2023学年安徽省安庆市高考冲刺数学模拟试题含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知抛物线丁=20%（0>0）经过点加（2,2夜），焦点为尸，则直线ME的斜率为（）

A.272B.受C.—D.-272

42

2.设抛物线C:丁=2Px（p>0）的焦点为匕抛物线C与圆C'：/+（y_6）2=3交于M,N两点，若IMN|=瓜，则

△MNF的面积为（）

.V2R3「3&n35/2

A.——B.-C.-------D.-------

8884

3.在AABC中，a1,c分别为NA,N8,NC所对的边，若函数=gd+以+位十/一砒卜

+1有极值点，则的范围是（）

4,阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数攵（%>0,%。1）的点的轨

迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,3间的距离为2,动点P与A,3的距离之比为注，当P,A,

B不共线时，A7%3的面积的最大值是（）

272口亚

A.272B.0C.

33

5.已知正方体—的体积为V,点M,N分别在棱SB-CG上，满足AM+MN+NA最小，则四

面体AMN。的体积为（）

A.—VB.-VC.-VD.-V

12869

6.已知抛物线C：尸=©，过焦点厂的直线/与抛物线C交于A,5两点（A在x轴上方），且满足|A同=3忸耳,

则直线I的斜率为（）

A.1B.73

C.2D.3

7.已知函数〃x）=2sin（5+o）-l（。>0,0<°〈万）的一个零点是函数y=〃x）图象的一条对称轴是

直线x=—工，则当”取得最小值时，函数/'（x）的单调递增区间是（）

6

5乃271

A.3k兀一:)B.3k兀一——,3k兀-----(ZeZ)

36.36_

2乃…兀H271

C.2k兀一——,2k兀——(左£Z)D.2k九一一,2k7i----(keZ)

3636J

8.在AABC中，AB=3,AC=2,ZBAC=60°,点。，E分别在线段AB,CD±,且CE=2ED,

则布•福=（）•

A.-3B.-6C.4D.9

9.关于函数/*）=$出|刈+|以）5%|有下述四个结论：（）

①“X）是偶函数；②/（x）在区间15可上是单调递增函数；

③“X）在R上的最大值为2；④/（X）在区间［-2羽2可上有4个零点.

其中所有正确结论的编号是（）

A.①②④B.①③C.①④D.②④

10.已知人〃表示两条不同的直线，a,£表示两个不同的平面，且机则“二J_£”是“〃〃/〃”的（）

条件.

A,充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

2

11.已知实数X,y满足则］,2+,2—2,,2+,2-6x+7］的最小值等于（）

A.6>/2-5B.672-7C.76-73D.9-672

12.已知等差数列｛aQ,贝！I“a2>ai”是“数列｛aj为单调递增数歹!］”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知复数z=(li)(a+i)(i为虚数单位)为纯虚数，则实数。的值为.

14.如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为.

正佳苗困的底)*国

15.《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”

借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还

差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有人；所合买的物品价格为______元.

16.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加淮南文明城市创建志愿服务活动，服务活动共有“走进社区”、“环境监测”、“爱

心义演”、“交通宣传”等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲

同学一人报走进社区项目”，则P(A|8)的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)|选修4-5：不等式选讲］

设函数/(x)=|x+l|.

(1)求不等式/(x)〈5-/(x—3)的解集；

(2)已知关于x的不等式2/(x)+|x+a|«x+4在「1,1］上有解，求实数”的取值范围.

18.(12分)已知矩阵弘=，:(”,beR)不存在逆矩阵，且非零特低值对应的一个特征向量。,求。。的值.

19.(12分)已知/(%)=,一4+卜+4(〃>02>0).

(I)当。=8=1时，解不等式〃X)48-X2；

(ID若的最小值为1,求W+J的最小值.

20.(12分)已知(x+1)"=4+。］(%一1)+%(x—1)+I)?---卜％(x—l)”，(其中〃wN*)

Sn=4+凡+。3+•,•+・

⑴求S.；

⑵求证：当"24时，S“>(〃-2)2"+2〃2.

22

21.(12分)已知椭圆C：5+m=1(。>人>0)的两个焦点是月，B，M(、历」)在椭圆C上，且|岬|+|叫|=4,

。为坐标原点，直线/与直线平行，且与椭圆交于A,3两点.连接M4、A仍与*轴交于点。，E.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求证：|/+°可为定值.

22.(10分)已知数列｛4｝的前〃项和为S,,且点(〃,5“)(〃6”)在函数丫=2川-2的图像上；

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设数列也｝满足：4=0,bn+l+bn=an,求也｝的通项公式；

(3)在第(2)间的条件下，若对于任意的〃eN*，不等式2<4〃田恒成立，求实数2的取值范围；

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

先求出2,再求焦点/坐标，最后求Mb的斜率

【详解】

解：抛物线y2=2px(p>0)经过点加(2,2夜)

(2何=2px2,P=2,

尸(1，。)，输=2夜，

故选：A

【点睛】

考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题.

2.B

【解析】

由圆C过原点，知M,N中有一点M与原点重合，作出图形，由|C'M=|C'M=JL=得CM上C'N,

TT

从而直线MN倾斜角为一，写出N点坐标，代入抛物线方程求出参数〃，可得E点坐标，从而得三角形面积.

4

【详解】

由题意圆C过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为“，如图，

由于|CM=|CW|=g,=.,.CWCN,=NNQX=(,

.,.点N坐标为(3瓜代入抛物线方程得(a2=2〃x6p=4,

【点睛】

本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点。是其中一个交点，从而AWC是等腰直角三角形，于是可得N

点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解.

3.D

【解析】

试题分析：由已知可得/'(%)=1+2bx+(a2+c2-ac)=0有两个不等实根

n△=4b2-4(a2+c2-ac\>On/+c2一力?<ac=>cosB=

'，"十l。a——c—<—213J.

考点：1、余弦定理；2、函数的极值.

【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑

思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.首先利用转化化归思想将原命题转化为

尸(x)=/+2bx+(cr+c2-ac)=。有两个不等实根，从而可得

A=4。一一4(矿+c'-ac\>0=cr+<r<ac=cosB=----------<—=>Be.

v>lac2k3J

4.A

【解析】

根据平面内两定点A，B间的距离为2,动点p与A，8的距离之比为注，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结

合求解.

【详解】

如图所示:

化简得(x+3)2+V=8,

当点尸到A3(x轴)距离最大时，APA3的面积最大,

:.AR4B面积的最大值是，x2x2夜=2&.

2

故选：A.

【点睛】

本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

5.D

【解析】

由题意画出图形,将MN,ND、所在的面延它们的交线展开到与AM所在的面共面,可得当=g,0N=g时

,V

4M+MV+N。最小，设正方体AG的棱长为3。，得/=丁，进一步求出四面体AMNR的体积即可.

【详解】

解：如图,

•••点M,N分别在棱BB],CC,上，要AM+MN+ND、最小，将MN、ND、所在的面延它们的交线展开到与AM所在的面

共面，AM,MN,NR三线共线时，AM+MN+ND、最小,

设正方体AG的棱长为3a,则27/=V,

取BG=gBC,连接NG,则AGN0共面,

在AANq中，设N到AQ的距离为%,

2

AD}=J(3a)+(3a)2=3>/2<7,

D、N=yl(3a)2+a2=Ma,

AN=J(3y[2a)2+(2a)2=V22a,

10/+22。2一i&J7

/.cosND]NA=

2.Ma•叵a2A

3>/19

sinNRNA

2755

2

SAn..^-D,N-AN-sinZD.NAAD,-h=^^a

cAix]i'irx2i121i2

设到平面。的距离为

MAGNh2,

i

13Mo6ac3V

VAMND、-x-----------------x-­==：=3ci

32屈

故选D.

【点睛】

本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题.

6.B

【解析】

设直线/的方程为x^my+1代入抛物线方程，利用韦达定理可得V,+%=痴，y必=-4，由14耳=3忸目可知

衣=3万所以可得X=-3巳代入化简求得参数，即可求得结果.

【详解】

设A（%,y）,8（々,%）（乂>0,%<。）•易知直线/的斜率存在且不为0,设为工，则直线/的方程为x=my+L

m

与抛物线方程联立得V=4（殁+1）,所以X%=-4,乂+必=4相.因为|4日=3怛同，所以赤=3万，得

乂=一3%，所以¥==，即％=-述，X=26，所以'=-^—=6.

3及3机y+%

故选:B.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标之间的关系，考查计算能力，属于中档题.

7.B

【解析】

根据函数/（x）的一个零点是x=g,得出/（g]=0,再根据x=-g是对称轴，得出一=1+觊，keZ,

313J662

求出w的最小值与对应的。，写出了（X）即可求出其单调增区间.

【详解】

小〜一c.（乃。），八.（no））1

依题意得，/-=2sin-1=0,即sin-—+（p--,

\3J\37\3J2

E3兀①27171CO257r_.,Jr、C

解得----卜（p=2k、7T—或----1（p=2k?兀〜——（z其中2],&2GZ）.①

3636

又sin----+9=±1,

I6）

7TCD,71,丁、

即art:—\-（p—kyTUH（z其中左36Z）.②

62

由①一②得詈=（2左一%）万一^或詈=（2七一43）%+5，

222

即勿=2（2匕一占）一§或口=2（2内—占）+]（其中勺，&，&wZ）,因此①的最小值为

jrjr

因为sin——-+（p|=sin二±1，所以----（p——Fk/r（左cZ）.

I6J92

TT—,所以/⑴=2sin—x+—+—j-l=2cos—x+工

又0＜。＜），

所以w=5+9v7U29jU9；

27157r7T

令2kjr—兀3—xH—W2攵）（左£Z）,则34万----Wx＜3左乃----（ZsGZ）.

3936

57r7i

因此，当0取得最小值时，“X）的单调递增区间是3^--,3^--（Z:eZ）.

36

故选：B

【点睛】

此题考查三角函数的对称轴和对称点，在对称轴处取得最值，对称点处函数值为零，属于较易题目.

8.B

【解析】

根据题意，分析可得4）=1,由余弦定理求得。C的值，由

布•丽=（而+屁）•丽=丽•丽+区・亚=丽•丽可得结果.

【详解】

根据题意，43=3,30=24）,则AO=1

在AADC中，又AC=2,Nfi4C=60。

则DC2=AD2+AC2-2AD-DCcosABAC=3

则OC=G

则CDLAB

则丽•丽=（丽+诙）•丽=丽•而+历•而=丽•丽=3x2xcosl8（）=—6

故选：B

【点睛】

此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.

9.C

【解析】

根据函数/（力的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号.

【详解】

“X）的定义域为R.

由于〃T）=/（x）,所以/（X）为偶函数，故①正确.

由于《看卜哈+cosM”j（—£|=si哈+cos（=书也，/（一讣/1"所以"X）在

区间1。］上不是单调递增函数，所以②错误.

当X20时,/（X）=sinx+|cosx\=sinx±cosx=V2sinx±—<V2,

r-乃A71I•乃71

且存在x=7，使/—=sin—+cos—=V2.

444

所以当x»0时，/(x)W0；

由于/(x)为偶函数，所以xeR时

所以〃x)的最大值为0,所以③错误.

依题意，/(0)=sin|0|+|cos0|=l,当0<xW2》时,

兀、3兀

sinx+cosx,0<%W—,或——<X<2TT

小)=..L2‘

sinx-cosx,—<x<——

22

所以令sinx+cosx=0,解得x=f,令sinx-cosx=(),解得》=学.所以在区间(0,2〃］,/(x)有两个零点.

由于“X)为偶函数，所以“X)在区间［-2肛0)有两个零点.故/(x)在区间［-2万,2句上有4个零点.所以④正确.

综上所述，正确的结论序号为①④.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

10.B

【解析】

根据充分必要条件的概念进行判断.

【详解】

对于充分性：若。，△，则〃〃可以平行，相交，异面，故充分性不成立；

若相〃〃，则〃"！0,〃<=耳，可得a_L/7,必要性成立.

故选：B

【点睛】

本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条

件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论.

11.D

【解析】

设x=0cos。，y=sin。，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出・

【详解】

因为实数X,V满足］+立,1,

设x=0cos。，y=sin£，

/.|x2+y2-21+1x2+y2-6x+71=|2cos20+sin2^-2|+|2cos20+sin?0-6&cos6+71=|-sin26\+

|cos20-6>/2cos6+81,

cos20-6夜cos6+8=(cos0-3点f-10>0恒成立,

x2+y2-21+1x2+y2-6x+71=sin?6+cos26-6后cos6+8=9-6点cos6..9-6>/J,

故则If+>2-2|+|x2+y2-6x+7|的最小值等于9—60.

故选：D.

【点睛】

本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解

掌握水平.

12.C

【解析】

试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

解:在等差数列｛an｝中，若a2>ai,则d>0,即数列｛a0｝为单调递增数列，

若数列｛aj为单调递增数列，则a2>a”成立，

即“az>ai”是“数列｛a,,｝为单调递增数列”充分必要条件，

故选C.

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-1

【解析】

利用复数的乘法求解二再根据纯虚数的定义求解即可.

【详解】

解：复数z=(l-/)-(«+?)=«+1+(1-a)i为纯虚数，

/.a+1=0,1-a#0,

解得a=-\.

故答案为：T.

【点睛】

本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题.

14.207

【解析】

由三视图知该几何体是一个圆柱与一个半球的四分之三的组合，利用球体体积公式、圆柱体积公式计算即可.

【详解】

由三视图知，该几何体是由一个半径为2的半球的四分之三和一个底面半径2、高为4的圆

柱组合而成，其体积为万x22x4+^x—〃x23=20万.

83

故答案为：201.

【点睛】

本题考查三视图以及几何体体积，考查学生空间想象能力以及数学运算能力，是一道容易题.

15.753

【解析】

根据物品价格不变，可设共有x人，列出方程求解即可

【详解】

设共有x人，

由题意知8x-3=7x+4,

解得x=7,可知商品价格为53元.

即共有7人，商品价格为53元.

【点睛】

本题主要考查了数学文化及一元一次方程的应用，属于中档题.

16.-

9

【解析】

根据条件概率的求法，分别求得尸（B）,P（AB）,再代入条件概率公式求解.

【详解】

根据题意得尸⑻4=急，P（AB）W=£

/、

所以P（A|3）=-P（^ABS）=x2

2

故答案为：

【点睛】

本题主要考查条件概率的求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1){J^-2<%<3}(2)-2<a<4

【解析】

(1)零点分段去绝对值解不等式即可(2)由题|x+a|42-x在［-1,1］上有解，去绝对值分离变量a即可.

【详解】

(1)不等式f(x)K5-f(x-3),即|x+l|+|x—2区5

x<—1,-l<x<2,x>2,

等价于或<或

—x—1—x+245,x+1—x+2<5,x+1+x—2K5,

解得-2<x<3,

所以原不等式的解集为{x|—2<x<3}；

⑵当xe[-4,l]时，不等式2f(x)+|x+a|Wx+4,即|x+a|42-x,

所以|x+a|W2-x在上有解

即-2WaW2-2x在［-1,1］上有解，

所以，-2«a44.

【点睛】

本题考查绝对值不等式解法，不等式有解求参数，熟记零点分段，熟练处理不等式有解问题是关键，是中档题.

【解析】

由M不存在逆矩阵，可得，出=T,再利用特征多项式求出特征值3,0,Ma=3a，利用矩阵乘法运算即可.

【详解】

-1CI

因为“不存在逆矩阵，det(M)==0,所以妨=T.

b4

4+1-Q、,

矩阵M的特征多项式为〃田=八=万-3彳-4-必=储-3"

-bZ3-4

令/(/1)=0,则4=3或几=0,

所以用£=3二，即乙,1=

—1+。=3a=4

所以"4=3’所以

b=—1

【点睛】

本题考查矩阵的乘法及特征值、特征向量有关的问题，考查学生的运算能力，是一道容易题.

19.(I)[-2,21；(II)。+也.

42

【解析】

2Mx>1),

(I)当a=Z?=l时，“x)=|x—1|+卜+1|=<2(-令g(x)=8-x2,作出/(x),g(x)的图像，结合图像即

—2x(x<-1).

可求解；

(H)结合绝对值三角不等式可得/(X)=|x-4+k+M*|(x+。)-(X-。)|=I。+可=。+b=1,再由“1”的妙用可拼凑为

—LL=:(一]+L)[(〃+1)+b],结合基本不等式即可求解；

a4-12b2ci+v2b

【详解】

2x(x>1),

(I)/(x)=|x-l|+|x+l|=<2(-1<X<1),

—lx(x<—1).

令g(x)=8-x。作出它们的大致图像如下：

由8-Y=2xnx=2或x=-4(舍)，得点8横坐标为2,由对称性知，

点A横坐标为-2,

因此不等式/(x)<8-x2的解集为[-2,2].

(II)/(x)=|x-a|4-|x+Z?|>|(x+/?)-(x-tz)|=|a+/?|=«+/?=1.

\1111、「,八一1八ba+\后、3叵

石7+方方z有+力（“+1）++5（"”方+万）/弓+扬二十三

a=3-2sj2,

取等号的条件为上=察，即0+1=伤，联立。+》=1得＜

〃+12bb=2垃-2.

因此的最小值为:+¥•

【点睛】

本题考查绝对值不等式、基本不等式，属于中档题

20.(1)3"-2"(2)见解析

【解析】

(1)取x=l,则旬=2"；取x=2,则为+q+%+%+…+。“=3",

二S“=4+a,+%+■■,+。”=3"—2"；

22

⑵要证Sn>(n-2)2"+2n,只需证3">(n-l)2"+2n,

当〃=4时，81>80；

假设当〃=■次之4)时,结论成立，即3">6一1)2"+2k,

两边同乘以3得：3k+'>3[(A:-1)2A+2A;2]=k2k+i+2(k+1)2+[(k-3)2*+4k2-4k-2]

而(&-3)2*+4/一4左一2=伏-3)2"+4仅2-左-2)+6=伏-3)2*+4供-2)供+1)+6>0

二3Al>(伏+1)—1)2川+2(%+,即鹿=Z+1时结论也成立,

...当〃24时，3">(〃-1)2"+21成立.

综上原不等式获证.

22

%V

21.(1)—+2_=1(2)证明见解析

42

【解析】

（1）根据椭圆的定义可得a=2,将M代入椭圆方程，即可求得力的值，求得椭圆方程；

（2）设直线A3的方程，代入椭圆方程，求得直线和MB的方程，求得。和E的横坐标，表示出|加+诙根

【详解】

（1）因为周=4,由椭圆的定义得勿=4,a=2,

点M(夜,1)在椭圆C上，代入椭圆方程，解得〃=2,

22

所以C的方程为上+二=1；

42

(2)证明：设A(XQJ,8(占,以)，直线45的斜率为自，设直线/的方程为)，=*x+f,

y=——x+r

联立方程组22,消去y,整理得产+&a+*—2=0,

工+工=1

142

所以％+X]——y[^,t,X]*2=厂一2,

直线M4的直线方程为y—1="二与(x-3),令y=0,贝Ijx。

玉一7乙

同理4=-

y2T

所以：|。方+0目=近一也+6=2五—

MTy2T

、、

(X1—"\/2)X2+—1+(x,—)(夜1

2V277

(yT)(%T)

5/2%1%2-(石+4)+(，-。(无I+*2-

272

代入整理得阿+词=2夜，

所以|加+。目为定值.

【点睛】

本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，属于中档题.

s2"22"2

22.(1)«„=2"(«eN)(2)当〃为偶数时,h^-+-当”为奇数时，—(3)(L+8)

"33t"33

【解析】

(1)根据4=s,,-S“T，讨论〃=1与〃22两种情况,即可求得数列｛4｝的通项公式；

(2)由(1)利用递推公式及累加法，即可求得当"为奇数或偶数时｛勿｝的通项公式.也可利用数学归纳法，先猜想出通

项公式，再用数学归纳法证明.

b

(3)分类讨论，当〃为奇数或偶数时，分别求得”的最大值，即可求得4的取值范围.

【详解】

(1)由题意可知,s“=2用—2.

当〃22时,%=S,一S,i=2用一2—(2"-2)=2",

当〃=