2023届山东省聊城市高三第三次学业质量联合检测数学试题

2023届山东省高三第三次学业质量联合检测数学本试卷4页．总分150分．考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．若在复数范围内分解为，则在复数平面内，复数对应的点位于（）A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限3．已知a，b均为不等于0的实数，则“”是“，”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知等差数列的前n项和为，且，，则是中的（）A．第30项 B．第36项 C．第48项 D．第60项5．我国古代数学家赵爽所使用的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如图①，是一个“勾股圆方图”，设，，；在正方形EFGH中再作四个全等的直角三角形和一个小正方形IJKL，且，如图②．若，且，则（）A． B． C． D．6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，A为C上位于第一象限的一点，与y轴交于点B．若，则C的离心率为（）A． B． C． D．7．已知是上的偶函数，且当时，．若，则（）A． B． C． D．8．在三棱锥P-ABC中，，，，二面角P-AB-C的大小为．若三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，则当三棱锥P-ABC的体积最大时，球O的体积为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知a，b，c是两两异面的三条直线，，，直线d满足，，，，则c与d的位置关系可以是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直10．某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设M=“该家庭中有男孩、又有女孩”，N=“该家庭中最多有一个女孩”，则下列结论正确的是（）A．若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥B．若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立 C．若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥D．若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立11．已知函数在区间上有四个零点，分别为，，，，且，则（）A． B． C． D．12．对于两个均不等于1的正数m和n，定义：，则下列结论正确的是（）A．若，且，则B．若，且，则C．若，则D．若，，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若是函数图象上的一点，则是函数（，，）图象上的相应的点，那么______．14．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值，经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为______．（用百分数作答，精确到0.1%）参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．15．若曲线上恰有四个不同的点到直线及点的距离都相等，则实数a的一个值可以是______．16．已知函数，则的最小值是______；若关于x的方程有3个实数解，则实数a的取值范围是______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．17．（10分）已知在数列中，，，且对任意的，，，成公比为的等比数列．（1）在中是否存在连续的三项成等差数列？若存在，请找出来；若不存在，请说明理由；（2）令，求数列的前n项和．18．（12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．（1）求A；（2）设，D为边BC上一点，且，求AD．参考数据：，．19．（12分）如图，在三棱柱中，D是的中点，E是CD的中点，点F在上，且．（1）证明：平面；（2）若平面ABC，，，求平面DEF与平面夹角的余弦值．20．（12分）某药厂研制了治疗某种疾病的新药，该药的治愈率为p，现用该药给10位病人治疗，记被治愈的人数为X．（1）若，从这10人中随机选2人进行用药访谈，求被选中的治愈人数Y的分布列；（2）已知，集合{概率最大}，且A中仅有两个元素，求．21．（12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点．（1）求C的方程；（2）不垂直于坐标轴的直线l交C于M，N两点，交x轴于点A，线段MN的垂直平分线交x轴于点D，若，证明：直线l过四个定点（-3，0），（-1，0），（1，0），（3，0）中的一个．22．（12分）已知函数．（1）证明：当时，；当时，；（2）若关于x的方程有两解，，证明：（i）；（ii）．参考答案一、选择题1．C2．B3．B4．A5．B6．A7．C8．D二、选择题9．BC10．BCD11．AC12．BC三、填空题13．014．97.7%15．（填写区间内的任一实数均得5分）16．四、解答题17．解：（1）存在，，成等差数列．下面说明：当时，，，成公比为2的等比数列，则，，从而；当时，，，成公比为的等比数列，则，从而，于是，故，，成等差数列．注意：连续三项，成等差数列，故只需要找出这样的三项均符合题意．（2）由题意，对任意的，得，即．当时，得；当时，，适合上式，所以，则，所以．18．解：（1）因为，所以．由正弦定理，得．又，所以．因为，所以，所以，即．又，所以．（2）法一：由题意，得，结合，，解得．在中，由正弦定理，得，则，．从而．法二：由题意，得．又，所以．在中，由正弦定理，得，则．在中，由正弦定理，得，则．由，得，解得．19．（1）证明：法一：如图，取AD的中点G，连接GE，GF，由D是的中点，得．因为，所以，从而．又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC．因为G，E分别为AD，CD的中点，所以．又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC．又，GE，平面GEF，所以平面平面ABC．因为平面GEF，所以平面ABC．法二：由D是的中点，E是CD的中点，得；由点F在上，且，得，所以，所以向量，，共面．又平面ABC，AB，平面ABC，所以平面ABC．注意：若以A为坐标原点，分别以AC、所在直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系，不给分．（2）解：如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，从而，，．设平面DEF的法向量为，则即取，则，，得平面DEF的一个法向量为；设平面的法向量为，则即取，则，，得平面的一个法向量为，则，故平面DEF与平面夹角的余弦值为．20．解：（1）由题意知，Y的所有可能取值为0，1，2，则，，，所以Y的分布列为Y012P（2）由题意，．由得解得．因为A为双元素集合，且，所以．因为，所以．因为为正整数，所以，即．由题意，，因此．21．（1）解：设C的焦距为2c，则，即，，．由双曲线的定义，得，即，所以．故C的方程为．（2）证明：设，，，直线l的方程为．联立整理得，由题意，得即则，，．设MN的中点为，则，所以线段MN的垂直平分线的方程为，令，得，即，所以．由题意，得，即，从而．当，即时，解得或；当，即时，解得或，所以直线l的方程为，或，或，或．故直线l过四个定点（-3，0），（-1，0），（1，0），（3，0）中的一个．证明：（1）设，则，所以是增函数，且，当时，，即；当时，，即．综上，当时，；当时，．（2）（i）由题意，得，，则，．令，则，．因为，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以是的极小值点，也是最