自动控制原理：第三章 线性系统的时域分析法

第3章线性系统的时域分析法

典型响应的性能指标

一阶系统的时域分析

二阶系统的时域分析

控制系统的稳定性和代数判据

稳态误差的分析和计算本章主要内容

本章介绍了控制系统时域性能分析法的相关概念和原理。包括各种典型输入信号的特征、控制系统常用性能指标、一阶、二阶系统的暂态响应、脉冲响应函数及其应用、控制系统稳定性及稳定判据、系统稳态误差等。本章重点

通过本章学习，应重点掌握典型输入信号的定义与特征、控制系统暂态和稳态性能指标的定义及计算方法、一阶及二阶系统暂态响应的分析方法、控制系统稳定性的基本概念及稳定判据的应用、控制系统的稳态误差概念和误差系数的求取等内容。自动控制原理课程的任务与体系结构在建立了控制系统的数学模型后，就可以对系统的性能进行分析。对控制系统性能的分析，主要是从稳定性、稳态性能和动态性能三个方面着手，即通常所说的“稳、准、快”。在经典控制理论中，常用的分析方法有三种，即时域分析法、根轨迹法和频域分析法。所谓时域分析法，是根据描述系统的微分方程或传递函数，直接解出控制系统的时间响应，然后依据响应的表达式或描述曲线来分析系统的性能。（定量分析方法）

§3.1时域分析法概述

§3.1.1时域法的作用和特点

时域法是最基本的分析方法,学习复域法、频域法的基础

(1)直接在时间域中对系统进行分析校正，直观，准确；

(2)可以提供系统时间响应的全部信息；

(3)基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。一、典型输入函数

所谓典型输入信号，是指根据系统常遇到的输入信号形式，在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数。典型输入信号的选取既应大致反映系统的实际工作情况，又应力求简单以便于分析，此外，还必须选取使系统处于最不利情况下的输入信号。

为什么要研究典型输入信号？控制系统的输入信号是随机和无法事先确定的。为了测试比较控制系统的性能，需要有一个共同的基础。可以采用很接近实际控制系统经常遇到的输入信号，并在数学描述上加以理想化后能用较为典型且简单的函数形式表达出来的信号。常用的典型输入信号有五种。1.阶跃函数

式中A为常量。单位阶跃函数及其拉氏变换2.斜坡函数

式中A为常量。因为，所以又称等（匀）速度函数。单位斜坡函数及其拉氏变换3.

抛物线函数

式中A为常量。因为，所以又称等（匀）加速度函数。单位抛物线函数及其拉氏变换4.脉冲函数

式中A为常量。当A=1且，则称为单位脉冲函数。及其拉氏变换为且5.正弦函数

式中A为振幅，ω为角频率。其拉氏变换为用于频域分析，见第五章。§3.1.2时域法常用的典型输入信号注意：线性系统的性能只由系统本身的结构及参量决定。采用典型输入信号的目的，是为了在一个统一的标准下，比较分析各种不同控制系统的性能！！！如何确定选取哪种典型信号作为试验信号？不论选择何种典型输入信号，对同一系统而言，其响应过程所表征的系统特性是一致的。最常用的典型输入是阶跃信号。研究目的时域分析就是分析系统的时间响应，也即分析描述其运动的微分方程的解。研究系统的运动就是分析系统的性能。研究对象

二、线性定常系统的时间响应3.线性微分方程的解的组成式中，对应齐次微分方程的通解为任一特解即

线性常微分方程的解

=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的任一特解＝零输入响应＋零状态响应

=自然响应＋受迫响应

4.线性系统响应的分解

分析电网络时：

网络的响应

=动态响应（暂态分量）+稳态响应（稳态分量）

这两种分解有没有联系呢？5.拉氏反变换求解微分方程（零初始条件）

用部分分式展开式中，传递函数的极点输入象函数的极点

如果和都是互异极点，则系统的零状态响应（初始条件为零的响应）为式中，、为待定常量，其值与系统的结构、参量及输入有关。如果，系统的输出即为单位阶跃响应在典型输入信号的作用下，任何一个控制系统的时间响应都由动态过程和稳态过程两部分组成。动态过程：系统在输入信号作用下，系统输出量从开始状态到最终状态的响应过程。稳态过程：时间趋近于无穷大时，系统输出状态的表现形式。它表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供有关稳态误差的信息。三、动态过程和稳态过程控制系统在典型输入信号作用下的性能指标，通常由动态性能和稳态性能两部分组成。值得注意的是，只有对稳定控制系统进行时域分析才有意义！！四、动态性能和稳态性能1.动态性能：一般由单位阶跃响应表征系统动态性能

稳：(基本要求)

系统受脉冲扰动后能回到原来的平衡位置

准:

(稳态要求）稳态输出与理想输出间的误差(稳态误差)要小

快:

(动态要求)

过渡过程要平稳，迅速

延迟时间t

d

—阶跃响应第一次达到终值的50％所需的时间

上升时间t

r—阶跃响应从终值的10％上升到终值的90％所需的时间

有振荡时，可定义为从0到第一次达到终值所需的时间

峰值时间

t

p

—阶跃响应越过终值达到第一个峰值所需的时间

调节时间

t

s

—阶跃响应到达并保持在终值5％误差带内所需的最短时间

超调量

—峰值超出终值的百分比h(t)t时间tr上升峰值时间tpAB超调量σ%=AB100%h(t)t调节时间tsh(t)t时间tr上升峰值时间tpAB超调量σ%=AB100%调节时间tsh(t)t上升时间tr调节时间tsh(t)tABtrtptsσ%=BA100%（1）最大超调量：

（2）峰值时间：（3）上升时间：（4）调整时间：（5）延迟时间：（6）振荡次数：N常用的动态性能指标通常上升时间和峰值时间评价系统的响应速度；超调量评价系统的阻尼程度，表征控制系统的震荡程度；调节时间是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。2.稳态性能稳态性能指标主要是稳态误差。稳态误差：对稳定的系统，当给定参考输入或外来扰动加入系统后，经过足够长的时间，其暂态响应已经衰减到微不足道的情况下，系统稳态响应的实际值与期望值之间的误差。稳态误差是系统控制精度和抗扰动能力的一种度量。3.2一阶系统的时域分析一阶系统的数学模型RC电路、恒温箱、液位调节系统、室温调节系统是常见的一阶系统1.一阶系统的单位阶跃响应

对于单位阶跃输入于是由拉氏反变换可以得到一阶系统的单位阶跃响应为讨论：1是稳态分量，由输入信号决定。是瞬态分量（暂态分量），它的变化规律由传递函数的极点-1/T或时间常数T决定。当时，瞬态分量按指数衰减到零。注意到，一阶系统单位阶跃响应的典型数值所以，一阶系统的单位阶跃响应是一条指数上升、渐近趋于稳态值的曲线。讨论：图中对应的A点是实验方法求取一阶系统时间常数T的重要特征点。c(3T)=0.95和c(4T)=0.982表明系统时间响应进入稳态值的5％和2％允许误差带的过渡过程时间分别为时间常数T越小（惯性小），系统响应速度越快。响应曲线在t=0处斜率最大，其值为1/T（也可由此求T）。没有超调σp=0，不存在峰值时间。调整时间为2.一阶系统的单位脉冲响应

对于单位脉冲输入于是由拉氏反变换可以得到一阶系统的单位脉冲响应为讨论：一阶系统单位脉冲响应的调节时间为

或单位脉冲响应中只包含瞬态分量。单位脉冲响应也可以通过对单位阶跃响应求导获得。单位阶跃响应是单位脉冲响应的积分。系统的单位脉冲响应对应系统传递函数的拉普拉斯反变换，这一结论对于所有系统都是成立的。3.一阶系统的单位斜坡响应

对于单位斜坡输入于是由拉氏反变换可以得到一阶系统的单位斜坡响应为讨论：稳态分量(t-T)是一个与输入信号等斜率的斜坡函数，但时间上滞后一个时间常数T。暂态分量，当时，它按指数规律衰减到零，衰减速度由极点s=-1/T决定。单位斜坡响应也可由单位阶跃响应积分得到（其中初始条件为零）。系统的误差信号为一阶系统的单位斜坡响应在过渡过程结束后存在常值误差，其值等于时间常数T。时间常数越小（惯性小），响应越快，跟踪误差越小（精度高），输出信号的滞后时间也越短。

或

4.一阶系统的单位加速度响应

对于单位加速度输入于是由拉氏反变换可得到一阶系统的单位加速度响应系统的误差信号为一阶系统在加速度信号作用下的误差随时间增长，直到无穷。一阶系统对典型输入信号的响应

3.3二阶系统的时域分析一、二阶系统数学模型及其标准形式RLC电路、电动机转速控制系统典型二阶系统是一个前向通道为惯性环节和积分环节串联的单位负反馈系统。令则二阶系统传递函数的标准形式为

其中ζ称为阻尼比，τ为时间常数，ωn为系统的自然振荡角频率（无阻尼自振角频率）。注意：控制工程中，二阶系统的典型应用极为普遍；为数众多的高阶系统在一定条件下可近似为二阶系统。二、二阶系统的特征根（极点）分布

求解二阶系统特征方程，

D(s)=可得d-(1)欠阻尼

是一对共轭复数根。

(2)临界阻尼

是两个相同的负实根。

(3)过阻尼

是两个不同的负实根。

(4)无阻尼

是一对共轭纯虚数根。三、二阶系统的单位阶跃响应

对于单位阶跃输入于是由拉氏反变换可以得到二阶系统的单位阶跃响应为下面按阻尼比分别讨论。过阻尼(ζ>1)

这种情况下，系统存在两个不等的负实根，则

拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：稳态分量：1暂态分量：两个指数函数之和，指数部分由系统传递函数极点确定。讨论：过阻尼系统是两个惯性环节的串联。有关分析表明，当时，两极点s1和s2与虚轴的距离相差很大，此时靠近虚轴的极点所对应的惯性环节的时间响应与原二阶系统非常接近，可以用该惯性环节来近似原来的二阶系统。即有近似原则：用其中一个惯性环节近似原二阶系统，需要保证近似前后初值和终值相等，并且要用到待定系数法！

过阻尼系统稳态值和最终误差过渡过程时间（按近似后一阶系统求出）

过阻尼系统单位阶跃响应的变化率所以，整个暂态过程中，阶跃响应都是单调增长的.2.临界阻尼(ζ＝1)

此时，系统具有二重负实极点，则

单位阶跃响应为表明临界阻尼系统的阶跃响应是单调上升的。单位阶跃响应的变化率为：

临界阻尼系统单位阶跃响应的误差及终值解得。整个暂态过程中，临界阻尼系统阶跃响应都是单调增长的没有超调。如以达到稳态值的95%所经历的时间做为调整时间，则临界阻尼二阶系统多在记录仪表中使用。

单位阶跃响应变化率最大的时刻：3.欠阻尼(0<ζ<1)

此时，系统具有一对共轭复数极点，则欠阻尼系统单位阶跃响应为或写为讨论:(1)欠阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应是衰减的正弦振荡曲线。衰减速度取决于特征根实部的绝对值ζωn的大小，振荡角频率是特征根虚部的绝对值，即有阻尼自振角频率ωd，(2)振荡周期为

(3)ζ越大,振幅衰减越快，振荡周期越长(频率越低)。(4)上升时间tr的计算：

(注：β为弧度)(5)峰值时间tp的计算：

出现峰值时，阶跃响应随时间的变化率为0，即

则到达第一个峰值时应有(6)最大超调量的计算：

越小，越大（只与ζ有关）(7)调整时间ts的计算：

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线位于一对曲线

以内，这对曲线称为响应曲线的包络线。可以采用包络线代替实际响应曲线估算调整时间，所得结果一般略偏大。解得

当时，设计二阶系统时，常取

为最佳阻尼比。若允许误差带是±Δ（如±2％），可以认为调整时间就是包络线衰减到±

Δ区域所需的时间，则有

设计二阶系统时，可先由超调量确定阻尼比，再由其他指标（如调节时间）和已确定的阻尼比给出自然振荡角频率。欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标计算公式4.无阻尼（ζ＝0）

无阻尼情况下系统的阶跃响应是等幅正（余）弦振荡曲线，振荡角频率是

不同ζ下，二阶系统的单位阶跃响应曲线图0123456789101112ntc(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0几点结论:1）二阶系统的阻尼比ζ决定了其振荡特性：ζ<0时，阶跃响应发散，系统不稳定（负阻尼）ζ=0时，出现等幅振荡0<ζ<1时，有振荡，ζ愈小，振荡愈严重，但响应愈快ζ≥1时，无振荡、无超调，过渡过程长2）ζ一定时，ωn越大，瞬态响应分量衰减越迅速，系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。如果ωn一定，ζ发生变化，情况又如何？3）工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。4)最佳阻尼比为0.707（这时的调整时间小，而且超调量也不大）四、二阶系统的单位脉冲响应单位脉冲响应可以通过单位阶跃响应求导得到；单位脉冲响应曲线与时间轴第一次相交的点必然是峰值时间tp；从t=0到tp时间内，单位脉冲响应曲线与时间轴所包围的面积等于1＋σp;单位脉冲响应曲线与时间轴所包围的面积代数和为1。tp1+σptg(t)0

过阻尼：>1(t0)

欠阻尼：0<<1

无阻尼：=0

临界阻尼：=1二阶系统单位脉冲响应曲线

过阻尼：>1(t0)

欠阻尼：0<<1

临界阻尼：=1

无阻尼：=0*五、二阶系统单位斜坡响应§3.5系统稳定性分析（1）§3.5.1稳定性定义

稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论的基本任务之一。定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。§3.5系统稳定性分析（2）§3.5.2稳定的充要条件

系统稳定的充要条件：系统所有闭环特征根均具有负的实部，

或所有闭环特征根均位于左半s平面。根据系统稳定的定义，若,则系统是稳定的。

必要性：充分性：§3.5系统稳定性分析（3）§3.5.3稳定判据(1)必要条件说明：例1不稳定不稳定可能稳定§3.5系统稳定性分析（4）(2)劳斯（Routh）判据劳斯表劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个数

§3.5系统稳定性分析（5）s4s3s2s1s0解.列劳斯表171052劳斯表第一列元素变号2次，有2个正根，系统不稳定。

1010

例2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0

§3.5系统稳定性分析（6）s3s2s1s0解.列劳斯表1-3

e2劳斯表第一列元素变号2次，有2个正根，系统不稳定。

0

例3：D(s)=s3-3s+2=0

判定在右半s平面的极点数。

(3)劳斯判据特殊情况处理某行第一列元素为0，而该行元素不全为0时:将此0改为e

，继续运算。§3.5系统稳定性分析（7）解.列劳斯表1123532025s5s4s3s2s1s05

25

0

0

10出现全零行时：用上一行元素组成辅助方程，将其对S求导一次，用新方程的系数代替全零行系数，之后继续运算。25

0列辅助方程：

例4D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25

=(s±j)(s+1)(s+1±j2)=0

出现全零行时，系统可能出现一对共轭虚根；或一对符号相反的实根；或两对实部符号相异、虚部相同的复根。

§3.5系统稳定性分析（8）解.列劳斯表10-120-2s5s4s3s2s1s00

-2

16/e0

8-2

0列辅助方程：

例5D(s)=s5+2s4-s-2=0e第一列元素变号一次，有一个正根，系统不稳定=(s+2)(s+1)(s-1)(s+j1)(s-j1)§3.5系统稳定性分析（9）例6系统结构图如右，

(1)确定使系统稳定的参数(K,x)的范围;(2)当x=2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。解.(1)§3.5系统稳定性分析（10）(2)当x=2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。当x=2时，进行平移：课程小结

§3.5.1稳定性定义

§3.5.2稳定的充要条件

§3.5.3稳定判据（1）判定稳定的必要条件

（2）劳斯判据（3）劳斯判据特殊情况的处理（4）劳斯判据的应用（判定稳定性，确定稳定的参数范围）

系统闭环特征方程的所有根都具有负的实部或所有闭环特征根均位于左半s平面

§3.6稳态误差分析(1)稳态误差是系统的稳态性能指标，是对系统控制精度的度量。本讲只讨论系统的原理性误差，不考虑由于非线性因素引起的误差。对稳定的系统研究稳态误差才有意义，所以计算稳态误差应以系统稳定为前提。

通常把在阶跃输入作用下没有原理性稳态误差的系统称为无差系统；而把有原理性稳态误差的系统称为有差系统。

概述§3.6稳态误差分析(2)§3.6.1误差与稳态误差§3.6.2计算稳态误差的一般方法

（1）判定系统的稳定性

稳态误差

（2）