#福建省泉州市安溪永春德化三县联盟2012届高中毕业班联考数学理

泉州市安溪永春德化三县联盟201届2高中毕业班联考数学试题（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，本卷满分150分，测试时间120分钟。第卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。―一,一〃1+2i…，一、一i在复平面内，复数――对应的点位于 （ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2．下列命题中，真命题是 （）A3XGR,x2>x B命题“若x=1,则x2=1”的逆命题CvxGR,x2>x D命题“若x丰y,则sinx丰siny”的逆否命题3设M=（平面内的点（a,b）｝N=f（x）f（x）名cos2xbin2x｝，给出M到N的映射f:（a,b）ff（x）=acos2x+bsin2x,则点（1,.0）的象f（x）的最小正周期为兀 兀.2 .4 •兀设，是平面a设，是平面a内的两条不同直线，l,1一个充分而不必要条件是（） m//P且l//a m//1且/〃1 121是平面P内的两条相交直线，则a//P的2m//P且〃P m//P且//12函数f（x）=e-x+ax存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A.(-3,21 B.(t,2) C.(2,+8) D.[2,E).对一位运动员的心脏跳动检测了8次，得到如下表所示的数据：检测次数检测数据a（次分钟）i4上述数据的统计分析中，一部分计算见如右图所示的程序框图（其中a是这 个数据的平

TOC\o"1-5"\h\z均数)，则输出的的值是( ).已知等比数列｛a｝的前项和为S=21,且4aaa成n 6 1 22等差数列，则a ()nn-1A3-2n-1 B——C3,2n D3-21-n某所学校计划招聘男教师x名，女教师j名，x和y须满足'2x-y>5,约束条件(x-y<2,则该校招聘的教师人数最多是x<6.如图，正方形的顶点，弓，(-,)顶点 位于第一象限，直线i=Wwj将部分的面积为，则函数= 的图象大致是正方形 分成两部分，记位于直线左侧阴影部分的面积为，则函数= 的图象大致是①f(x)=sinx②f(x)=x2+2x-1③f(x)=一x3+4x+2 ④f(x)=logx性质A存在不相等的实数x、x，使得f(x1)+f(x2)=f(x二)1 2 2f(2)性质：对任意0<x<x<1,总有f(x)<f(x)12 1 2以上四个函数中同时满足性质和性质的函数个数为

第11卷（非选择题，共 分）、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置。设抛物线的顶点在原点，其焦点在轴上，抛物线上的点尸（2,k）与点的距离为，则抛物线方程为。12二如图是一个几何体的三视图，若它的体积是正视图侧视图.请阅读下列材料：3y’3,则Ua=.正视图侧视图.请阅读下列材料：TOC\o"1-5"\h\z对命题“若两个正实数a,a满足a2+a2=1,那么a+a<、二。"证明如下：构造函数1 2 1 2 1 2f(x)=(x—ai)2+(x—aJ2,因为对一切实数X，恒有f(X)>0,又f(X)=2X2-2(a+a)x+1,从而得4(a+a)2一8<0,所以a+a<22。根据上述

1 2 1 2 1 2证明方法，若n个正实数满足a2+a2+……+a2=1时，你可以构造函数12 ng（x）=,进一步能得到的结论为（不必证明）。三、解答题：本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把解答过程填写在答题卡的相应位置。（本题满分分）某区组织群众性登山健身活动招募了N名师生志愿者将所有志愿

者现按年龄情况分为15口20,20口25,25口30,30口35,35口40,40口45等六个层次其频率分布直方图如图所示已知3。口35之间的志愿者共8人(I)求N和2030之间的志愿者人数Ni(11)已知20125和30Q35之间各有2名英语教师，现从这两个层次各选取2人担任接待工作设两组的选择互不影响求两组选出的人选中都至少有名英语教师的概率是多少(III)组织者从35145之间的志愿者(其中共有4名女教师，名担任后勤保障工作其中女教师的数量为己求己的概率和分布列..(本小题满分分)已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD±平面ABCD,E、F、G分别是PA、PB、BC的中点.(I)求证：EF1平面PAD；(II)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；(III)若M为线段AB上靠近A的一个动点，问当AM长度其余全为男教师)中随机选取3等于多少时，直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于其余全为男教师)中随机选取3<15.(本小题满分 分)如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B,且AB与n=（6-1）共线.(I)求椭圆E的标准方程;(II)若直线J=kx+m与椭圆(I)求椭圆E的标准方程;点P和Q,且原点。总在以PQ为直径的圆的内部，求实数(本小题满分13分)如图所示，某市准备在一个湖m(本小题满分13分)如图所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC;另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD是以O为顶点，x轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC是函数y=Asin(①x+①)(A〉0g〉0,|O|<-),%e[4,8]时的图象，图象的最高点为2B(5,3^3),DF10。，垂足为F。(I)求函数y=Asin(3%+①)的分析式；(II)若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE，问点P落在曲线OD上何处时，水上乐园的面积最大？．1(本小题满分分)已知函数．1(本小题满分分)已知函数f(%)=3%3+a—3

"T"I如果对任意%e[1,2],f'(x)>a2恒成立，求实数的取值范围;II设实数f(%)的两个极值点分别为%,%判断①%+%+a,②%2+%2+a2,③12 1 2 1 2%3+%3+a3是否为定值？若是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数g(a),12并求出g(a)的最小值；1ni对于()中的g(a),设H(a)=g[g(a)—27],m,ne(0,1)且m中n，试比较IH(m)—H(n)|与|em—en|(为自然对数的底)的大小，并证明。21．本题有(1)、(2)、(3)三个选择题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．(1)．选修4－2：矩阵与变换」. 「1 a1 〜- 「21已知矩阵A= 的一个特征值九=2,其对应的特征向量是a=1—1b 1 1「71I求矩阵A;II)若向量P=4,计算A5P的值

(2)．选修4－4：坐标系与参数方程已知椭圆的极坐标方程为P2="^，点，为其左、右焦点,直线的参数方程为xy2+红2(为参数，疔数方程为xy2+红2(为参数，疔R).求点到直线l的距离之和.(3)．选修4－5：不等式选讲已知，，均为正数.求证：—+—+—三1+1+1yzzxxyxyz参考答案一、选择题二、填空题y二、填空题y2=4x\Z3 6f(x)=(x—a)2+(x—a)2+(x—a)2 a+a+...+a＜、；nTOC\o"1-5"\h\z1 2 n， 1 2 n三、解答题 …解：(I)设频率分布直方图中6个层次的频率分别为P,P,P,P,P,P1234568P=0.04x5=0.2，所以N=—=40 分4 0.2由题意P+P+P+P+P+P=1123456而p+p=1—(p+p+p+P)=1—5(0.01+0.04+0.02+0.01)=0.623 1456所以20030之间的志愿者人数N=40x(p+p)=40x0.6=24 分1 2 3(II)p=0.3...20n25之间有40x0.3=12人 分2设从20125之间取2人担任接待工作其中至少有名英语教师的事件为B从30D35之间取2人担任接待工作其中至少有名英语教师的事件为C因为两组的选择互不影响为相互独立事件22C2p(B)=1—p(B)=1—-402212TOC\o"1-5"\h\zC2 13—6-- C2 288B与C为相互独立事件，同时发生可记做BC71313所以，p(BC)=p(B)p(C)--.---* 分222888III35口45之间共有5x(0.01+0.02)x40=6人，其中4名女教师，名男教师从中选取三人，则女教师的数量为自的取值可为1,2,3所以p虑-1)-CC2-1；p虑-2)-CC-3；p虑-3)-C3-1C3 5 C3 5 C3 56 66所以，分布列为

123P化=k)131555131所以，数学期望为E^=1x5+2x5+3x5=2 17.方法1：(I)证明：•・•平面PAD，平面ABCD,AB1ADTOC\o"1-5"\h\z：.AB1平面PAD, （2分）/E、F为PA、PB的中点，•・EF//AB，二EF1平面PAD； （4分），(II)解：过P作AD的垂线，垂足为O,，・,平面PAD1平面ABCD，则PO1平面ABCD.连OG,以OG,OD,OP为％、y、z轴建立空间坐标系， (6分)「PA=PD=AD=4，二OP=2v3,OD=OA=2,得A(0,-2,0),B(4,-2,0),C(4,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2V3),E(0,-1,<3),F(2,-1,、①),G(4,0,0)，故EF=(2,0,0),EG=(4,1,-、/3),n-EF=0…设平面EFG的一个法向量为n=(九y,z),则〈 一，即n-EG=0,取z=1,得n=(0,-s;3,1), (7分)平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),1平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是：n-n1Icos<n,n>= 1=-，锐二面角的大小是60。； (8分)1 |n||n|21（Ill）解：设=工，M（x,-2,0）,则而=（2—工］,看），设痴1与平面区咫所成角为风TOC\o"1-5"\h\zmil.白| I□•砺I/ J15则sin^=|cos<n,MF>= -= =--―，||n||^||收-力+4 51=1或1=3, 靠近工，.,.工=1 （1口分），当班0=1时，EP与平面即G所成角正弦值等于士二 （12分）方法2：（I）证明：过尸作尸匕1月9于a,「平面户月门1平面月则尸匕_L平面工BCD连口琳以O000,OP为工、4m轴建立空间坐标系, ㈡分）'：PA=PL=AD=4,：.OP=2J'3,OD=OA=2,得A（0-2,0）,5（4-2,0）,C（4,2,0）,口（0,2,0）,户（口,Q2后,£电一1,指）耳已一1,后）,仃（4,0,口），故的宾口口），工"=（口,4,0）『力=（0,2-275）,.'丽亚=口,而•而=口，TOC\o"1-5"\h\z，区F1平面PADm （4分）" h I—（II）解:EF=（2,0,0）,EG=（4,1,-不3）,设平面EFG的一个法向量为n=（九y,z）,n.EF=0r12%=0 l则］一，即［ ,取z=1,得n=（0,M3,1）, （7分）n-EG=0, 14%+y—<3z=0平面ABCD的一个法向量为n=（0,0,1）,……【以下同方法1】1方法3：（I）证明：•・•平面PAD，平面ABCD,AB1AD,TOC\o"1-5"\h\z•・AB1平面PAD, （2分）/E、F为PA、PB的中点，•・EF//AB，二EF1平面PAD； （4分）（II）解：：EF//HG,AB//HG,：.HG是所二面角的棱， （6分）・•HG//EF,：HG1平面PAD, ：DH1HG,EH1HG,：/：/EHA是锐二面角的平面角，等于60。； （8分）（III）解：过M作MK，平面EFG于K,连结KF,则/则/KFM即为MF与平面EFG所成角，（10分）因为AB//EF,故AB/平面EFG,故AB/的点M到平面EFG的距离等于A到平面EFG的距离，：HG1平面PAD，：.平面EFGH1平面PBD于EH,

・•・A到平面EFG的距离即三角形EHA的高，等于於，即MK=<3,.・.15L=亘，fm=.；5，在直角梯形EFMA中，AE=EF=2,5FM・•・AM=1或AM=3VM靠近A，二AM=1 （11分）15TOC\o"1-5"\h\z・,.当AM=1时，MF与平面EFG所成角正弦值等于35 （12分）x2y2解：（I）设椭圆的标准方程为—+2=（a〉b〉0）,由已知得A（a,0）、B（0,b）a2b2・•.AB=（—a,b）,VAB与n=（.汉-1）共线，,a=<2b，又a2—b2=1 （3分）x2/.a2=2,b2=1,，椭圆E的标准方程为 +y2=1 （5分）2x2(II)设尸(x,y),Q(x,y)，把直线万程y=kx+m代入椭圆万程二-+y2=1,11 22 2消去y,得，(2k2+1)x2+4kmx+2m2—2=0,(7分)4km 2m2(7分)..x+x= ,xx= 1 2 2k2+1 122k2+1TOC\o"1-5"\h\zA=16k2m2—4x(2k2+1)(2m2—2)=16k2—8m2+8〉0(*) (8分)1V原点O总在以PQ为直径的圆内，・•・OP-OQ<0，即x1x2+y1y2<0 （9分）又y1y2=(kx1+m)(kx1+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=m2—2k22m2—2 2 2 、 2,一由 + <0得m2<—k2+-,依题意m2<—且满足(*) (11分)2k2+12k2+1 3 3 3故实数m的取值范围是（(12故实数m的取值范围是（(12分) , )33解:（I）对于函数尸Asin（（ux+0）,由图象知,.873 277 27rit 4=亍所亍=诉r不 将B（5,"I•用代入到尸竽sin管%+9）中，得得+<p=2kn+与（keZ）（P=2/t7t-y TOC\o"1-5"\h\z又I如•，所以@=_a,故y= （差X_『） 6分（U）在尸哈in（专一/）中令［=4,得。（4,4） 7分从而得曲路。。的方程为y2=4x（0w*w4） 8分设点P（£J）（0这区4）,则矩形PMFE的面积为5=（4-£）/（0WY4） 9分因为5=4-亨，由5'=0,得"竽,且当%（0,竽）时S>0,S递增；当止（罕,4）时5<0,5递减,所以当巾竽时,5最大,此时点尸的坐标为（寺，竽） 12分2L解：U）=/十3）#十-勿由『也）/得d十色一3）耳十白,一幼:口，所以3）（了十力）:口对*丘［L2］恒成立. 之分又--•*-3工口恒成立>..工十以七口对士丘［1P引恒成立，..g《-h及-士丘［-£.-I卜.&—2. …4分⑵俵题息原.N恰为方程门>）=比、匕一%十"一％=D两根，・由N=（8灯--%）之口得l-I£0£3, 5 分由韦达定理得:①.+与+/-3,再剪一加一功” .6分..②?十始十〃=〃"!"（五十句y一三叫&=g —吓分③而短+X：+4=（j3+（天+心乂］；—而力4君）=均》一加空+27N分设乳耳呈+2九求导得；乳司=91-18◎=9试彳-田当口之以引B才,/⑷就团递墙当比丑口』时，<口，忒0递减；当口之［-1⑼时.。⑷皿—递稀..目⑷在r司上的最小值为加闺后（-1）忐⑷}■皿山口5,1力=15