2013年课标版模拟试卷(1)理科数学试题

PAGE第6页共8页2013年课标版模拟试卷（1）理科数学试题本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷和答题卡交回．参考公式：①柱体的体积公式，其中为柱体的底面积，为柱体的高．②锥体的体积公式，其中为柱体的底面积，为锥体的高．③标准差，其中为样本的平均数．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设为虚数单位，则复数等于A．B．C．D．2．命题，则是A．B．22131正视图侧视图俯视图第4题图C22131正视图侧视图俯视图第4题图3．已知，，，若，则A．B．C．D．4．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．9B．10C．11D．第5题图5．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是，，则下列说法正确的是第5题图A．，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛B．，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛C．，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛D．，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛6．已知实数满足，则目标函数的最大值为A．B．C．D．7．已知集合，,且,则A．B．C．D．8．对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在内是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”．若函数存在“和谐区间”，则的取值范围是A．B．C．D．二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一)必做题(9～13题)9．已知函数是奇函数，当时，=，则的值等于．10．已知抛物线上一点P到焦点的距离是，则点P的横坐标是_____．11．函数的最小正周期为，最大值是．12．某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得等级的概率分别为、、，且三门课程的成绩是否取得等级相互独立.记为该生取得等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望的值为______________.13．观察下列不等式：①；②；③；…则第个不等式为．(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)第15题图FABCDEMl14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线过点且与直线（）垂直，则直线第15题图FABCDEMl15．（几何证明选讲）如图，是平行四边形的边的中点，直线过点分别交于点．若，则．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）（2）方法一、由（1）得，∵，∴，9分在中，由正弦定理得：，第16题图CBDAH∴，第16题图CBDAH则高．12分方法二、如图，作边上的高为在直角△中，由（1）可得，则不妨设则8分注意到，则为等腰直角三角形，所以，则10分所以，即12分17．（本题满分12分）解析：（1）当，时，2分又，也满足上式，所以数列{}的通项公式为．3分，设公差为，则由成等比数列，得，4分解得（舍去）或，5分所以数列的通项公式为．6分（2）由（1）可得，7分，8分两式式相减得，11分，12分18．（本题满分14分）PABDCO解析：（Ⅰ）法1：连接，由知，点为PABDCO又∵为圆的直径，∴，由知，，∴为等边三角形，从而．3分∵点在圆所在平面上的正投影为点，∴平面，又平面，∴，5分由得，平面，又平面，∴．6分（注：证明平面时，也可以由平面平面得到，酌情给分．）法2：∵为圆的直径，∴，在中设，由，得，，，，∴，则，∴，即．3分∵点在圆所在平面上的正投影为点，∴平面，又平面，∴，5分由得，平面，又平面，∴．6分法3：∵为圆的直径，∴，在中由得，，设，由得，，，由余弦定理得，，∴，即．3分∵点在圆所在平面上的正投影为点，∴平面，又平面，∴，5分由得，平面，又平面，∴．6分PABDCOE（Ⅱ）法1：（综合法）过点作，垂足为，连接．PABDCOE由（1）知平面，又平面，∴，又，∴平面，又平面，∴，9分∴为二面角的平面角．10分由（Ⅰ）可知，，（注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度，酌情给分．）∴，则，∴在中，，∴，即二面角的余弦值为．14分法2：（坐标法）以为原点，、和的方向分别为轴、轴和轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系．8分（注：如果第（Ⅰ）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明，酌情给分．）设，由，得，，，∴，，，，∴，，，由平面，知平面的一个法向量为．10分PABDCOPABDCOyzx，即，令，则，，∴，12分设二面角的平面角的大小为，则，13分∴二面角的余弦值为．14分19．（本题满分14分）解析：（Ⅰ）由题意可得：，2分因为时，，所以.4分解得.5分（Ⅱ）当时，，所以．8分当且仅当，即时取得等号．10分当时，．12分所以当时，取得最大值．所以当日产量为吨时，每日的利润可以达到最大值万元．14分20．（本题满分14分）解析：（1）由题意可得，，∴，2分∴，所以椭圆的方程为．4分（2）设，，由题意得，即，6分又，代入得，即．即动点的轨迹的方程为．8分（3）设，点的坐标为，∵三点共线，∴，而，，则，∴，∴点的坐标为，点的坐标为，10分∴直线的斜率为，而，∴，∴，12分∴直线的方程为，化简得，∴圆心到直线的距离，所以直线与圆相切．14分21．（本题满分14分）解析：（1）∵，1分由得，，∴，即，解得，3分故当时，；当时，；∴当时，取极大值，但没有极小值．4分（2）∵，又当时，令，则，故，因此原不等式化为，即，6分