由一道高考题体会斐波那契数列的一个性质 论文

由一道高考题体会Fibonacci数列的一个小性质摘要：以一道高考题为背景，归纳猜想Fibonacci数列的一个特性，并用构造函数的方法证明，构造过程体现了数列与函数的关系，也体现了高考命题的一个热点（三角与导函数的结合）.关键词：Fibonacci数列，连续的两个正整数之比，放缩，构造函数.一、真题再现（2020年Ⅲ12）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则A．a<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b二、性质猜想历程b,第一次接触这个题目时是参加高考真题考试比赛，就是按照作差比较a,b,中间量法比较c去掌握的；第二次是二轮复习中讲解时，当时就考虑可否设置34538,354来比较，结果发现是可行的，但并没有多思考；第三次接触时是参加高考真题讲解比赛，发现里面的数据都是Fibonacci数列的项，而且用来衔接的中间量是连续两个正整数的比，这让我不经意间想到了这样的一个拓展：1log22log33log54log85log13233548513621于是就可以提出这样的一个猜想:设FF,1FFF(nN),则n1logFn.nN，n212n2n1nnFn2n1n1.后来在我着手证明这个问题的过程中，我发现一个数学微信公众号介绍了并证明了这个结论，所以我就换个思路来证明了！只是不知道美国斐波那契协会创办的《斐波那契季刊》可有关于这个性质的证明.三、性质证明下面先证n1log2Fn1，即证lnFn2lnFn1nN，n2令qnFnnn1nN已知Fibonacci数列的通项公式为Fn551n

25n

5251，则Fn5

qn15

qncosn

.25qn5qn再令f(x)5

qxcosx

，构造函数g(x)lnf(x)，x2)求导化简得：5qxx2，g'(x)(x2)(q2xlnqsinxlnqcosx)(q2xcosx)ln5

qxcosx5qx(x2)2(q2xcosx)q2xln(q5

q2xq2xx)(sinxlnqcosx)(x2)cosxlnf(x)2cos(x2)2(q2xcosx)q2xln(q5

q2xq2xx)(lnq)(x2)lnf(x)2cos(x2)2(q2xcosx)q2xln(q5

q2xq2x)(lnq)(x2)ln5qx12cosx5(x2)2(q2xcosx)又易证明5(qx)1qx1，q2xq2xxqq2x11q211，而y1q211cos2xxx5在（2，）上单减，故qq2xqq41q2，所以ln(q5

q2xq2xx)0.2x1452cos为了后面放缩度的需求，我们考虑x5时的情况，此时有ln(q5

q2xq2xx)ln(q5

qq101).0149.2cos210故g'(x).0149q2x(2lnq)x23lnq.(x2)2(q2xcosx)令h(x).0149q2x(2lnq)x23lnq（x5）显然h'(x).0149lnq2q2x2lnq在（5，）上单减，又h'(5).0149lnq2q102lnq，2lnq.096，q10123，所以h'(5)0.所以h'(x)0在（5，）上恒成立，所以h(x)在（5，）上单减，而h(5).0149q1037lnq0，所以h(x)0在，）上恒成立.即当x5时，g'(x)0恒成立，所以g(x)在,5上单减.这样数列{lnFn在nn25时单减，即lnFn2lnFn1在n,4nN*时恒成立，nn1再结合一开始的计算，便有n1logFn2Fn1nN，n2成立.n2下面再证logFn2Fn1nn1nN，n2，即证lnFn1lnFn2nN，nnn1.构造函数m(x)lnf(x)，x3).x1求导化简得：m(x)q2xln(5

q2xq2x)(sinxlnqcosx)(x)1cosxlnf(x)'qcosx(x)12(q2xcosx)q2xln(5

q2xq2xx)(lnq)(x)1lnf(x)qcos(x)12(q2xcosx)结合前面已说明的事实，和q2xq2xxqq2x11q211，而y1q211单减，便有：cos2xxxm'(x)q2xln(5

q2xq2xx)(2lnq)(x)1qcos(x)12(q2xcosx)q2xln(5

qq61)(2lnq)(x)1q2x(2lnq)(x)1q600.2296(x)12(q2xcosx)(x)12(q2xcosx)再令(x).0296q2x(2lnq)(x)1，x3.)显然'(x).0296lnq2q2x(2lnq)在，上单增，又（'3）.0540，所以(x)在，上单增，而(4).03250，所以m''x)0在4，上恒成立，所以m(x)在4，上单增，所以数列数列{lnFn在n14时单增，故lnFn1lnFn2在nnn1n,3nN*时恒成立，同样结合一开始的计算，便有logFn2Fn1nn1nN，n2成立.则n1至此，我们便完成了问题“设F1F2,1Fn2Fn1Fn(nN),F}n2logFn.nN，n2”的证明，也顺便证明了数列lognFn2n1n1Fn2n1的单增性.四、结束语

作为一线教师，要把研读高考题、关注命题方向培养成自己的一种习惯，所以一方面要体现如何考查学生的核心素养，另一方面要去体现命题的方向！本文的证明是以数列是一种特殊的函数为背景，构造函数来完成的.而证明的过程正是从这两方面出发的，既凸显了构