平面ABCD所成角的正切值为加.

故选：B.

【知识点】直线与平面所成的角

13.（2020秋•尖山区校级月考）在三棱锥S-A8c中，AB=6,BC=8,AC=10,二面角S-A8-C,S-AC

IT

-B,S-BC-A的大小均为一设三棱锥S-ABC的外接球的球心为。，直线SO交平面ABC于点M,

4

则铛•的值为()

0M

1Q

A.—B.1C.—D.2

22

【分析】由二面角S-A8-C、S-AC-B.S-8C-A的大小相等，得S在底面射影为底面三角形ABC的

内心，设为E,利用等面积法求得底面内切圆的半径，再求出底面三边的斜高，然后利用等体积法

求三棱锥内切球的半径；设。是4c的中点，则D是三角形48c的外心，由三棱锥S-A8C的外

接球球心为。，得0。，平面A8C,可得OD〃SE,DE=正,设三棱锥S-ABC的外接球的半径

为R,即。C=0A=R,然后利用三角形相似列式求得凡进一步得到答案

【解答】解：如图，•.,二面角S-4B-C、S-AC-B,S-BC-A的大小相等，

.••5在底面射影为底面三角形A8C的内心，设为E,

；AB=6,3C=8,4c=10,；.AB2+BC2=AC2,可得△ABC是以角8为直角的直角三角形.过

E作连接SF,则E尸为三角形A8C内切圆的半径，由等面积法求得：

22

(.AB+BC+AC)XEF,得EF=2.

根据角平分线性质定理可得AF=4.

TT

•••/SFE为二面角S-AC-8的平面角为一二一.，SE=2.

4

设。是AC的中点，则。是三角形A8C的外心，三棱锥S-A8C的外接球球心为。，

贝IJOC平面A8C,且—=122+12=加

设三棱锥S-ABC的外接球的半径为R,即OC=OA=R,

若。与S在平面ABC的同侧，由直角梯形SEDO与直角三角形ODC得：

2-VR2-5=VR2-52,R无解；

若。与S在平面ABC的异侧2+42_52=依_5,解得

此时00=4.

SM_SE_1,至萼

而而而，…而巧.

故选：C.

B

E'、、

s

【知识点】二面角的平面角及求法

14.（2020秋T2月份月考）已知底面为矩形的四棱锥P-A8C。每个顶点都在球。的球面上，PALAD,PA

=AB,PB=MAB,且BC=2\[2>若球O的体积为^则棱PB的中点到平面PCD的距离为（）

O

A.返B.返C.—D.

2323

【分析】求出球。的半径，推出A8=2.过A作AGLP。于G,取棱以的中点F,连接EF.由等面积法

可得AG,然后求解棱PB的中点到平面PC。的距离.

【解答】解：PB=A/2AB.：.PALAB,

XB41AD,ADQAB=A,：.ABCD.

：底面ABCD为矩形，.I侧棱PC为球O的直径，

设球。的半径为R,则4T=丝土,即R=2,

33

又R应零避耳口解得48=2.

过A作AGLPO于G,取棱外的中点凡连接Ef

易证CQ_L平面APD,则C£>_LAG,从而AG_L平面PCD.

由等面积法可得AG/；子工娓

则F到平面PCD的距离为工,,：EF//AB//CD,C.EF//CD,

2

则E到平面PCD的距离等于F到平面PCD的距离,

故棱P8的中点到平面PCD的距离为逅.

3

故选：B.

【知识点】点、线、面间的距离计算

15.（2020秋•椒江区校级期中）设AABC为等腰三角形，AB=AC=2,NA*-，4。为8c边上的高，将

△AOC沿翻折成△4OC,若四面体ABCO的外接球半径为YG,则线段BC的长度为（）

2

A.2亚B.76C.75D.73

【分析】由题意画出图形，结合已知求出三角形BOC'的外接圆的半径，再由正弦定理求解得答案.

【解答】解：如图，

设等腰三角形8力C'的外心为G,四面体48C。的外接球的球心为O,

连接GO,则。G_L平面,

由已知求得AD=\,又四面体ABCD的外接球半径为

______2

.•.—=｛亭）2_（_1）2=],即等腰三角形8OC'的外接圆的半径为1,

又由已知可得8O=OC=«,由正弦定理可得，一^一=2，

sinZ_DBC

得sin/DBC=零，可得NOBC=NOC8=60°,则8C'=A/3.

故选：D.

【知识点】点、线、面间的距离计算

二、填空题（共9小题）

16.（2020秋•辽阳期末）已知底面为矩形的四棱锥P-A8CD的每个顶点都在球。的球面上，PA±AD,PA

=AB,PB=4QAB,且8c=2M.若球。的体积为巧二则48=,棱PB的中点到平面PC。的

O

距离为.

【分析】由题意画出图形，可证侧棱PC为球。的直径，由球。的体积求得AC,再由长方体的对角线长与

棱长的关系列式求解4B；过4作AGLPD于G,取棱PA的中点F,PB的中点E,连接EF,把

问题转化为求F到平面PCD的距离，然后利用等面积法求解.

【解答】解：如图，_

"：PA=AB,C.PALAB,

又以JL4。，ADQAB=A,%J_平面A8CO,

•.•底面ABCD为矩形，，侧棱PC为球0的直径.

设球。的半径为R,则等1^用工，即R=2,

7AB2+AD2+AP2V8+2AB2

又R=,解得4B=2.

过A作AGLPD于G,取棱必的中点F,P8的中点£,连接EF,

可得C£）_L平面PAD,则CD_L4G,从而AGJ_平面PCD,

由等面积法可得，AG=ZS驾23寻，则F到平面PC。的距离为工AG"3.

2V3323

'JEF//AB,AB//CD,J.EF//CD,则£到平面PCQ的距离等于F到平面PC。的距离,

故棱PB的中点到平面PCD的距离为

故答案为：2；返

3

【知识点】点、线、面间的距离计算、球的体积和表面积

17.（2021•浙江模拟）如图，在三棱锥A-BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC=\,BF

=如，若二面角4-CO-B的余弦值为一上，M为BO的中点，则C£>=___,直线AO与直线CM所

15

成角的余弦值为.

H.4)

D

B

E(A)

如)

【分析】将三棱锥A-8C£>的直观图还原，取8中点N,连接AMBN,可知AN8为二面角A-C£>-B

的平面角，设CD=a(0<«<2),根据题意由余弦定理建立关于“的方程，解出即可求得CO的

值，取AB的中点0,连接OM,0C,则/0MC为直线A0与直线CM所成的角或其补角，求出

相关边的长度，利用余弦定理直接求解即可._

【解答】解：将三棱锥A-8co的直观图还原，则8c=8C=AC=AC=1,ABf回,

取CO中点M连接AMBN,则AN_LCD,BNLCD,故NAN8为二面角A-CO-8的平面角，

2

a

故ss/ANB卅瑞芳2

设CD=a(0<a<2),则AN=BN=~2

乙2-2-

2

a

又二面角A-CD-3的余弦值为一去，故2~~~,解得a3^，即CDh：；

9-^—

2

取AB的中点。，连接OM,OC,易知OM〃AO,

所以N0MC为直线AD与直线CM所成的角或其补角，

易知OMJAD10cqAB孚CH*,所以cos/OHC乌嚼除贮噜,

直线AQ与直线CM所成角的余弦值为Y号.

故答案为：~逅.

212

【知识点】异面直线及其所成的角、二面角的平面角及求法

18.（2020秋•和平区校级月考）已知矩形A8CD,>45=20,BC=15,沿对角线AC将△ABC折起，使得3。

=4M，则二面角8-AC-。的大小是.

【分析】作出二面角的平面角，建立空间坐标系，设二面角为a,表示出B,3两点坐标，根据距离公式列

方程解出a.

【解答】解：在矩形ABC。中，作OEL4C于点O,交45于点E,作4c于点F,

,22=25

VAB=20,5c=15,..AC=J20+151

［）

：.DO=BF=-^^-=12,AO=CF=^152_122=9,

：.OF=25-9X2=7,

在翻折后，以。为原点，以OE,OC所在直线为无轴，y轴建立空间直角坐标系。-孙z,

则/DOE为二面角8-AC-D的平面角，设/。OE=a(0<a<ir),

则。(12cosa,0,12sina),B(12,7,0),

|fiD|=V(12cosCl-12)2+49+144sin2Cl^V337-288cosCI=7481，

.—1._2兀

..cosa------,・・a---------,

23

故答案为：号.

【知识点】二面角的平面角及求法

19.（2020秋•和平区期末）如图，在长方体ABC。-ABCQi中，AD=AA\=\,AB=2,点E为48的中点,

则点B到平面QEC的距离为.

【分析】以。为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点8到平面0EC的距离.

【解答】解：•.,在长方体A8CO-AIBIGQ中，AC=A4]=1,43=2,

点E为AB的中点，

以。为原点，建立空间直角坐标系，如图

：.B(1,2,0),C(0,2,0)E(1,1,0).

Di(0,0,1),

EB=(0,1,0),EC=(-1,1,0),

西=(-1,-1,1),

设平面。1EC的法向量]=a,>•,Z),

则《-n--•-E-B-=-y=0,

,

nED1=-x-y+z=0

取y=l,得n=(0.1,1),

.•.点8到平面"EC的距离：

IEB»n|_1V2

Ini―逅丁.

故答案为：返.

2

【知识点】点、线、面间的距离计算

20.(2020秋•成都月考)在三棱锥P-ABC中，出_L平面4BC,AB1BC,PA=AB^\,AC=M.三棱锥

P-ABC的所有顶点都在球。的表面上，则球。的半径为；若点例、N分别是△4BC与△以C的重

心，直线MN与球。表面相交于。、E两点，则线段。E长度为.

【分析】将三棱锥P-ABC放入一个棱长为1的正方体中，利用正方体的外接球即为三棱锥的外接球即可

求得半径；

建立空间直角坐标系，求出所需点M,N,球心。的坐标，利用向量的坐标运算，得出ON,

MN,然后再利用圆的弦长公式进行求解即可.

【解答】解：因为三棱锥P-A8C中，平面ABC,ABLBC,PA=AB=\,4C=圾，

所以将三棱锥尸-ABC放入一个棱长为1的正方体中，

则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，

因为正方体的体对角线即为其外接球的直径，

所以外接球的半径为R=/pc平：

以点8为坐标原点，BC,BA,过点B的侧棱所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角

坐标系，

则有0），N（y,1）,球心04,-y»）,

—#111、一,11

所以N0=（w，~~r>丁），MN=（O»-y>-y«）>

bob33

所以而•而5=0,

则有ONJLMN,

所以ON‘房,

则根据圆的弦长公式可得DE=2,R2N2=2逅•

3

【知识点】点、线、面间的距离计算

21.（2020秋•会昌县月考）已知等边AABC的边长为2,过点A的直线/与过BC的平面a交于点。，将平

面a绕BC转动（不与平面A8C重合），且三条直线/,AB,AC与平面a所成的角始终相等.当三棱锥

A-38体积最大时，直线/与平面a所成角的正弦值为.

【分析】过点A作AO_L平面8C£>,连结。8,OC,0D,利用三角形全等，得到。点为△8OC的外接圆圆

心，分析当平面A8C时，三棱锥的体积最大，通过计算得出△8DC的外接圆半径，再利用

线面角的计算公式求解即可得到答案.

【解答】解：过点A作AOJ_平面BCD,垂足为O,连结。8,OC,OD,

因为直线/,AB,AC与平面a所成的角始终相等，即/。8A=NOC4=NOD4,

则RtAOBA^RtAOCA^RtAOD/i,

则AD=AB=AC=BC=2,

所以OB=OC=OD,

所以点。为△