第一章极限连续与间断

本章主要知识一、求极限的七类题

xPn方法：上下同除以x的最高次x5x41.1

x211解：原式

x5x

1 1.2

3x122x4

3x3x122x

3

12

322解：原式

lim x x

3x3x1 3xx1 x

3

33x3x1 3xx1 x

= 331 3xx111xx34x24x2x4x24x2x1

x141xx2=41xx2

4x3x1.5x

1(3)x(1)解：原式=lim =11

(3)4

(1)2

limpmxapn pm(a) pn

原式 上下分解因式(或 1.6limcosx

x1解：原式x3x例1.7． 解：原式

2x1.8x1

x222x2解：原式

x(x

=

=x1(x1)(x x1x x3x3x6解：令u ，原式=6

u3 (u1)(u2u u1u2

ax22xx23x ax22x(a原式(x1)(x

(x1)(axa(x1)(x

2a2若limf(x)0g(x有界limf(x)g(x)

x xxx2

x2xxx2

＝０，而arccot(sin(x21＝例1.12． 2

tanx)cos(x解：因为ln(1tanx0（x0所以原式＝０．

2cos()2xx 例1.13． sin2006x

x解因为

xx

x1

11x1

1x

0

sin2006

＝０

lim(1u)u1lim(1u)vlim{(1u)u}uvelim1.14limx x

x13解：原式＝lim(

3)(3x2)＝lim

33

x

x

x1 lim ＝

e9x25x

21.15limx

2x

3x2(2 x22x3x22解：原式＝lim

3x

3x2x

x22x3 ＝

x22

11.16lim(1x2sinxx 1x2sin(x)1x解：原式=lim(1x2sinx)x2sinx x0 V等价无穷小替换替换：(xsinx~tanx~1cosx

1x2arctanx~n11n1nln(1x)~ex1~sinx1.17 x错解： x01.18

ln(12x)e212x2解：原式2 2

=-31312x2 arctanx21(2x2解：原式=lim =22x3x2x3x91.20x8ux8原式＝

＝162162u327u4311u131 18u1.1 ＝lim28u031. 31.21limtanxsin tan3tanx(1cos解：原式=

x1

1

1 1

ln(12x2 lim2 解：原式lim(1cosx1)cosx1x0

1x

2x3x2解：原式

1x2

x(3x2

2x13x2

x(2x1)(1x2

etanxesincos(x)sin(1x3cos(x)cos(x)sin(1x3cos(x)sin(1x3解：原式=

etanxsinx11x3

=

tanxsinx11x32题型VI法则（见导数相关内容VII变上限积分有关积分（见积分相关内容二、极限应用—连续性分limf(xf(x0f(x00f(x00f(x0,f(x00 sin

,x1.25f(x)tan(sin

f(xx0处连续，求alimf(x

a,x

1f(0a

a

x0tan(sin ax2sin1ln(12x)

x1.26fx

x1x

sin

x

f(xx0处连续，求ab )x

x1f(00lim(ax2sin1ln(1

sinalimx2sin1limln(12x) 1x

sinf(00)lim )1f(x)f(00f(00f(0得：-1b故b1ce4a g()sinx,x例1.27．f(x)

x1

g(xf(xx0解：因为limf(xlimg()sinx0f

f(xx01.28f(x

x

x1sinxsinxxf(10

f(x)

x

x

f(x)

limx1xx

x

x1xf(1f(x三、极限应用—间断识别及分类方法：（a）f(x00f(x00x0f(x00f(x00)x0f(x00)f(x00x0为第二类间断；特别地，若左右极限中至少有一为，则为第二类无穷间断。1.29f(x)

x(x)tanxxkk

，kZ2对于xk 2

kZ,

xk2

f(x)0xkx(x

2xkk0x0

tan

x0xkk1xlimx(x)xx(x

tan当k0,11.30fxx

tan

xk11f(xx1limf(xe1，x=01.31f(x)解：

(x3)(x1)(xx1x1x2limf(x)limf(x) 所以1,2f(x)2221.32f(x)

e2解：定义域为2x2，间断点为xx2

f(x)x2x2

f(x)1

2xe

x2

2x2,2xsin1.33f(x)

,x,x ee

,x

xkkZx2，x=0

2,f(0-0,x=0xkkZlimf(x)四、连续函数介值定f(x在闭区间abf(af(b0，则存在cab，使得f(c)0。

f(x)在ab至少有一零点

f(x)ab区间的选择，在证明题过程中，有明确的线索。验证f(x)在闭区间ab上的连续性，f(xf(xf

在a1.34xex2在0,1内有一实根f(x)xex2x0,1f(x在0,1f(02f(1)e20f(x0在0,1有实根，即命题得证。1.35x43x2x2至少有一正根f(x)x43x2x2x

f(0)f(1)0f(x在0,2内连续，且f(02f(24f(0f(2由闭区间连续函数介值定理得，f(x)在0,2至少有一根，即命题得证五、数列极nanbn