2023届江苏省高三上学期起航调研测试（Ⅱ）数学试题

2023届江苏省高三上学期起航调研测试（Ⅱ）数学试题一、单选题1．已知命题，，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解出、中的不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】由可得，解得，即，由可得，即，，所以，是的充分不必要条件，故选：A.2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出A，再根据交集的定义计算即可.【详解】由题意，；故选：D.3．已知，，则（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】根据数量积的计算以及模长公式即可求解，由模长公式可求解.【详解】记，的夹角为，由以及得，即，所以，或（舍去），所以，所以.故选：C4．已知抛物线在点处的切线与双曲线的一条渐近线平行，则C的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】先求得在点处的切线的斜率，进而得到双曲线的一条渐近线的斜率求解.【详解】解：因为，所以时，，则，所以在点处的切线的斜率为，即双曲线的一条渐近线的斜率为，所以曲线C的离心率为，故选：C5．设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据三角恒等变换求的值，再利用作差法比较的大小.【详解】，，∵，则，又∵，则，则，即∴故选：C.6．在空间直角坐标系中，已知圆在平面内，．若的面积为，以为顶点，圆为底面的几何体的体积为，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求的面积为，利用点到直线的距离和勾股定理求得高，然后求的面积，根据高为的坐标，利用公式求出体积.含有参数,求分母最小值，则整体最大值.【详解】因为圆的方程，所以.故，到平面的投影为，过作垂线交与点,故是的高，，所以到直线的距离为，，故，所以.因为圆的底面半径为，所以圆底面积，又，所以.，当时，取得最小值为，故.故选：B.7．已知公差为的等差数列的前项和为，且，，且，则（

）A．6 B． C．11 D．【答案】B【分析】先由等差数列的通项公式与求和公式结合题意可得，再由组合数的性质结合分组求和法与裂项相消法求解即可【详解】因为公差为的等差数列满足，所以，所以，，又所以，即，，，所以.故选：B8．定义在上的函数的值域为，且.若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据正余弦的关系可得，通过赋值法即可逐一求解.【详解】由，所以，因为，所以令，则，，又，取得，，则，取得取得，所以，所以，故选：C二、多选题9．已知R，复数，，则（

）A．，B．若，时，C．若，，，则D．若，则【答案】BC【分析】利用复数的乘方，可得纯虚数的乘方，易知模长的表示，根据指数的运算，可得答案.【详解】，同理，对于A，，同理，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，由，则，即，因，则，故C正确；对于D，由，则，即，，故D错误.故选：BC10．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心为E，且圆E是正方形ABCD的内切圆.F为圆E上一点，G为棱BB1上一点（不可与B，B1重合），H为棱A1B1的中点，则（

）A．|HF|∈[2,] B．△B1EG面积的取值范围为(0,]C．EH和FG是异面直线 D．EG和FH可能是共面直线【答案】AD【分析】根据正方体的性质，结合点、线、面的位置关系，求最值，判断直线EH、EG和FG的位置关系，由面积公式判断△B1EG面积的范围.【详解】A：当为中点时，最小为2，当为中点时，最大为，正确；B：由，错误；C：由图，当在圆上运动过程中，定直线EH和FG可能相交，故不一定为异面直线，错误；D：由题设知面，而在圆上运动过程中FH和面可能相交，故EG和FH可能相交，则EG和FH可能是共面直线，正确.故选：AD11．设，．若，则称序列是长度为n的0—1序列．若，，则（

）A．长度为n的0—1序列共有个 B．若数列是等差数列，则C．若数列是等差数列，则 D．数列可能是等比数列【答案】AC【分析】A选项，可根据分步乘法计数原理求出；B选项，根据等差数列定义得到为定值，分与两种情况讨论求出答案；C选项，根据数列是等差数列，推导出；D选项，假设数列是等比数列，推出矛盾.【详解】由分步乘法计数原理可知：选0或1，均有2种选择，故共有个，A正确；因为数列是等差数列，所以为定值，当，则，则，当，则，则，B错误；若数列是等差数列，则为定值，只有能满足要求，故，C正确；若数列是等比数列，则为定值，且，因为，所以，，所以，若，则，所以，舍去；若，，，其中，解得：，，其中，解得：，故不是定值，数列不可能是等比数列，D错误.故选：AC12．某企业于近期推出了一款盲盒，且该款盲盒分为隐藏款和普通款两种，其中隐藏款的成本为50元/件，普通款为10元/件，且企业对这款盲盒的零售定价为X为检验结束时所进行的检验次数，则（

）A．B．D．若这款盲盒最终全部售出，为确保企业能获利，则【答案】ABD【分析】根据抽样方式可计算概率，判断A,C,根据概率计算可得分布列，进而得期望，用错位相减法求期望即可判断B，根据成本计算可求解D.【详解】解：对于A，记检测到隐藏款的概率为，则，故正确；对于B，由题意得的分布列为且；记,则，两式相减得，所以，故正确对于C，没有抽到隐藏品的概率为，他抽到隐藏款的概率为，故错误，对于D，设总共有件盲盒，则成本为元，则定价才能保证获利，故正确故选：ABD三、填空题13．在平行四边形ABCD中，＝6，＝5，则＝____________.【答案】【分析】由、，结合向量数量积的运算律求得，即可得答案.【详解】由题设，则，所以，而，则，则，故.故答案为：14．已知函数，的定义域为，，且是奇函数，则符合条件的可以是____________.【答案】【分析】设，，再根据函数的性质列方程组即可求解.【详解】设，则是奇函数，，则，所以则，.故,故答案为：15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，则A＝____________.【答案】【分析】先利用边角变换得到，再由与代入化简得到，再根据，求得，即.【详解】由正弦定理得，可化为，又因为，所以，，又，所以，所以，即，即，所以，即，因为，所以，故，故.故答案为：.四、解答题16．在中，角，，的对边分别为，，.已知，且.(1)证明：；(2)若的外接圆半径为，求的面积.【答案】(1)证明见解析(2)或【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再根据完全平方公式计算可得；（2）依题意可得，由正弦定理求出，分和两种情况讨论，当利用余弦定理求出、，再根据三角形面积公式计算可得；【详解】(1)解：因为，由正弦定理可得，即，所以，所以或，所以或，若，又，则，不满足，故舍去，所以；(2)解：因为且，所以，即，又的外接圆半径，由正弦定理，即，因为，所以或，若又，由余弦定理，即，解得或（舍去），所以，所以若又，由余弦定理，即，解得或（舍去），所以，所以所以的面积为或.17．已知数列的前n项积为，且满足a1＝1，.(1)求的通项公式；(2)若数列满足，证明：＝.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）证得数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即可求出结果；（2）利用组合数的计算公式以及二项式系数即可证出结论.【详解】(1)因为，则，所以，显然，所以，即，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，(2)由（1）知，，因此，由于，所以故.18．某网络电视剧已开播一段时间，其每日播放量有如下统计表：开播天数x（单位：天）12345当天播放量y（单位：百万次）335910(1)请用线性回归模型拟合y与x的关系，并用相关系数加以说明；(2)假设开播后的两周内（除前5天），当天播放量y与开播天数x服从（1）中的线性关系.若每百万播放量可为制作方带来0.7万元的收益，且每开播一天需支出1万元的广告费，估计制作方在该剧开播两周内获得的利润.参考公式：，，.参考数据：xiyi＝110，＝55，＝224，≈10.5.注：①一般地，相关系数r的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱.②利润＝收益－广告费.【答案】(1)线性回归方程为，每日的播放量和开播天数线性相关性较强；(2)133万元.【分析】（1）利用最小二乘法原理求出线性回归方程，再利用相关系数判断相关性的强弱；（2）利用利润公式直接求解.【详解】（1）解：由题得.所以.所以.所以线性回归方程为.相关系数，所以每日的播放量和开播天数线性相关性较强.（2）解：设利润为，则所以估计制作方在该剧开播两周内获得的利润为万元..答：估计制作方在该剧开播两周内获得的利润为万元..19．已知平面α和平面β是空间中距离为2的两平行平面，球面M与平面α、平面β的交线分别为圆A、圆B．(1)若平面γ与平面α、平面β的交线分别为，，证明：；(2)若球面M的半径为2，求以圆A为上底面，圆B为下底面的几何体AB的体积的最大值．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）由面面平行的性质定理可证；（2）设，由几何关系可表示出，，根据圆台体积公式结合均值不等式讨论最大值即可【详解】(1)∵，平面γ与平面α、平面β的交线分别为，，则由面面平行的性质定理得；(2)∵，几何体AB为圆台或圆柱.如图所示，C、D分别为圆A、圆B上的点，则，平面α、平面β，又∵，∴，则过M，，设，则，，则当时，等号成立，同时取得最大值为.故几何体AB的体积的最大值为.20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线．，为C上两点，且，分别在第一、四象限．直线与x正半轴交于，与y负半轴交于．(1)若，求横坐标的取值范围；(2)记的重心为G，直线，的斜率分别为，，且．若，证明：λ为定值．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意可知从而可得，又，从而可得结果；（2）求出直线，的斜率，结合，可得，结合长度关系可得结果.【详解】(1)设，∵，∴，即，∴，直线的方程为：，整理可得，，令，则，即横坐标的取值范围；(2)的重心为，，∴，又，且，∴，化简得，，∵，∴，.即，所以λ为定值．21．已知函数，其中.(1)若，，且没有零点，求的最小值；(2)若，，求的零点个数.【答案】(1)1(2)只有1个零点.【分析】（1）求导，利用导数证明，进而可得的单调性，由即可确定，（2）构造函数，通过反复求导，确定单调性，即可求解.【详解】(1)设，，令，解得，，所以，即，，当时，，即在上为增函数，所以，当时，，，所以，且，所以当时，符合条件，且，，所以的最小值为1；(2)，设，，记则，记在中，，所以恒成立，即在上为增函数，且，设，，令，解得，，所以，即，则，所以存在，使得，所以在上为减函数，在上为增函数，且，且，设，，所以在上为减函数，且，设，，，令，，所以在上为增函数，在上为减函数，所以，则，，所以，即，在上为增函数，又，所以在上为增函数，且，，所以存在，使得，且在上为增函数，所以只有1个零点.【点睛】本题考查了导数的综合运用，利用导数解决函数零点问题.综合性较强.在利用导数解决函数零点问题时，核心方法是函数单调性与零点存在性定理的综合使用，构造函数是常用途径，二阶求导甚至多阶求导，利用好导数这个工具处理函数的单调性.五、双空题的圆，定义其曲率.对于一般曲线，我们可通过曲线上某点处的密切圆半径来描述该点的曲率，其中对于曲线在点处的密切圆半径计算公式为.已知函数，椭圆：，则曲线在点处的曲率为____________；上任一