湖南省怀化市溆浦县重点中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题及参考答案

高一数学考试注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章第五节。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平行四边形ABCD中，（）A． B． C． D．2．设，其中a，b为实数，则（）A．， B．，C．， D．，3．已知A（0，1），B（m，3），C（4，7）三点共线，则（）A． B． C． D．24．已知圆台的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆台所得的截面是一个上底为2，下底为4，腰为2的等腰梯形，则该圆台的表面积为（）A． B． C． D．5．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且，则△ABC是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形6．设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题正确的是（）A．若，，则B．若，则内的任何直线都与平行C．若，，则D．若，，则7．如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在A处看灯塔S在船的北偏东（）的方向上．1小时后，船航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东的方向上，则船航行到B处时与灯塔S之间的距离为（）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里8．已知复数是关于x的方程（）的一个根，若复平面内满足的点Z的集合为图形M，则M围成的面积为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知复数，，则（）A．B．的共轭复数为C．复数对应的点位于第二象限D．复数为纯虚数10．在△ABC中，，，，，E为AC的中点，则（）A． B．C． D．11．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若，，，满足此条件的三角形只有一个，则x的值可能为（）A． B．2 C． D．312．已知正方体的棱长为1，F，Q分别为棱AB，BC的中点，P是上一动点，则（）A．直线，，交于一点B．若P为的中点，则平面C．三棱锥的体积为定值D．若与平面交于点M，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为________．14．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现——圆柱容球定理．如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即圆柱的底面直径和高都等于球的直径），则该球与圆柱的体积之比为________，该球与圆柱的表面积之比为________．（本题第一空2分，第二空3分）15．已知M为线段AB上的任意一点，O为直线AB外一点，A关于点O的对称点为C，B关于点C的对称点为D，若，则________．16．如图，某公园内有一个边长为12m的正方形ABCD区域，点M处有一个路灯，，，现过点M建一条直路交正方形区域两边AB，BC于点P和点Q，若对五边形APQCD区域进行绿化，则此绿化区域面积的最大值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知复数．（1）若z为实数，求m的值；（2）若z为纯虚数，求m的值；（3）若复数z在复平面内所对应的点位于第四象限，求m的取值范围．18．（12分）已知平面向量，，，且．（1）求的坐标；（2）求向量在向量上的投影向量的模．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，已知E，F，I分别是PB，PC，AB上一点，且．（1）证明：平面PAD．（2）若平面ABCD，证明：平面平面PAD．20．（12分）赵爽是我国古代数学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形．已知．（1）证明：F为AD的中点．（2）求向量与夹角的余弦值．21．（12分）如图，在三棱柱中，D，E，F分别为，，BC的中点．（1）若三棱柱为正三棱柱，且，三棱锥的体积为1，求三棱柱的高．（2）在线段AF上是否存在一点G，使得平面？若存在，指出点G的位置；若不存在，请说明理由．22．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，，．（1）若，，，求△ACD的面积；（2）若，，求的最大值．高一数学考试参考答案1．D【解析】本题考查平面向量的减法，考查直观想象的核心素养．．2．C【解析】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养．因为，，所以，，解得，．3．C【解析】本题考查三点共线，考查数学运算的核心素养．由题可知，，因为A，B，C三点共线，所以，即．4．A【解析】本题考查圆台，考查空间想象能力．根据题意，圆台的上底面的半径为1，下底面的半径为2，母线长为2，所以其表面积．5．D【解析】本题考查解三角形，考查化归与转化的数学思想．由余弦定理得，整理得，所以，即A为钝角，所以△ABC是钝角三角形．6．B【解析】本题考查点线面的位置关系，考查逻辑推理的核心素养．因为，，则或m，n相交或m，n异面，故A不正确；由面面平行的定义可知B正确；若，，则或，故C不正确；若，，则或，故D不正确．7．B【解析】本题考查解三角形的实际应用，考查直观想象的核心素养．由题意得，在△ABS中，，，．由正弦定理有，代入数据得，解得．因为，所以，（海里）．8．A【解析】本题考查复数的应用，考查直观想象的核心素养．由题可知，则，所以，，解得，，由，可得，所以M围成的图形是半径为1的圆，其面积为．9．AD【解析】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养．由于5，，故A正确；的共轭复数为，故B错误；，复数对应的点位于第四象限，故C错误；为纯虚数，故D正确．10．BD【解析】本题考查平面向量的运算，考查直观想象的核心素养．因为，所以，故A错误；由向量加法的三角形法则，可得，故B正确；，故C错误；，故D正确．11．ABC【解析】本题考查解三角形，考查化归与转化的数学思想．由正弦定理得，则，又，且满足条件的三角形只有一个，即x有唯一的角与其对应，所以，故．故选ABC．12．ACD【解析】本题考查正方体以及点线面的关系，考查空间想象能力和逻辑推理的核心素养．作图略．对于A，易知，且，所以为梯形，设，又平面平面，所以，则直线，，交于一点，故A正确；对于B，延长FQ交DC的延长线于点G，则与PC相交，故B错误；对于C，，因为DFQ的面积为定值，且点P到平面DFQ的距离为定值，所以C正确；对于D，连接BD，交FQ于点H，则，点M为与的交点，根据，可得，故D正确．13．【解析】本题考查斜二测画法，考查数学运算的核心素养．由直观图可得如图所示的平面图，在直角梯形中，，则该平面图形的高为．14．；【解析】本题考查圆柱与球，考查空间想象能力．设球的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，所以，．15．【解析】本题考查平面向量的基本定理，考查逻辑推理的核心素养．因为A关于点O的对称点为C，所以．又B关于点C的对称点为D，所以．又，所以．因为A，B，M三点共线，所以，即．16．120【解析】本题考查三角形的面积，考查逻辑推理的核心素养．设，，因为，所以，即，所以，可得，所以三角形BPQ面积的最小值为，又因为正方形ABCD的面积为，所以五边形APQCD面积的最大值为．17．解：（1）若z为实数，则，所以或． 3分（2）若z为纯虚数，则所以． 6分（3）若复数z在复平面内所对应的点位于第四象限，则解得得，所以m的取值范围为（，0）． 10分18．解：（1）设，因为，所以． 2分又， 4分解得，，所以． 6分（2）， 8分所以， 10分则向量在向量上的投影向量的模为． 12分19．证明：（1）因为，所以． 2分又平面PAD，所以平面PAD． 5分（2）因为平面ABCD，且平面平面，所以， 8分则，且平面PAD，所以平面PAD． 10分因为平面PAD，且，所以平面平面PAD． 12分20．（1）证明：因为，所以． 2分又因为△AFC≌△BDA≌△CEB，所以， 3分所以，即E为CF的中点，所以F为AD的中点． 4分（2）解：设，， 6分所以，则， 7分所以． 8分又， 10分所以向量AC与BE夹角的余弦值为． 12分21．解：（1）设三棱柱的高为h，则三棱锥，，的高均为h，所以， 1分， 2分， 3分， 4分则，解得，所以三楼柱的高为．6分（2）当时，平面． 7分证明过程如下：因为，且AF为△ABC的中线，所以G为△ABC的重心． 8分连接CG，并延长CG交AB于点H，连接EH，则H为AB的中点，所以． 9分又因为E为的中点，所以．