《数字电子技术基础》第2章 逻辑代数基础

第2章逻辑代数基础第2章逻辑代数基础2.1概述2.2逻辑代数中的三种基本运算2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.4逻辑代数的基本定理2.5逻辑函数及其表示方法2.6逻辑函数的化简方法2.7具有无关项的逻辑函数及其化简2.1概述数字电路研究的内容：研究输入信号与输出信号之间的对应逻辑关系故此，数字电路又称数字逻辑电路用1位二进制数1和0表示事物的两面表因果关系逻辑关系逻辑代数1849年英国数学家布尔逻辑运算：当两个二进制数码不表示数量大小，仅表示两种不同的状态时，它们之间可以进行逻辑运算。基本的逻辑运算有：与（AND）、或（OR）、非（NOT）复杂的逻辑运算有：与非（NAND）、或非（NOR）、与或非（AND－NOR）、异或（EXCLUSIVEOR）、同或（EXCLUSIVENOR）2.2逻辑代数中的三种基本运算与、或、非的电路例子与或非·+1、函数式：ABY0000101001112、真值表(TruthTable)一、与（AND）3、逻辑功能：全1出1，有0出04、逻辑符号：&ABYABYY=A·B可略去输入端个数可扩展1、函数式：ABY0000111011112、真值表(TruthTable)二、或（OR）3、逻辑功能：有1出1，全0出04、逻辑符号：Y=A＋B≥1ABYABY1、函数式：2、真值表(TruthTable)三、非（NOT）3、逻辑符号：Y=A’AY01101AYAY1、函数式：2、真值表(TruthTable)四、与非（NAND）Y=（AB）’ABY00101110

11103、逻辑功能：全1出0，有0出14、逻辑符号：&ABYABY1、函数式：ABY0010101001102、真值表(TruthTable)五、或非（NOR）3、逻辑功能：有1出0，全0出14、逻辑符号：Y=（A＋B）’≥1ABYABY1、函数式：2、真值表(TruthTable)六、与或非Y=（AB＋CD）’3、逻辑符号：ABYCD

A

B

C

D

Y

0

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1

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01、函数式：ABY0000111011102、真值表(TruthTable)七、异或（EXCLUSIVEOR）3、逻辑功能：相同出0，相异出14、逻辑符号：Y=A＋B=A’B+AB’=1ABYABY1、函数式：ABY0010101001112、真值表(TruthTable)八、同或（EXCLUSIVENOR）3、逻辑功能：相同出1，相异出04、逻辑符号：Y=A⊙B=A’B’+AB=ABYABY输入端个数不能扩展例：是实现同或功能否？1、列真值表ABCY000100100100011010001010110011112、功能当A＝B＝C时，输出为1，否则为0；但不是同或功能。1、互为反运算2、异或的特殊运算同或与异或的关系A＋B=(A⊙B)’(A＋B)’=A⊙BA’1个数为奇时，异或结果仍为1例：问：A⊙1⊙0⊙1⊙0⊙1=？2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式0—1律0·A=0，1·A=A0+A=A，1+A=1重叠律A·A=A,A·A’=0A+A=A，A+A’=1交换律A·B=B·AA+B=B+A结合律A·(B·C)=(A·B)·CA+(B+C)=(A+B)+C分配律A·(B+C)=A·B+A·CA+B·C=(A+B)·(A+C)反演律(摩根律)（A·B）’=A’+B’（A+B）’=A’·B’还原律（A’）’=A1’=0，0’=12.3.2若干常用公式1、2、3、4、5、6、1、2、3、4、5、6、2.4逻辑代数的基本定理2.4.1代入定理2.4.2反演定理2.4.3对偶定理2.4.1代入定理定义：将一个逻辑式代入同一变量的位置，等式仍成立。公理无需证明应用－摩根律的扩展2.4.2反演定理规则：Y＋•AB’01Y’•＋A’B10注意点：①遵守原有的运算优先次序（先括号、然后乘、最后加）②长非号的处理保留不变，按规则转换直接去掉，非号里面内容不变例2.4.2：，求Y’例2.4.3：，求Y’2.4.3对偶定理规则：Y＋•AB’01YD•＋AB’10注意点：①遵守原有的运算优先次序（先括号、然后乘、最后加）②长非号的处理保留不变，按规则转换例2.4.2：，求YD例2.4.3：，求YD2.5逻辑函数及其表示方法2.5.1逻辑函数2.5.2逻辑函数的表示方法2.5.3逻辑函数的两种标准形式2.5.4逻辑函数形式的变换2.5.1逻辑函数逻辑函数（LogicFunction）Y＝F（A、B、C、…）Note：输入输出都是二值变量，只有0和1两种状态；若有超过两个的状态，可多设几个变量。例：举重裁判电路。规定：有一名主裁判，两名副裁判，主裁判具有否决权，同时必须两人以上认为动作合格，试举才算成功。1、设变量并定义A－主裁判，B、C—副裁判①输入变量②输出函数Y－试举结果1－动作合格，0－动作不合格1－试举成功0－试举失败2、逻辑函数Y＝F（A、B、C）2.5.2逻辑函数的表示方法一、逻辑真值表二、逻辑函数式三、逻辑图(logicDiagram)四、波形图(waveform)五、卡诺图（2.6节）六、硬件描述语言（下学期的EDA课程）不具有唯一性例：一、真值表ABCY00000010010001101000101111011111二、函数式Y＝A（B＋C）三、逻辑图四、波形图(时序图)将输入变量和对应的输出变量取值按时间顺序排列得到。见P31图2.5.3五、各种表示方法间的相互转换1、真值表逻辑函数式2、逻辑图逻辑函数式3、真值表波形图例2.5.1从真值表得到逻辑函数式1、真值表逻辑函数式ABCY00000010010001111000101111011110步骤：①找出输出为1的项②每个项对应一个与项输入取值：1—原变量

0—反变量A’BCAB’CABC’③全部与项相加，即得YY＝A’BC＋AB’C＋ABC’例2.5.2从逻辑函数式得到真值表1、真值表逻辑函数式，求对应真值表ABCY000001010011100101110111步骤：①根据输入输出变量数列空表②将各种取值逐一代入Y式计算，结果填入表。逐项填1最后填011111100

2、逻辑图逻辑函数式例2.5.3从逻辑函数式得到逻辑图步骤：用逻辑图形符号代替函数式中的逻辑运算符号，并按运算优先顺序连接即可。，画出对应的逻辑图

2、逻辑图逻辑函数式例2.5.4从逻辑图得到逻辑函数式步骤：从逻辑图的输入端到输出端逐级写出每个图形符号的逻辑式即可。参P34例2.5.5

3、真值表波形图例：请问下图实现什么功能？2.5.3逻辑函数的两种标准形式一、最小项和*最大项二、逻辑函数的最小项之和形式三、*逻辑函数的最大项之积形式最小项之和最大项之积哪两种标准形式？一、最小项和最大项1、最小项（1）定义：在n变量逻辑函数中，全体输入变量的与项（乘积项），称为最小项。可以是原变量或反变量，但只能出现一次。例：

A、B、C三变量的函数有哪些最小项？共有多少个？AA’BC是最小项吗？答：共有个AA’BC中出现两次A，故不是最小项。一、最小项和最大项1、最小项（2）编号：使最小项等于1的输入取值111110101100011010001000m7m6m5m4m3m2m1m0类似：当n＝4，有m0到m15共16个最小项一、最小项和最大项1、最小项（3）性质①在输入变量的任何取值下，必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1②全体最小项之和为1。③任意两个最小项的乘积为0。④具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子。两个最小项只有一个因子不同，例：和AB合并一、最小项和最大项2、*最大项自学二、逻辑函数的最小项之和形式1、又称标准与－或式例：判断是否为最小项之和，若不是请转化为标准与－或式。2、应用：为着逻辑化简，进而简化设计步骤：①判断输入变量个数②判断每个与项是否为最小项是不是③给非最小项配项，展开，即得。按从小到大的顺序2.5.4逻辑函数形式的变换逻辑函数有多种形式，并可相互转化：与或式与非－与非式与或非式或非－或非式或与式摩根律2.6逻辑函数的化简方法化简目的：使逻辑关系明了设计中减少成本并提高可靠性化简标准：乘积项（与项）最少与项的因子最少化简方法：公式化简法卡诺图化简法(重点)*奎恩-麦克拉斯化简法（Q-M法）2.6.1公式化简法一、并项法二、吸收法三、消项法四、消因子法五、配项法一、并项法例2.6.1：二、吸收法例2.6.2：被吸收被吸收三、消项法例2.6.3：四、消因子法例2.6.4：被消去五、配项法例2.6.5：1五、配项法例2.6.6：能否判断为最简式？总结公式化简法无具体步骤同时结果无法确定是否最简？AB=ACB=C?A+B=A+CB=C?请注意与普通代数的区别！2.6.2卡诺图化简法一、卡诺图表示逻辑函数二、卡诺图化简逻辑函数一、卡诺图表示逻辑函数卡诺图的构成：用2n个小方块阵列图表示2n个最小项用几何相邻表示逻辑相邻ABC0001111001m0

m1

m3

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m6

三变量卡诺图ABCD000111100001m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101110四变量卡诺图上下左右对称相邻＋格雷码排序m0

m1

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A0101两变量卡诺图B一、卡诺图表示逻辑函数例2.6.8：用卡诺图表示逻辑函数步骤：②根据输入变量画卡诺图①将函数式写成最小项之和形式1ABCD0001111000011110③对应最小项中填入1，没出现的填0或不填1111111简化表示例2.6.8：用卡诺图表示逻辑函数步骤：②根据表达式填入1①根据输入变量画卡诺图ABCD000111100001111011111111000101X01X1110XX例2.6.9：根据卡诺图写出逻辑函数1ABC0001111001111二、卡诺图化简逻辑函数1、原理：相邻最小项可合并，消去不同因子2、规则：合并2n个相邻项2个－消去1个因子4个－消去2个因子2n个－消去n个因子圈尽量大圈尽量少最小项可重复圈化简规则（1）相邻单元的个数是2N个，并组成矩形时，可以合并。ABCD0001111000011110ADABCD0001111000011110（2）画的圈尽量大ABCD00011110000111000000000111111100ABCD00011110000110010110011010111100（3）各最小项可以重复使用，但不可重复圈BABCD00011110000101101111111010111010ABCD000111100001010001111100101110103、卡诺图化简步骤：例2.6.10：用卡诺图化简法化简下式：步骤：②画圈①用卡诺图表示函数ABC0001111001111111③写出每个圈的公共项，并求和。