2013年高考文科数学分类解析(圆锥曲线)

PAGEPAGE62013年高考数学（文科）分类解析专题9：圆锥曲线一、选择题1．（2013年高考湖北卷（文））已知,则双曲线:与:的（）A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等【答案】【解析】本题考查双曲线的方程以及的计算。双曲线中，，所以，离心率为。中，，所以。所以两个双曲线有相同的焦距，选D.2．（2013年高考四川卷（文9））从椭圆上一点向轴作垂线,垂足恰为左焦点,是椭圆与轴正半轴的交点,是椭圆与轴正半轴的交点,且(是坐标原点),则该椭圆的离心率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知得，点在椭圆上，代入椭圆的方程，得，因为AB∥OP，所以，，，所以，，选C.3．（2013年高考课标Ⅱ卷（文10））设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点。若，则的方程为（）（A）或（B）或（C）或（D）或【答案】C【解析】抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则因为|AF|=3|BF|，所以x1+1=3（x2+1），所以x1=3x2+2。因为|y1|=3|y2|，x1=9x2，所以x1=3，x2=，当x1=3时，，所以此时，若，则,此时,此时直线方程为。若，则,此时,此时直线方程为。所以的方程是或，选C.4．（2013年高考课标Ⅰ卷（文8））为坐标原点,为抛物线的焦点,为上一点,若,则的面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】抛物线的焦点,准线方程为。因为，所以，即，所以,即。所以的面积为，选C.【规律总结】与抛物线有关的试题，更多的是考查抛物线的定义，利用到焦点的距离和到准线的距离相等，实现转化。5．（2013年高考课标Ⅰ卷（文4））已知双曲线的离心率为,则的渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】双曲线的离心率为，即，所以。即，所以，即，所以。所以双曲线的渐近线为，选C.6．（2013年高考福建卷（文））双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（）A． B． C．1 D．关于轴对称，因为直线,所成的角为。所以直线的倾斜角为或，即斜率为或，要使直线与双曲线相交，则双曲线渐近线的斜率，当时，，所以，，即，所以。当时，有，即，所以，即，即，所以综上，即双曲线离心率的范围时，选A.13．（2013年高考大纲卷（文12））已知抛物线与点,过的焦点且斜率为的直线与交于两点,若,则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】的焦点为(2,0)，所以，所以，即，，.又设，，，，即，所以，，解得，故选D.14．（2013年高考北京卷（文7））双曲线的离心率大于的充分必要条件是 （）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，则.15．（2013年上海高考数学试题（文科18））记椭圆围成的区域(含边界)为,当点分别在上时,的最大值分别是,则（）A．0 B． C．2 D．【答案】D【解析】选D16．（2013年高考江西卷（文9））已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|=（）A．2:5 B．1:2 C．1:5 D【答案】C【解析】本题考查抛物线的定义及应用。抛物线的焦点坐标为，准线方程为，过点M，做准线的垂线，交准线于B。则，所以设射线的倾斜角为，则，即，所以，所以|FM|：|MN|，选C。17．（2013年高考山东卷（文11））抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点M,若在点M处的切线平行于的一条渐近线,则= （）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题设知：抛物线的焦点F，双曲线的焦点F2(2,0)，所以直线FF2：.由得，即，双曲线C2的渐近线方程为，又由得，解得，所以，故.18．（2013年高考浙江卷（文9））如图F1.F2是椭圆C1:eq\f(x2,4)+y2=1与双曲线C2的公共焦点（）A．B分别是C1.C2在第二.四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是（第9题图） （）（第9题图）A．eq\r(,2) B．eq\r(,3) C．eq\f(3,2) D．eq\f(eq\r(,6),2)【答案】 D．【解析】由已知得设双曲线实半轴为，由椭圆及双曲线的定义和已知得到,解得，。所以双曲线的离心率为，所以选D二、填空题19．（2013年高考湖南（文14））设F1,F2是双曲线C,(a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P.使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为___________.【答案】【解析】本题考查双曲线的方程和性质。不妨设点P位于双曲线的右支上,因为，PF1⊥PF2，所以。由双曲线的定义可知，，即，所以，即C的离心率为。20．（2013年高考卷（文11））双曲线的离心率为________.【答案】【解析】21．（2013年高考辽宁卷（文15））已知为双曲线的左焦点,为上的点,若的长等于虚轴长的2倍,点在线段上,则的周长为____________.【答案】44【解析】两式相加，所以并利用双曲线的定义得，所以周长为.22．（2013年上海高考数学试题（文科12））设是椭圆的长轴,点在上,且.若,,则的两个焦点之间的距离为_______.【答案】【解析】，代入椭圆的标准方程得。23．（2013年高考北京卷（文9））若抛物线的焦点坐标为(1,0)则=____;准线方程为_____.【答案】2,【解析】由题意，则.24．（2013年高考福建卷（文））椭圆的左、右焦点分别为,焦距为.若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于__________【答案】【解析】本题考查的是圆锥曲线的离心率．由题意可知，中，，所以有，整理得，故答案为．25．（2013年高考天津卷（文11））已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为______.【答案】【解析】抛物线的准线方程为，因为双曲线的一个焦点在准线上，所以，即，且双曲线的焦点在轴上。又双曲线的离心率为2，即，解得，所以，所以双曲线的方程为。三、解答题26．（2013年高考浙江卷（文））已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1)(Ⅰ)求抛物线C的方程;(Ⅱ)过点F作直线交抛物线C于A.B两点.若直线AO.BO分别交直线l:y=x-2于M.N两点,求|MN|的最小值.【答案】解:(Ⅰ)由已知可得抛物线的方程为:,且,所以抛物线方程是:;(Ⅱ)设,所以所以的方程是:,由,同理由所以①设,由,且,代入①得到:,设,① 当时,所以此时的最小值是;② 当时,,所以此时的最小值是,此时,;综上所述:的最小值是;27．（2013年高考山东卷（文））在平面直角坐标系中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在轴上,短轴长为2,离心率为(I)求椭圆C的方程(II)A,B为椭圆C上满足的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C与点P,设,求实数的值.【答案】将代入椭圆方程,得28．（2013年高考广东卷（文））已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.(1)求抛物线的方程;(2)当点为直线上的定点时,求直线的方程;(3)当点在直线上移动时,求的最小值.【答案】(1)依题意,解得(负根舍去)抛物线的方程为;(2)设点,,,由,即得.∴抛物线在点处的切线的方程为,即.∵,∴.∵点在切线上,∴.①同理,.②综合①、②得,点的坐标都满足方程.∵经过两点的直线是唯一的,∴直线的方程为,即;(3)由抛物线的定义可知,所以联立,消去得,当时,取得最小值为29．（2013年上海高考数学试题（文科））本题共有3个小题.第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分. 如图,已知双曲线:,曲线:.是平面内一点,若存在过点的直线与、都有公共点,则称为“型点”.(1)在正确证明的左焦点是“型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“型点;(3)求证:圆内的点都不是“型点”.【答案】30．（2013年高考福建卷（文））如图,在抛物线的焦点为,准线与轴的交点为.点在抛物线上,以为圆心为半径作圆,设圆与准线的交于不同的两点.(1)若点的纵坐标为2,求;(2)若,求圆的半径.【答案】解:(Ⅰ)抛物线的准线的方程为,由点的纵坐标为,得点的坐标为所以点到准线的距离,又.所以.(Ⅱ)设,则圆的方程为,即.由,得设,,则:由,得所以,解得,此时所以圆心的坐标为或从而,,即圆的半径为31．（2013年高考北京卷（文））直线():相交于,两点,是坐标原点(1)当点的坐标为,且四边形为菱形时,求的长.(2)当点在上且不是的顶点时,证明四边形不可能为菱形.【答案】解:(I)因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.所以可设,代入椭圆方程得,即.所以|AC|=.(II)假设四边形OABC为菱形.因为点B不是的顶点,且AC⊥OB,所以.由,消去并整理得.设A,C,则,.所以AC的中点为M(,).因为M为AC和OB的交点,且,,所以直线OB的斜率为.因为,所以AC与OB不垂直.所以OABC不是菱形,与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.32．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知圆,圆,动圆与圆外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线交于,两点,当圆的半径最长是,求.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.【答案】解:由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径;圆N的圆心为N(1,0),半径.设知P的圆心为P(x,y),半径为R.(I) 因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以.有椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左.右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左定点除外),其方程为.(II) 对于曲线C上任意一点,由于,所以R2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2,所以当圆P的半径最长时,其方程为;若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得.若l的倾斜角不为90°,则知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l于圆M相切得,解得k=±.当k=时,将y=x+代入,并整理得,解得.当k=.综上,.33．（2013年高考陕西卷（文））已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.(Ⅰ)求动点M的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点.若A是PB的中点,求直线m的斜率.【答案】解:(Ⅰ)点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍,则.所以,动点M的轨迹为椭圆,方程为(Ⅱ)P(0,3),设椭圆经检验直线m不经过这2点,即直线m斜率k存在..联立椭圆和直线方程,整理得:所以,直线m的斜率34．（2013年高考大纲卷（文））已知双曲线离心率为直线(I)求;(II)证明:成等比数列【答案】(Ⅰ)由题设知,即,故.所以C的方程为.将y=2代入上式,求得,.由题设知,,解得,.所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,C的方程为.①由题意可设的方程为,,代入①并化简得,.设,,则,,,.于是,由得,,即.故,解得,从而.由于,,故,.因而,所以、、成等比数列.35．（2013年高考天津卷（文））设椭圆的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设A,B分别为椭圆的左右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若,求k的值.【答案】36．（2013年高考辽宁卷（文））如图,抛物线,点在抛物线上,过作的切线,切点为(为原点时,重合于),切线的斜率为.(I)求的值;(II)当在上运动时,求线段中点的轨迹方程.【答案】37．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为。（Ⅰ）求圆心的轨迹方程；（Ⅱ）若点到直线的距离为，求圆的方程。【答案】38．（2013年高考湖北卷（文））如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别为,,过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记,△和△的面积分别为和.(Ⅰ)当直线与轴重合时,若,求的值;(Ⅱ)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得?并说明理由.第22题图第22题图2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷【答案】依题意可设椭圆和的方程分别为:,:.其中,(Ⅰ)解法1:如图1,若直线与轴重合,即直线的方程为,则,,所以.在C1和C2的方程中分别令,可得,,,于是.若,则,化简得.由,可解得.故当直线与轴重合时,若,则.解法2:如图1,若直线与轴重合,则,;,.所以.若,则,化简得.由,可解得.故当直线与轴重合时,若,则.第22题解答图1第22题解答图2第22题解答图1第22题解答图2(Ⅱ)解法1:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得.根据对称性,不妨设直线:,点,到直线的距离分别为,,则因为,,所以.又,,所以,即.由对称性可知,所以,,于是.①将的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得,.根据对称性可知,,于是.②从而由①和②式可得.③令,则由,可得,于是由③可解得.因为,所以.于是③式关于有解,当且仅当,等价于.由,可解得,即,由,解得,所以当时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得;当时,存在与坐标轴不重合的直线l使得.解法2:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得.根据对称性,不妨设直线:,点,到直线的距离分别为,,则因为,,所以.又,,所以.因为,所以.由点,分别在C1,C2上,可得,,两式相减可得,依题意,所以.所以由上式解得.因为,所以由,可解得.从而,解得,所以当时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得;当时,存在与坐标轴不重合的直线l使得.39．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)如题(21)图,椭圆的中心为原点,长轴在轴上,离心率,过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点,.(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;zhangwlx(Ⅱ)取平行于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、,过、作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外.