北师大版选择性必修第一册5.3.13.2组合　组合数及其性质作业

/17/17/§3组合问题3.1组合3.2组合数及其性质基础过关练题组一组合与组合数公式1.从2,3,5,7,11,13,17,19这八个数中任取两个,则下列问题是组合问题的为 ()A.相加,可以得到多少个不同的和B.相乘,可以得到多少个不同的积C.相减,可以得到多少个不同的差D.相除,可以得到多少个不同的商2.(多选题)(2020山东德州高二下月考)下列关系中,能成立的是 ()A.=CnmmnCC.m!=AnmCnmD.A3.(2020福建宁德高二期末)若2An2=3Cn3,则n=A.9B.8C.7D.64.(2020河北保定高二月考)若Cn2A22=42,则nA.60B.70C.120D.1405.(2020湖南长沙高二期中)C33+C43+C53+…+C201936.C22+C32+…+7.判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)若集合A={a,b,c,d},则集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有4个车站,则这条铁路线上需准备多少种车票?(3)从7本不同的书中取出5本给某同学;(4)三个人去做5种不同的工作,每人做1种,有多少种分工方法?(5)把3本相同的书分给5个学生,每人最多得一本,有多少种分配方法?8.(1)求值Cn5-(2)已知1C5m-1C6m9.证明:Cnk·Cn-k题组二组合的简单应用10.(2020江西南昌高三月考)有30个完全相同的苹果,分给4个不同的小朋友,每个小朋友至少分得4个苹果,不同的分配方案的种数为 ()A.680B.816C.1360D.145611.(2020黑龙江哈尔滨第六中学高二期末)从7名男生和5名女生中任选4人参加夏令营,规定男、女生至少各有1人参加,则选法总数为 ()A.C71CC.--C124C74C54D.C712.(2020四川成都高考模拟)将标号为1,2,3,4,5,6的6个小球放入三个不同的盒子中,若每个盒子放2个小球,其中标号为1,2的小球放入同一个盒子中,则不同的方法共有 ()A.12种B.16种C.18种D.36种13.(2020湖南长沙高二期末)为全面贯彻党的教育方针,落实立德树人的根本任务,某学校积极推进教学改革,开发了8门校本课程,其中艺术类课程5门,劳动类课程3门.小明从8门课程中任选3门,其中劳动类课程至少选1门,则小明的选课方法共有种.?14.如图,∠MON的边OM上有四个点A1,A2,A3,A4,边ON上有三个点B1,B2,B3,则以O,A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3为顶点的三角形的个数为.?15.(2019河北石家庄高二期中)已知有编号为1,2,3,4,5的五个小球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,现将这五个小球放入五个盒子中,每个盒子内只投放一个球,若至少有两个球的编号与盒子的编号是相同的,则有多少种投放方法?题组三排列与组合的综合应用16.(2020深圳外国语学校高三月考)某天四人乘坐高铁G77从武汉出发(G77只会在长沙、广州、深圳停),在每个停站点至少下一个人,则不同的下车方案有 ()A.24种B.36种C.81种D.256种17.(2020陕西咸阳高二期末)2020年是脱贫攻坚年,为顺利完成“两不愁,三保障”,即农村贫困人口不愁吃、不愁穿,农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障,某市拟派出6人组成三个帮扶队,每队两人,对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶,则不同的派出方法共有种.?18.(2020浙江绍兴高三月考)某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间,每个房间至少住1人,则共有种不同的安排方法.(用数字作答)?19.(2020河北保定高三月考)2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年,某县农业局为支持该县的扶贫工作,决定派出8名农技人员(5男3女),并分成两组,分配到2个贫困村进行扶贫工作,若每组至少3人,且每组都有男农技人员,则不同的分配方案共有种.?20.(2019吉林长春高二期中)从1,2,…,7这7个数字中任取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数.试问:(1)一共能组成多少个不同的五位偶数?(2)组成的五位数中,两个偶数排在一起的有几个?(3)两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个?(所有结果均用数字表示)能力提升练题组一组合数与组合数公式1.(多选题)(2020山西大同高二期末,)若C202x-1=C20x+3,A.4B.5C.6D.72.(2019江苏启东中学高一期中,)计算:C20+C31+C42+C53+C643.(2020江苏南通高二期末,)已知Cx+1m+Cx+1m+1=Cnm,mnCnm=Cym+1(n≥2,n∈N+,m∈N+4.(2020辽宁沈阳高二期末,)计算:C3n38-题组二组合数的应用5.(2020河北衡水中学高三月考,)区块链是数据存储、传输、加密算法等计算机技术的新型应用模式,图论是区块链技术的一个主要的数学模型,在一张图中有若干点,有的点与点之间有边相连,有的没有边相连,边可以是直线段,也可以是曲线段,我们规定图中无重边(即两个点之间最多只有一条边)且无孤立点(即对于每个点,都至少存在另外一个点与之相连).现有A,B,C,D四个点,若图中恰有3条边,则满足上述条件的图的个数为 ()A.4B.8C.12D.166.(2020浙江杭州高三月考,)小明同学去文具店购买文具,现有四种不同样式的笔记本可供选择(可以有笔记本不被选择),单价均为1元,小明只有8元钱且要求全部花完,则不同的选法共有 ()A.70种B.165种C.280种D.1860种7.(2020江西赣州高二期末,)浙江省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外,考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目,成绩计入高考总分.已知报考某高校A、B两个专业各需要一门科目满足要求即可,A专业:物理、化学、技术;B专业:历史、地理、技术,若考生小李今年打算报考该高校这两个专业,则小李的不同选考方式有种.(用数字作答)?8.(2020上海七宝中学高二期末,)在某次数学考试中,学号为i(i=1,2,3,4)的同学的考试成绩f(i)∈{85,87,88,90,93},且满足f(1)≤f(2)<f(3)<f(4),则这四位同学考试成绩的所有可能情况有种.?9.(2020浙江浙北四校高三二模,)给下图染色,每个小方格染一种颜色,有公共边的小方格颜色不能相同,则用4种颜色染色的方案共有种,用5种颜色染色的方案共有种.(颜色可以不用完)?题组三排列、组合的综合应用10.(多选题)(2020河北唐山高二期末,)今年3月10日湖北武汉某方舱医院“关门大吉”,某省驰援湖北“抗疫”的9名身高各不相同的医护人员为庆祝圆满完成“抗疫”任务,站成一排合影留念,则下列说法错误的是 ()A.最高的人站中间且两边身高递减的所有排列个数为70B.若恰好从中间往两边看都依次变低,则身高排第4(从高到低排第四)的医护人员和最高的医护人员相邻的排列个数是63C.排成一排,其中甲不在排首,乙不在排尾的所有排列个数是A88D.甲、乙都和丙挨着站的所有排列个数为A11.(多选题)(2020北京海淀高二下期末,)下列说法正确的是 ()A.有大小、形状相同的3个红球和5个白球排成一排,共有56种不同的排法B.九张卡片分别写着数字0,1,2,…,8,从中取出三张排成一排组成一个三位数,如果6可以当作9使用,那么可以组成576种不同的三位数C.有甲、乙、丙3项任务,甲需要2人承担,乙、丙各需要1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法有1260种D.从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,则共有660种不同的选法12.(2020河南商丘高二期中,)从射击、乒乓球、跳水、田径四个项目的某届奥运冠军中选出6名做“夺冠之路”的励志报告.若每个项目中至少选派一人,则名额分配情况有种;若将6名冠军分配到5个院校中的4个院校做报告,每个院校至少一名冠军,则有种不同的分配方法.?答案全解全析基础过关练1.B判断一个问题是不是组合问题,关键是看该问题是否与顺序有关,由于减法与除法不满足交换律,取出的两个数就与顺序有关,因此不是组合问题,故C、D选项中不是组合问题;加法与乘法满足交换律,与取出的两个数的顺序无关,但是由于给出的8个数中,5+11=3+13、11+19=13+17等,故相加,可以得到多少个不同的和这个问题不是纯粹的组合问题,只有相乘,可以得到多少个不同的积这个问题是组合问题,故选B.2.BCD对于A,令n=3,m=1,可得等式C31=13C20对于B,由组合数的计算公式知Cnm=n!(n对于C,由排列数与组合数的公式知AnmCnm=n!(n-对于D,Anm+mAnm-1=n!(n-m故选BCD.3.D2An2=3Cn3,则2n(n-1)=3×n(n-1)(n-24.DCn2A22=n(n-1)2×2=42,解得n=7或n=-6(5.答案C解析C33=C44,C44+C43=C54,C54+C53=C6∴C33+C43+C53+…+公式运用组合数重要的性质:Cnm+Cn6.答案165解析由组合数的性质可得,C22+C32+…+C102=C33+C32+…+C102=C7.解析(1)因为集合A的任一个含3个元素的子集与元素顺序都无关,所以它是组合问题.(2)因为车票与起点、终点顺序有关,例如“甲→乙”与“乙→甲”的车票不同,所以它是排列问题.(3)因为从7本不同的书中取出5本给某同学,取出的5本书并不考虑书的顺序,所以它是组合问题.(4)因为从5种不同的工作中选出3种,按一定顺序分给三个人去做,所以它是排列问题.(5)因为3本书是相同的,把3本书无论分给哪三个人都不需要考虑顺序,所以它是组合问题.8.解析(1)由题意得,5-n≤n,5-n≥0,9-n≤n+1,当n=4时,原式=C41+当n=5时,原式=C50+C(2)由题意可知m的取值范围为{m|0≤m≤5,m∈N},由已知得,m!(5-m)!即10m=(7-m)(6-m),整理得m2-23m+42=0,解得m=21(舍去)或m=2,∴C8m=C9.证明Cnk·Cn-km-Cnm·Cmk=n!所以Cnk·Cn-k10.A先给每个小朋友分3个苹果,然后将剩余的18个苹果利用“隔板法”分配.剩余18个苹果每人至少1个苹果,则18个苹果有17个空,插入三个“板”,即将苹果分成四堆,共有C173=680种方法.11.C任选4人的方法数为C124,其中全部为男生或全部为女生的方法数为C74+C54,故选法总数为C12412.C先从三个盒子中选一个放标号为1,2的小球,有3种不同的选法,再从剩下的4个小球中选2个,放入剩下的其中一个盒子有C42种放法,余下的放入最后一个盒子,则不同的方法共有3C42=18种13.答案46解析从8门课程中任选3门课程的种数减去没有劳动类课程即只有艺术类课程的种数即可.故小明的选课方法共有C83-C514.答案42解析先从这8个点中任取3个点,有C83种情况,再减去三点共线的情况即可.故所求三角形的个数为C83-C15.解析分三类:第一类,五个球的编号与盒子的编号完全相同的投放方法有1种;第二类,只有三个球的编号与盒子的编号相同,则球的编号与盒子的编号相同的投放方法有C53种,剩余的球的编号与盒子的编号不同的投放方法有1种,所以投放方法有C5第三类,只有两个球的编号与盒子的编号相同,则球的编号与盒子的编号相同的投放方法有C52种,剩余的球的编号与盒子的编号不同的投放方法有2种,所以投放方法有C5根据分类加法计数原理,得所有的投放方法有1+10+20=31种.16.B依据题意,有三个站点,在每个停的站点至少下一个人,先将4人分成三组,有C42种分法,再将分好的三组分配到三个站点,有A33种分法,所以一共有C417.答案90解析根据题意,首先将6人平均分成3组,有C62C42C22A33=15种分组方法,易错警示平均分组,比如四个人平均分成两组,即两人为一组的所有选法为C42A22=3种,即四个人A、B、C、D两个人为一组的选法有:(AB)和(CD),(AC)和(BD),(AD)和(BC).学生错认为是C42,因为四个里面选两个包括(AB)和(CD),(CD)和(AB),而(AB)和(CD)与(CD)和(AB)是同一组18.答案150解析将五人分成三组,则三组的人数分别为“1,1,3”或“1,2,2”,则分组方法为C53+C52C32A22=25种,再将三组分配给三个房间为19.答案180解析分配的方案有两类,第一类:用间接法,一组3人,另一组5人,有(C83-1)·A22=110种分配方案;第二类:两组均为4人,有C84C44A20.解析(1)五位偶数共有C32C4(2)组成的五位数中,两个偶数排在一起的有C32C4(3)两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有C32C4能力提升练1.AC因为C202x-1=C20x+3,所以2x-1=x+3或2x-1+x+3=20,所以2.答案1140解析C20+C31+C42+C53=C22+C32+C42+C52+∵Cn2=Cn+13-Cn3(n≥∴C22+C32+C42+…+C192=C33+(C43-C33)+(C3.答案n-2;n-1解析Cx+1m+Cx+1x+2=n,m+1+m=n?x=n-2,mnCnm=y=n-1.4.解析由题意得3解得192≤n≤21又由3n∈N∴C3n38-n+Cn+213n=5.D如图,A,B,C,D四点最多可确定AB,AC,AD,BC,BD,CD共6条边.由题意知恰有3条边且无孤立点,当A为孤立点时,三边为BC,BD,CD;当B为孤立点时,三边为AC,AD,CD;当C为孤立点时,三边为AB,AD,BD,当D为孤立点时,三边为AB,AC,BC.利用间接法,去掉这四种不符合条件的结果,所以满足条件的图有C63-4=16(个).6.B若只选一种,则有4种选法;若选两种,则有C42C71=42种选法;若选三种,则有C43C72=84种选法;若选四种,则有C7.答案27解析根据题意分情况讨论:当小李选择技术时,两个专业均可报考,再从剩下的六科中选择两科即可,有C62=15种方法;当小李不选择技术时,可以先从物理、化学中选择一科,再从历史、地理中选择一科,最后从政治、生物中选择一科,有2×2×2=8种方法;当小李同时选择物理、化学时,还需要从历史、地理中选择一科,有2种方法;当小李同时选择历史、地理时,还需要从物理、化学中选择一科,也有2综上,共有15+8+2+2=27种不同的选考方式.8.答案15解析由题意,分2种情况讨论:当f(1)=f(2)<f(3)<f(4)时,从集合{85,87,88,90,93}中任选三个数据从小到大作为f(2),f(3),f(4)的值,有C53=10当f(1)<f(2)<f(3)<f(4)时,从集合{85,87,88,90,93}中任选四个数据从小到大作为f(1),f(2),f(3),f(4)的值,有C54=5所以一共有10+5=15种可能的情况.9.答案252;1040解析将方格标上字母,如图所示.(1)根据题意,当用4种颜色染色时,先对A、B区域染色,有C41C31种,再对C染色:①当C同B时,有C21C21种;②当C同A时,有C31+C21C21种;③当C不同A、B时,有C21·(C31+C21(2)根据题意,当用5种颜色染色时,先给A、B区域染色,有C51C41种,再对C染色:①当C同B时,有C31C31种;②当C同A时,有C41+C31C31种;③当C不同A、B时,有C31(C41+C2110.BDA项中,若最高的人站中间,则最高的这个人是确定的,还剩其余8个人,从中任选4个人出来是C84,身高按从高到低排列是固定的,剩余的4个人身高也是固定的,只有1种排法,所以最高的人站中间且两边身高递减的所有排列个数为C84=70,B项中,将身高从低到高的9个人依次编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,首先9号必须排在正中间,当排名第4的6号排在最高的9号的左边时,从1,2,3,4,5中任选3个排在6号的左边,其余四个排在9号的右边,有C53=10种,同理,当排名第4的6号排在最高的9号的右边时,也有10种,所以身高排名第4的医护人员和最高的医护人员相邻的排法有10+10=20种,故BC项中,①当甲在排尾时,剩下的8个人全排列,是A88,②当甲既不在排首也不在排尾时,从七个位置选一个给甲是C71,甲占了一个位置,乙又不能在