安徽省阜阳市太和中学2021-2022学年高一下学期竞赛考试数学试题

太和中学2021-2022学年高一下学期数学竞赛试卷（时间：120分钟分数：150分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在中，已知，则（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】直接利用余弦定理即可求得.【详解】在中，已知，即为，由余弦定理得：,解得：（边长大于0，所以舍去）即.故选：C2.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定的函数，直接列出不等式组求解作答.【详解】函数有意义，则有，解得且，所以函数的定义域为.故选：B3.已知向量且，则m＝（）A.－5 B.－3 C.3 D.5【答案】A【解析】【分析】根据向量的线性坐标运算求得向量，再由向量垂直的坐标表示建立方程，求解即可.【详解】解：由题意得.又，∴，解得m＝－5.故选：A.4.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝，则△ABM与△ABC的面积之比为（）A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶5【答案】B【解析】【分析】由平面向量的加法结合已知可得M为AD的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得.【详解】如图，D为BC边的中点，则因为－－＝所以，所以所以.故选：B5.函数（且）与函数在同一坐标系内的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分，两种情况进行讨论，结合指数函数的单调性和抛物线的开口方向和对称轴选出正确答案.【详解】解：当时，为增函数，开口向上，对称轴，排除B,D；当时，为减函数，开口向下，对称轴，排除A,故选:C.【点睛】思路点睛：函数图象辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6.已知，则与的夹角为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量的数量积计算运算律即可计算.【详解】，，，.故选：C.7.已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，根据与的夹角为120°，得到，再根据，得到的终点在直线AB上求解.【详解】设，如图所示：则，因为与的夹角为120°，所以，因为，且起点相同，所以其终点共线，即在直线AB上，所以当时，最小，最小值为，无最大值，所以的取值范围为，故选；A8.在锐角中，分别为角的对边，已知，则的面积S的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件求出，利用三角形面积公式得到，采用极端值方法求出的最值，进而得到的范围，求出面积的取值范围.【详解】，因为为锐角三角形，故，，当BC⊥AB时，，当CB⊥AC时，，故，所以.故选：C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.已知，，且，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】A．根据进行判断；B．根据进行判断；C．对赋值进行判断；D．取进行判断.【详解】A．因为，所以，故正确；B．因为，所以，故正确；C．当时，此时，所以，故错误；D．当时，此时，故错误，故选：AB.10.已知函数，则（）A.值域为 B.的单调递增区间为C.的单调递减区间 D.是奇函数【答案】AC【解析】【分析】由求出定义域，由二次函数的图象和性质依次判断即可得出结果.【详解】，由可知定义域为，可知定义域不关于原点对称，不是奇函数，由二次函数的单调性可知，的单调递减区间，单调递增区间为，值域为值域为.故选：AC.【点睛】本题考查二次函数的性质，考查学生对概念的理解，及数形结合的能力，属于基础题.11.下列命题中正确的是（

）A.非零向量满足，则与的夹角为B.已知非零向量，若，则的夹角为锐角C.若是所在平面上的一点，且满足，则为等腰三角形D.在中，若点满足，则为的垂心【答案】ACD【解析】【分析】对于A，根据向量的加法与减法法则，易判断是等边三角形即可求解；对于B，根据向量的数量积定义即可求解；对于C，根据向量的数量积判断得，又根据E为AB中点，即可判断；对于D，根据题意，结合向量的运算得，，即可判断.【详解】对于A，如图，作，则，又，则由题意知是等边三角形，则可设与的夹角为，所以A正确；对于B，设与的夹角为，则由得，又因为，所以，所以B错误；对于C，如图，取AB中点为E，连接CE，因为，所以CE⊥BA，又E为AB中点，所以CA=CB，故三角形ABC的形状一定是等腰三角形，所以C正确；对于D，由同理可得，所以P为的垂心，故D正确.故选ACD.12.对于给定的，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.若三点共线，则存在实数使【答案】AD【解析】【分析】直接利用三角形的内心，外心，垂心，重心的相关关系，向量的线性运算的应用判断A、B、C、D的结论．【详解】解：对于A：给定的，其外心为，所以，故A正确；对于B：由于点为给定的的重心，故，故B错误；对于C：点为给定的的垂心，所以，因为重心为G，则有，，所以，若，则点H为重心，与题意矛盾，因为故C错误；对于D：由于点在的平分线上，所以为单位向量，所以在的平分线上，所以存在实数使，故D正确．故选：AD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13._________．【答案】0【解析】【分析】利用指数和对数运算求解.【详解】，，.故答案为：014.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为________（用坐标表示）．【答案】【解析】【分析】先计算两个向量的夹角的余弦值，再计算向量在向量上的投影向量.【详解】因为，，则，所以向量在向量上的投影向量为.故答案为：15.已知曲线(且)过定点，若，且，，则的最小值为_________，此时________.【答案】①.②.【解析】【分析】由指数函数图象所过定点求出，利用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式得出最小值．【详解】令，，则，∴定点为，，，当且仅当时等号成立，即时取得最小值.故答案为：；【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16.已知向量，，满足，，，则的最大值是______________.【答案】【解析】【分析】设，，，根据已知条件可得，，整理可得，求得的范围即可求解.【详解】设，，，，，，则，，整理得：，所以，则，解得：，所以，故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合或，.（1）若，求，（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意和交集、并集运算求出，；（2）若，则集合为集合的子集，对集合讨论即可得到答案.【详解】（1）若，则，所以，或（2）若，则集合为集合的子集，当时，即，解得；当时，即，解得，又或，由，则或，解得或.综上所述：实数的取值范围为.【点睛】本题考查交集，并集的运算，集合与集合的包含关系，属于基础题.18.已知，且．(1)确定角的象限并求，，的值；(2)求的值．【答案】（1）为第四象限角，，（2）【解析】【分析】(1)根据正余弦的正负分析象限,再根据同角三角函数的关系化简求解即可.(2)利用诱导公式化简后再代入数值计算即可.【详解】(1)因为,可知角为第四象限角,.又(2)原式.【点睛】本题主要考查了诱导公式与同角三角函数的化简求值,属于基础题型.19.如图，在一次定向越野中，一名学员离开出发点S后沿南偏东60°方向走了15km到达A点，即第一个检查点，从A点他又沿南偏西60°方向走了9km到第二个检查点（B点）．从B，点他直接返回S点，试描述这名学员从B点到S点的位移（，）．【答案】这名学员从B点沿北偏西方向走了km到达点.【解析】【分析】结合已知条件，利用余弦定理求出和，进而求出和点在点北偏西的角度值.【详解】由题意易知，，，，由余弦定理可知，，即，从而，故，由题意可知，点在点的东偏北处，不妨设点在点北偏西处，则，故这名学员从B点沿北偏西方向走了km到达点.20.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若，求△ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，利用三角恒等变换，即可求得答案；（2）利用余弦定理结合条件求出边长a，c，再利用三角形面积公式求得答案.【小问1详解】∵,∴,即2sinAcosB+sin（B+C）＝0，即，,;【小问2详解】由b＝，a+c＝4，可得，即12＝16﹣2ac+ac，则ac＝4，又a+c＝4，∴a＝c＝2，则△ABC的面积．21.如图所示，中，，，为的中点，为上的一点，且，的延长线与的交点为.（1）用向量，表示；（2）用向量，表示，并求出和的值.【答案】（1）（2），7，6【解析】【分析】（1）由已知得，，为的中点，可得答案；（2）设，得，设，可得，即，由，不共线和平面向量基本定理求得、，可得答案【小问1详解】根据题意因为：，所以，所以，为的中点，，，所以，.【小问2详解】因为，，三点共线，设，所以，即，，，三点共线，设，由（1）可知，即，，不共线，由平面向量基本定理，所以，所以，，所以，，则的值为7，的值为6.22.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，分别是角的对边，，若为上一点，且满足____________，求的面积.请从①；②为的中线，且；③为的角平分线，且.这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】（1），