2021年河南省信阳市光山县第一高级中学高三数学理月考试题含解析

2021年河南省信阳市光山县第一高级中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设x，y满足约束条件若的最大值与最小值的差为7，则实数（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C2.在R上定义运算：，若不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是

(

)A.B.C.D.参考答案：C3.设条件p：；条件q：，那么p是q的什么条件A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充分且必要条件

D．非充分非必要条件参考答案：答案：A4.已知函数则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B5.一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点（不在同一侧面或同一底面内）的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可以是

（

）(A)等腰三角形

(B)等腰梯形（C)五边形

(D)正六边形参考答案：D6.（5分）“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+2=0与直线3x+my+3=0垂直”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：直线与圆．【分析】：由题设条件，可分两步研究本题，先探究m=0时直线mx+（2m﹣1）y+2=0与直线3x+my+3=0互相垂直是否成立，再探究直线mx+（2m﹣1）y+2=0与直线3x+my+3=0互相垂直时m的可能取值，再依据充分条件必要条件做出判断，得出答案．解：若两直线垂直，则当m=0时，两直线为y=2与x=﹣1，此时两直线垂直．当2m﹣1=0，即m=时，两直线为x=﹣4与3x+y+3=0，此时两直线相交不垂直．当m≠0且m时，两直线的斜截式方程为y=x﹣与y=．两直线的斜率为与，所以由得m=﹣1，所以m=﹣1是两直线垂直的充分不必要条件，故选A．【点评】：本题考查充分条件必要条件的判断及两直线垂直的条件，解题的关键是理解充分条件与必要条件的定义及两直线垂直的条件，本题的难点是由两直线垂直得出参数m的取值，此处也是一易错点，易忘记验证斜率不存在的情况，导致判断失误．7.设F1，F2分别为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（a1＞0，b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若椭圆的离心率e=，则双曲线C2的离心率e1为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】利用椭圆与双曲线的定义列出方程，通过勾股定理求解离心率即可．【解答】解：由椭圆与双曲线的定义，知|MF1|+|MF2|=2a，|MF1|﹣|MF2|=2a，所以|MF1|=a+a1，|MF2|=a﹣a1．因为∠F1MF2=90°，所以，即，即，因为，所以．故选：B．8.（5分）（2015?淄博一模）某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的中位数是86，则x+y的值为（）A．7B．8C．9D．10参考答案：C【考点】：茎叶图．【专题】：概率与统计．【分析】：根据茎叶图中的数据，结合众数与中位数的概念，求出x与y的值即可．解：根据茎叶图中的数据，得；甲班学生成绩的众数是83，∴x=3；乙班学生成绩的中位数是86，∴y=6；∴x+y=3+6=9．故选：C．【点评】：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了众数与中位数的应用问题，是基础题目．9.已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，且点的横坐标为，则△的周长为

A．

B．

C．

D．参考答案：D【知识点】双曲线的性质.

H6解析：根据题意得PQ⊥x轴，则，解得，,则△的周长为，故选D.【思路点拨】根据题意得，△是以PQ为底边的等腰三角形，由勾股定理及双曲线的定义求得，进而求得△的周长.10.已知向量，若为实数，∥，则=

A．

B．

C．1

D．2参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知=（1，2），=（4，k），若⊥，则k=．参考答案：考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题： 平面向量及应用．分析： 由垂直关系可得数量积为0，解方程可得k值．解答： 解：∵=（1，2），=（4，k），∴由⊥可得=4+2k=0，解得k=﹣2故答案为：﹣2点评： 本题考查平面向量的垂直关系与数量积，属基础题．12.，计算，，推测当时，有_____________．参考答案：略13.设为等比数列的前项和，已知，，则公比

参考答案：414.已知数列{an}中，a1=1，an=an﹣1+（n≥2），则数列{an}的前9项和等于．参考答案：27【考点】数列递推式．【分析】通过an=an﹣1+（n≥2）可得公差，进而由求和公式即得结论．【解答】解：∵an=an﹣1+（n≥2），∴an﹣an﹣1=（n≥2），∴数列{an}的公差d=，又a1=1，∴an=1+（n﹣1）=，∴S9=9a1+?d=9+36×=27，故答案为：27．15.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线和曲线C的公共点有

个．参考答案：116.若点M（）为平面区域上的一个动点，则的最大值是_______参考答案：117.已知数列满足则的最小值为__________；

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，∥，，⊥平面SAD，点是的中点，且，.

（1）求四棱锥的体积；（2）求证：∥平面；（3）求直线和平面所成的角的正弦值.参考答案：解：∵⊥底面,底面,底面∴⊥,⊥

∵,、是平面内的两条相交直线∴侧棱底面

…2分（1）

在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，∥，⊥，，

∴

…4分

（2）取的中点，连接、。

∵点是的中点

∴∥且

∵底面是直角梯形，垂直于和，，

∴∥且

∴∥且∴四边形是平行四边形∴∥

∵，∴∥平面

………………7分

（3）∵侧棱底面，底面∴∵垂直于，、是平面内的两条相交直线∴，垂足是点

∴是在平面内的射影，∴是直线和平面所成的角

∵在中，，

∴∴∴

直线和平面所成的角的正弦值是

………………10分19.已知函数(≠0,∈R)(Ⅰ)若，求函数的极值和单调区间；(Ⅱ)若在区间（0，e］上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.参考答案：略20.（本题满分12分）等边三角形的边长为3,点、分别是边、上的点,且满足(如图1)．将△沿折起到△的位置,使二面角为直二面角,连结(如图2)．（Ⅰ）求证:平面；（Ⅱ）在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由．

参考答案：(1)因为等边△的边长为3,且,所以,．在△中,,由余弦定理得．因为,所以．……………3分折叠后有,因为二面角是直二面角,所以平面平面

,又平面平面,平面,,所以平面．………6分(2)解法1:假设在线段上存在点,使直线与平面所成的角为．如图,作于点,连结、，由(1)有平面,而平面,所以,又,所以平面,

所以是直线与平面所成的角

,………8分设,则,,在△中,,所以,在△中,,,由,得

,解得,满足,符合题意

所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时

………12分解法2:由(1)的证明,可知,平面．以为坐标原点,以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图,设,则,,,所以,,,所以,因为平面,所以平面的一个法向量为,………9分因为直线与平面所成的角为,所以,,

解得,即,满足,符合题意,所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时．………12分21.（12分）已知，且。（1）将表示为的函数，并求的单调递增区间；（2）已知分别是的三个内角对应的边长，若，且，，求的面积。参考答案：（1）增区间为：（2），又，由所以，22.（12分）设函数f（x）=lnx﹣2mx2﹣n（m，n∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有最大值﹣ln2，求m+n的最小值．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，对m分类讨论即可得出．（2）由（1）利用单调性即可得出．【解答】解：（1）函数f