第二章半导体中的载流子及其输运性质

。第二章 半导体中的载流子及其输运性质1、对于导带底不在布里渊区中心，且电子等能面为旋转椭球面的各向异性问题，证明每个旋转椭球内所包含的动能小于（ E－EC）的状态数 Z由式（2-20）给出。证明：设导带底能量为EC，具有类似结构的半导体在导带底附近的电子等能面为旋转椭球面，即E(k)EC2k12k22k322mtml与椭球标准方程k12k12k221a2b2c2相比较，可知其电子等能面的三个半轴a、b、c分别为ab2mt(EEc)21[2]c2ml(EEc)1[2]2于是，K空间能量为E的等能面所包围的体积即可表示为4413Vabc(8mlmt2)2(EEC)2332因为k空间的量子态密度是V/(4π3)，所以动能小于（E－E）的状态数（球体内的状C态数）就是1(8mlmt2)1/23/2Z32V3(EEC)2、利用式（2-26）证明当价带顶由轻、重空穴带简并而成时，其态密度由式（2-25）给出。证明：当价带顶由轻、重空穴带简并而成时，其态密度分别由各自的有效质量mp轻和mp重表示。价带顶附近的状态密度应为这两个能带的状态密度之和。即：V(2mp轻)3/2(EVE)1/2gV(E)1232精选资料，欢迎下载2 第2章gV(E)2V(2mp重)3/2E)1/2(EV223价带顶附近的状态密度gV(E)gV(E)1gV(E)2即：V(2mp轻)3/21/2V(2mp重)3/2E)1/2gV(E)223(EVE)+223(EVV(EVE)123232]222[(2mP轻)（2mp重）只不过要将其中的有效质量*理解为mp*(mp3轻/2mp3重/2)2/3则可得：mp*3232（3/2]带入上面式子可得：(2mp)[(2mp轻)2mp重)gV(E)V(2m*p)3/2(EVE)1/22233、完成本章从式（2-42）到（2-43）的推演，证明非简并半导体的空穴密度由式（2-43）决定。解：非简并半导体的价带中空穴浓度p0为p0EV(1fB(E))gV(E)dEE'V带入玻尔兹曼分布函数和状态密度函数可得p01(2mp*)32EVEEF)(EVE)12dE223E'Vexp(K0T令x(EVE)(K0T),则(EE)12(KT)12x12V0d(EV E) k0Tdx将积分下限的 E'V（价带底）改为 -∞，计算可得p02(mp*k0T32exp(EVEF)22)K0T令。NV2(m*pk0T322(2m*pk0T)3222)h3则得EF EVP0 NVexp( )4、当E－EF=1.5kT、4kT、10kT时，分别用费米分布函数和玻耳兹曼分布函数计算电子占据这些能级的几率，并分析计算结果说明了什么问题。f(E)1EEFEEF解：已知费米分布函数1ekT；玻耳兹曼分布函数fBekTf(E)10.1824fBe1.50.223当E－EF1e1.5；=1.5kTf(E)10.01799fBe40.01831e4F，；当E－E=4kT时：f(E)14.54105，fBe104.5105当E－EF时：1e10；=10kT计算结果表明，两种统计方法在－F＜2kT时误差较大，反之误差较小；－F高于kTEEEE的倍数越大，两种统计方法的误差越小。5、对非简并半导体证明其热平衡电子和空穴密度也可用本征载流子密度ni和本征费米能级E表示为in0niexp(EFEi)p0niexp(EiEF)kT；kTn0NCexp(ECEF)证明：因为导带中的电子密度为：kTniNCexp(ECEi)本证载流子浓度为kTn0NCexp(ECEF)NCexp(EFEiECEi)结合以上两个公式可得：kTkT精选资料，欢迎下载4 第2章NCexp(ECEi)exp(EFEi)niexp(EFEi)kTkTkTp0NVexp(EVEF)因为价带中的空穴密度为：kTnNVexp(EVEi)本证载流子浓度为ikTp0niexp(EiEF)同理可得：kT6、已知6H-SiC中氮和铝的电离能分别为0.1eV和0.2eV，求其300K下电离度能达到90%的掺杂浓度上限。19 -3 19 -3解：查表 2-1可得，室温下 6H-SiC的Nc=8.9×10cm，Nv=2.5×10cm。未电离施主占施主杂质数的百分比为D(2ND)exp(ED)Nck0T将此公式变形并带入数据计算可得：ND(DNc)exp(ED)(0.18.91019)exp(0.1)9.5231016cm32k0T20.026当在6H-SiC中参入铝元素时：未电离受主占受主杂质数的百分比为D(4NA)exp(EA)NVk0T将此公式变形并带入数据计算可得：NA(DNV)exp(ED)(0.12.51019)exp(0.2)2.851014cm34k0T40.0267、计算施主浓度分别为14-316-3、1018-3的硅在室温下的费米能级（假定杂质全10cm、10cmcm部电离）。根据计算结果核对全电离假设是否对每一种情况都成立。核对时，取施主能级位于导带底下0.05eV处。ECEF解：因为假定假定杂质全部电离，故可知n0NCekTND，则可将费米能级相对于导带底的位置表示为。EECkTlnNDFNC将室温下Si的导带底有效态密度NC=2.8×1019cm-3和相应的ND代入上式，即可得各种掺杂浓度下的费米能级位置，即EFEC0.026ln10140.326eVD14cm-32.81019时：N=101016D16cm-3EFEC0.026ln2.810190.206eVN=10时：EFEC0.026ln10180.087eVD18cm-32.81019时：N=10为验证杂质全部电离的假定是否都成立，须利用以上求得的费米能级位置求出各种掺杂浓度下的杂质电离度nD 1ND1 2e

ED EFkT为此先求出各种掺杂浓度下费米能级相对于杂质能级的位置ED EF (EC EF) (EC ED) EC EF ED于是知ND=1014cm-3时：ND=1016cm-3时：ND=1018cm-3时：相应的电离度即为ND=1016cm-3时：ND=1016cm-3时：

EDEF0.3260.050.276eVEDEF0.2060.050.156eVEDEF0.0870.050.037eVnD1ND0.27612e0.0260.99995nD10.995ND0.15612e0.026精选资料，欢迎下载6 第2章nD10.67ND0.037D18cm-312e0.026N=10时：验证结果表明，室温下ND=1014cm-3时的电离度达到99.995%，ND=1016cm-3时的电离度达到99.5%，这两种情况都可以近似认为杂质全电离；ND=1019cm-3的电离度只有67%这种情况下的电离度都很小，不能视为全电离。8、试计算掺磷的硅和锗在室温下成为弱简并半导体时的杂质浓度。解：设发生弱简并时ECEF2kT=0.052eV已知磷在Si中的电离能ED=0.044eV，硅室温下的NC=2.819-310cmE=0.0126eVC19-3磷在Ge中的电离能D，锗室温下的N=1.110cm对只含一种施主杂质的n型半导体，按参考书中式（3-112）计算简并是的杂质浓度。将弱简并条件 EC EF 2k0T带入该式，得22.810190.044ND(12e2e0.026)F1/2(2)7.81018cm3;对Si:式中，F1/2(2)1.29310221.110190.00126ND(12e2e0.026)F1/2(2)2.31018cm3对Ge:9、利用上题结果，计算室温下掺磷的弱简并硅和锗的电子密度。解：已知电离施主的浓度nDNDNDNDEFEDEFECECEDVED12ekT12ekTekT12e2ekTnDND0.405ND0.04410181018cm3对于硅：12e2e0.026，n0nD0.4057.83.16nDND0.694ND0.012610181018cm3对于锗：12e2e0.026，n0nD0.6942.31.610、求轻掺杂Si中电子在104V/cm电场作用下的平均自由时间和平均自由程。解：查图2-20可知，对于Si中电子，电场强度为410V/cm时，平均漂移速度为8.5×106cm/svd8.51062E104850cm/Vs根据迁移率公式可知。qncmc0.26m0850cm2/Vs根据电导迁移率公式mc，其中，c代入数据可以求得平均自由时间为：ncmc0.0850.269.10810311.2581013sq1.61019进一步可以求得平均自由程为Ln vdn 8.5106 1.2581013 1.069106cm11、室温下，硅中载流子的迁移率随掺杂浓度 N（ND或NA）变化的规律可用下列经验公式来表示101 (N/N)式中的 4个拟合参数对电子和空穴作为多数载流子或少数载流子的取值不同，如下表所示：作为多数载流子时的数据作为少数载流子时的数据101N(cm-3)0(cm2/VsN(cm-3)222(cm/Vs)(cm/Vs)(cm/Vs))电子6512658.5×10160.7223211808×10160.9空穴484471.3160.76130370171.25×108×10本教程图 2-13 中硅的两条曲线即是用此表中的多数载流子数据按此式绘制出来的。试用Origin函数图形软件仿照图2-13的格式计算并重绘这两条曲线，同时计算并绘制少数载流子的两条曲线于同一图中，对结果作适当的对比分析。解：根据数据绘图如下结果说明多子更容易受到散射影响，少子迁移率要大于多子迁移率。另外电子迁移率要比空穴迁移率大。12、现有施主浓度为15-3的Si，欲用其制造电阻R=10kΩ的p型电阻器，这种电阻器5×10cm精选资料，欢迎下载8第2章在=300K、外加5V电压时的电流密度J=50A/cm2，请问如何对原材料进行杂质补偿？TV 5I 0.5mA解：根据欧姆定律 R 10AI0.5103105cm2外加5V电压时的电流密度J=50A/cm2，所以截面积J50L0.5(cm)1设E=100V/cm，则电导率为σ。则L=V/E=5×10－2cm，RAqppqp(NAND)其中p是总掺杂浓度（N+N）的参数AD应折中考虑，查表计算：当NA=1.25×1016cm-3时，NA+ND=1.75×1016-3p410cm2/Vscm，此时，qp(NAND)0.4920.5计算可得16-3NA=1.25×10cm13、试证明当np且热平衡电子密度0i(pn1/2时，材料的电导率最小，并求300K≠n=n/)时Si和GaAs的最小电导率值，分别与其本征电导率相比较。q(nnpp)p解：⑴由电导率的公式，又因为q(nnni2p)由以上两个公式可以得到nd0nni2p0令dnn2，可得nnip因此nd22ni22(p)32np0又dn2n3ni3nppnini故当n时，取极小值。这时11minniq[(p)2n(n)2所以最小电导率为np

ni2nnpp] 2niqnp。因为在一般情况下＞p，所以电导率最小的半导体一般是弱p型。n⑵对Si，取n1450cm2/Vs，p500cm2/Vs，n1.01010cm3i则min21.010101.6101914505002.72106s/cm而本征电导率iniq(np)1.010101.61019(1450500)3.12106s/cm对GaAs，取n8000cm2/Vs，p400cm2/Vs，ni2.1106cm3则min22.11061.6101980004001.2109s/cm而本征电导率iniq(np)2.11061.61019(8000400)2.8109s/cm14、试由电子平均动能3kT/2计算室温下电子的均方根热速度。对轻掺杂Si，求其电子在10V/cm弱电场和104V/cm强电场下的平均漂移速度，并与电子的热运动速度作一比较。1mn*v23kT解：运动电子速度v与温度的关系可得22v23k0T(31.381016300)211.124107cm/s因此mn*1.089.11028当E10V/cm：v漂E1500101.5104cm/s∴v2v漂当E104V/cm，由图2-20可查得：vd8.5106cm/s，相应的迁移率vd/E850cm2/Vs15、参照图1-24中Ge和Si的能带图分析这两种材料为何在强电场下不出现负微分迁移率效应。答：(1) 存在导带电子的子能谷；子能谷与主能谷的能量差小于禁带宽度而远大于kT；电子在子能谷中的有效质量大于其主能谷中的有效质量，因而子能谷底的有效态密度较高，迁移率较低。(这道题还是不知道该怎么组织语言来解释)16、求Si和GaAs中的电子在(a)1kV/cm 和(b)50kV/cm 电场中通过 1m距离所用的时间。解：查图 2-20可知：E=1kV/cm，Si中电子平均漂移速度GaAs 中电子平均漂移速度

n1.8106cm2/Vsn8106cm2/Vs精选资料，欢迎下载10 第2章E=50kV/cm ，Si中电子平均漂移速度GaAs 中电子平均漂移速度a）当ε=1kV/cm时因此Si中电子通过 1m距离所用的时间为

n 107cm2/V sn 107cm2/V sts11045.611v610s1.810因此GaAs中电子通过1m距离所用的时间为ts11041.251011sv8106b）当ε=50kV/cm时因此Si中电子通过 1m距离所用的时间为ts110411011sv107因此GaAs中电子通过1m距离所用的时间为ts110411011sv10717、已知某半导体的电导率和霍尔系数分别为1cm和-1250cm2/C，只含一种载流子，求其密度与迁移率。解：因为单载流子霍尔系数RH<0，所以其为n型半导体11151015cm2根据公式RHn19nq可得qRH1.610(1250)nqn110191250cm2/Vs根据n可得nq510151.618、已知InSb的μn=75000cm2/V.s，μp=780cm2/V.s，本征载流子密度为1.6×1016cm-3，求300K时本征InSb的霍耳系数和霍尔系数为零时的载流子浓度。RH1pnb2q(pnb)2解：根据两种载流子霍尔效应公式1bbnRHb)，其中本证半导体霍尔系数qni(1p当T=300K时，b=96.15。RH1pnb21.611.610161.6101696.152383cm3/C此时q(pnb)