2023年九年级数学中考专题练习-二次函数的最值附答案

2023年中考专题训练一二次函数的最值

1.如图1,抛物线忤-点/一苧x+6与*轴交于A8两点（点4在点8的左侧），与y轴

交于点C,过点8作直线加〃直线AC,交抛物线P于另一点，，点。为直线AC上方抛物线上

一动点.

⑴求线段A3的长.

⑵过点。作尸尸〃V轴交AC于点Q,交直线BD于点F,过点。作PEJLAC于点E,求26PE+3PF

的最大值及此时点。的坐标.

⑶如图2,将抛物线＞=-乎/一苧x+G向右平移3个单位得到新抛物线y',点"为新抛物

线上一点，点〃为原抛物线对称轴一点，直接写出所有使得4B、M、〃为顶点的四边形是平

行四边形时点〃的坐标，并写出其中一个点〃的坐标的求解过程.

2.已知：抛物线y=x2-2mx+m2—2与直线x=-2交于点P.

⑴若抛物线经过（T-2）时，求抛物线解析式；

⑵设尸点的纵坐标为力，当力取最小值时，抛物线上有两点（占凶），（%，%）,且与＜W4-2,

比较X与%的大小；

⑶若线段AB两端点坐标分别是A（0,2）,8（2,2）,当抛物线与线段A8有公共点时，直接写出“

的取值范围.

3.如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线＞=-*/-五+华交x轴于4,8两点，交v

轴于点C,抛物线上一点，的横坐标为-5.

⑴求直线劭的解析式；

⑵点三是线段8D上的动点，过点F作x轴的垂线交抛物线于点尸，当折线历鸵最大时，在

对称轴上找一点。，在y轴上找一点。，连接宏、OP、P0,求。斗户小宅的最小值；

⑶如图2,连接8a把△08C沿x轴翻折，翻折后的△08。记为△08C,现将△08C沿着x

轴平移，平移后△08C记为△0'B'C,连接。O'、CB,记/8与x轴形成较小的夹角

度数为a,当NODB=a时，求出此时/的坐标.

4.在平面直角坐标系xoy中，抛物线尸a（x加）Qx~n）（a<0,m<n）与x轴交于48（点

4在点8的左边），与y轴相交于点C.直线片力与抛物线相交于。（%,%）、0（xz,及）两点

（P、。不重合），与直线861交于点〃（X?,力）.

⑴若,77/=1,rf=3,

①求线段48的长；

②当力V1时，证明：x,+x?的值不会随着力的变化而变化；

⑵若点4在直线861的上方，

①求加的取值范围；

②令后冰，一定存在一个a的值，对于任何符合。>/（方>0）的办〃均可以使得x,+xz-x?恒

m

为定值，求a的值以及t的取值范围.

5.已知抛物线了=奴2+法+。3b,c是常数，—0）的对称轴为X=-2.

（1）填空：b=；（用含a的代数式表示）

⑵若抛物线的顶点在x轴上，求c-〃的值；

⑶若抛物线过点（-2,-2）,当A-2W&+4时，二次函数片加+版+c的最值是-2,求A的

取值范围；

（4）当a=1时，若关于x的方程式加+以+（?=0在-3cx<1的范围内有解，求c的取值范围.

试卷第2页，共7页

6.在平面直角坐标系中，抛物线尸：y=2（x-“）2+2〃？（加为常数）的顶点为4

⑴若点4在第一象限，且3=6,求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并直接写出函数

值V随x的增大而减小时x的取值范围；

⑵当时，若函数+2加的最小值为3,求力的值；

⑶分别过点打4,2）、Q（4,2-2”）作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点限N.当抛物线尸与

四边形打明的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点8、点Q且点8的纵坐标大于点C

的纵坐标.

①若tanNCQN=g时，求加值；

②点4为抛物线顶点，且不与点C重合，若％«N=SAMC@,求加的值.

7.直线y=-gx+l与X,y轴分别交于点4,B,抛物线的解析式为y=2x2-4ax+2a2+a.

⑴求出点48的坐标，用a表示抛物线的对称轴；

（2）若函数），=2X2-4奴+2/+。在34xW4时有最大值为4+2,求a的值；

⑶取a=T,将线段48平移得到线段A0,若抛物线产2/-4狈+2a'a与线段A*有两个交

点，求直线40与y轴交点的纵坐标的取值范围.

8.如图，抛物线产江+法+3与*轴相交于点A（l,0）,8（3,0）,与y轴相交于点C.

⑴求抛物线的解析式.

⑵点“a,x）,N（W,必）是抛物线上不同的两点.

①若y产必，求&&之间的数量关系.

②若“+W=2（%-七），求-必的最小值.

9.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2mx+2tn2-in.

⑴若抛物线经过A（TO）,8（01）两点时，求抛物线的解析式;

⑵若点C（2,先），。（5,%）在抛物线上，且%>%,请直接写出结果勿的取值范围；

⑶当14x43时，函数y的最小值等于6,直接写出m的值.

10.已知关于x的一元二次方程ar?+笈+c=o（a、b、c为常数，且awO）,我们规定：若该方

程的两根满足?=-2,则称该方程为“灵粹二次方程”，其中，称为该“灵粹二次方程”

的一对“奋勇向前根”.

⑴判断：下列方程中，为“灵粹二次方程”的是_______（仅填序号）

①3/_5X+3=0②V+2X-8=0③X+2=」

X

⑵已知关于牙的一元二次方程Y-（2，+l）x+产+”。为"灵粹二次方程”，求：当-14x42时,

函数y='+3枕+9/+1的最大值.

⑶直线>=x+3与直线y=-x+1相交于点并分别与x轴相交于8、C两点，若勿、〃是某“灵

粹二次方程”的一对“奋勇向前根”，设，点坐标为（m,"）,当点，位于以4B、C三点所

构成的三角形内部时.

①试求出R的取值范围.

②若力为整数，且“灵粹二次方程”的二次项系数为1,是否存在满足此情况的“灵粹二次方

程”？若存在，请直接写出该“灵粹二次方程”；若不存在，请说明理由.

11.抛物线c,：y=x?+6x+c对称轴为X=1,且与y轴交点的纵坐标为一3

⑴求加c的值；

⑵抛物线&：丫=-丁+如+〃经过抛物线G的顶点P.

①求证：抛物线&的顶点。也在抛物线G上；

②若，〃=8,点三是在点。和点。之间抛物线C,上的一点，过点石作*轴的垂线交抛物线G于

点尸，求）长度的最大值.

12.已知抛物线），=以2+法+3（a,。为常数，且axO）

⑴已知点A（L4）,B（-l,0）,C（0,2）,若该抛物线只经过其中的两点.求抛物线的表达式；

（2）点为（1）中抛物线上一点，且0<%<4,求〃的取值范围；

闭若抛物线与直线.丫=6+3。都经过点（2,%），设”/+助，求证dT.

13.已知抛物线y=ax2-mx+2m-3经过点A（2,-4）.

⑴求a的值；

⑵若抛物线与V轴的公共点为（0，-1）,抛物线与x轴是否有公共点，若有，求出公共点的坐标；

试卷第4页，共7页

若没有，请说明理由；

⑶当24xW4时，设二次函数y="一尔+2加-3的最大值为例最小值为小若彳=（，求力的

值.

14.在平面直角坐标系尤5-中，已知抛物线y=/-2rx+产一.

⑴求抛物线的顶点坐标（用含力的代数式表示）；

⑵点在抛物线上，其中14工］Wf+2,x,=1—Z,

①若X的最小值是-2,求其的最大值；

②若对于中三，都有,<%,直接写出力的取值范围.

15.如图，已知二次函数/c的图象经过点/（4,5）与点8（0,-3）,且与x轴交

于点C、D.

⑴求该二次函数的表达式，以及与x轴的交点坐标.

⑵若点0（勿，Q在该二次函数图象上，

①求n的最小值；

②若点。到x轴的距离小于3,请结合函数图象直接写出加的取值范

围.

16.在平面直角坐标系X。），中，抛物线,v=f-2侬+1-4（加>0）经过点A（a,£>）.

⑴用含，〃的代数式表示抛物线顶点的坐标；

⑵若抛物线经过点3（0,5）,且满足-2<”4,求匕的取值范围;

⑶若34a44时，b<5,结合函数图象，直接写出，〃的取值范围.

17.如图，抛物线y=ox2+gx+c与x轴交于点4、B,与y轴交于点C,连接8a已知抛物线

顶点坐标为卜1，-

图1图2

⑴求抛物线的解析式；

⑵如图1,连接4Q过点8作3。〃AC,交抛物线于点。，点。是抛物线上位于直线4C下方

的一个动点，过点。作PN〃y轴，交劭于点花点"是直线劭上异于点〃的一点，且昨

PM,连接户以NQ,求△PMW的周长最大值以及此时点。的坐标；

⑶将抛物线沿射线笫平移收个单位，得到新抛物线八点F是新抛物线的一个动点，点尸

是直线劭上一个动点，请直接写出使得以点4E、C、尸为顶点的四边形为平行四边形的点尸

的坐标，若不存在，请说明理由，并把其中一个求点尸的坐标的过程写出来.

18.在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数

丁=苏+桁+4”*0)图象上的点A(x,y)的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就

会得到的一个新的点A(%x+y),他们把这个点4定义为点A的“简朴”点.他们发现：二次

函数y="2+6x+c(aH0)所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为

y=/+bx+c("O)的“简朴曲线”.例如，二次函数y=/+x+l的“简朴曲线”就是

y=x2+x+\+x=x2+2x+],请按照定义完成：

(1)点尸。，2)的“简朴”点是;

⑵如果抛物线y=^-7x+3(aw0)经过点求该抛物线的“简朴曲线”；

⑶已知抛物线y=x2+bx+c图象上的点B(x,y)的“简朴点”是用(-1,1),若该抛物线的“简朴曲

线”的顶点坐标为(加，〃)，当。4cW3时，求〃的取值范围.

19.如图，抛物线y=ax2+b>&c与x轴交于/(-2,0)、8(6,0)两点，与y轴交于点C.直

线/与抛物线交于AD两点，与y轴交于点£点D的坐标为(4,3).

试卷第6页，共7页

⑴求抛物线的解析式与直线/的解析式；

⑵若点户是抛物线上的点且在直线/上方，连接PA、PD,求△外，面积最大值;

⑶由（2）并求出点P的坐标.

13.

20.在平面直角坐标系屹y中，抛物线丫=5/-5尔-2，"2（相＞0）与、轴从左至右依次交于人，B

两点，交）'轴于点C,连接AC,BC.

⑴求A,B两点以及抛物线顶点的坐标；

13

⑵当m=2时，直线y=H+分平行于BC且与抛物线尸^/一万如一2加（心0）只有一个交点O,

求点。的坐标；

17

⑶当1W2时，二次函数了=5*2-5皿-2〃/有最小值-2,求m的值.

参考答案：

1.(1)4

⑵当r=-1时，2gPE+3P尸有最大值为小后，此时尸菖半

22I23

⑶M-f,1竿和卜,一竽)

【分析】⑴令-光-哈+星。,求解即可;

(2)求直线AC,8。的解析式，设点P/,一¥/一号，+6，则。t，¥t+6,

I33)I3

(77J7A

Fr-^-，利用NQFC=30。，将所求转化为2A/5PE+3P/=3PQ+3PF,再求解即可;

(h4cX用

(3)推出平移后的解析式，设M叽一*/+\-,〃+周-,N(-2,〃)，分三种情况讨论;

再利用平行四边形的性质结合中点坐标求解即可.

【解析】(1)令-挛X+G=O,

33

解得x=l或x=-3,

・・・A(—3,0),6(1,0),

.\AB=4；

⑵■:尸与苦x+也，

.♦.c(o词,

设直线AC的解析式为y=h+),

Ji

-3k+b=0k=

，解得，3,

b=△

b=G

.••直线AC的解析式为y=?+6,

•.♦AC〃比),8(1,0),

・・.直线80的解析式为了=迫*_3，

33

答案第8页，共39页

设点2“，一4/一半.+百],贝IJQ*，4「+0],F,4-#

\7\J\7

•••点P为直线AC上方抛物线上一动点，

:.PQ=-野-坐今-+=-与二8，

吁一争咚J字与43哼

,.*OA=3,OC=C,

.•.ZC4O=30°,

-PE_LAC,PFLOA,

,-.ZeFC=30°,

・••当"-"I时，26PE+3PF有最大值为17',此时P--,-yj；

⑶...y=_冬2一苧x+3=-*+l）2+塔

...抛物线对称轴为直线X=-l,

•・•抛物线y=-3/_2叵X+6向右平移3个单位得到新抛物线），',

二新抛物线y'的解析式为y=-3（》-2『+竽，

，加时立速小巡］N（T,〃）,

333

①当A3为平行四边形的对角线时，—3+1="?-1,0=〃一且机？+生叵加+述，

333

m=-1,n=S,

；・N（-l，-6）,M1,-73j；

②当AM为平行四边形的对角线时，-3+〃?=1-1,〃=-立机2+逑m+延，

333

"=3,"凶

3

答案第9页，共39页

：.NT苧，M3,竽)；

③当AN为平行四边形的对角线时，-3-1=,*+1,-@〃/+生叵机+驱=〃,

333

综上，N点坐标分别为

【点评】本题考查了为此函数的图象和性质，直角三角形的性质，平行四边形的性质，熟练

掌握知识并能够运用分类讨论的思想是解题的关键.

2.(l)y=x2+2x-l

(2)y>%

(3)-2<W<0^2</M<4

【分析】(1)将(-1，-2)代入解析式求解.

(2)将x=-2代入解析式求出点P纵坐标，通过配方可得必取最小值时m的值，再将二

次函数解析式化为顶点式求解.

(3)分别将点48坐标代入解析式求解.

【解析】(1)解：将(一1,一2)代入y=x?-2/wx+机'-2得一2=1+2〃Z+M?2-2,

解得《?=-1,

y=》2+2x-l.

(2)解：将x=—2代入,=》2_2皿-+，"2_2得y；,=优2+4机+2=(m+2/_2,

.♦.加=一2时，%,取最小值，

y=x2+4x+2=(x+2)2-2,

:.x<-2时，V随x增大而减小，

•/x,<x2<-2,

>必•

(3)解：vy=x2-2mx+m2-2=(x-m)2-2,

抛物线顶点坐标为(八-2),

抛物线随机值的变化而左右平移，

将(0,2)代入y=x2-2iwc+m2-2=2,

答案第10页，共39页

解得〃?=2或m=-2,

将(2,2)代入丫=，-2皿+/-2得2=4-4加+用-2,

解得"z=0或相=4,

二-2V〃?V0时，抛物线对称轴在点A左侧，抛物线与线段AB有交点，

时，抛物线对称轴在点A右侧，抛物线与线段A8有交点.

【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌

握二次函数与方程及不等式的关系.

3.(1)直线8。的解析式为)，=#》-日

(2)OP+PQ+QE的最小值为g技

⑶C"坐标为‘

【分析】(1)先求出8、。两点的坐标，再利用待定系数法计算，即可得出结论;

(2)如图3中，设3D交>轴于K,则设Egm-%,则

Fm,一走-病-6m+

，设EF与x轴的交点为M,则E(〃?,0),根据题意，利用三角

3

函数，得出/42。=30。，构建二次函数确定机的值，求出点E的坐标，如图4中，作点E关

于V轴的对称点N,于连接MN,交对称轴于尸，交丫轴于。，当加、N、P、Q

共线时，OP+PQ+QE最小，最小值为MN,再根据勾股定理，计算即可得出结果；

1万

(3)如图5中，作于M,设。8=a,则BM=—a,

22

DM=BD-BM=4y[3-—a,由△OMDSAC'OB,得出£旦=黑，列出方程，计算即

2OCBO

可得出结果.

(1)

解：令y=o,则一且递=o,

33

解得：为=-4或x?=l,

二A(T,0),5(1,0),

令x=0,则y=

答案第11页，共39页

当x=-5时，y=-型1+56+迪=-26,

33

•••点D坐标

设直线30解析式为丫="+&,

k

-5k^b=-2y/3

则有，,解得，

k+b=0

b=

；・直线BD的解析式为y=迫>

(2)

（

解：如图3中，设8。交y轴于K,则K0,-日,设Em吊,则

3

/rm,6------，设EF与x轴的交点为M,则E（〃?,0）,

3

EM=白，”当,8M=”也

—tn-----

33G，

3

・•・ZABD=30°,

3），哈

・,.EF^rEB=---

3-3~

4^3、

帆=-3时，所+£8的值最大，此时点E坐标-3,---

7

如图4中，作点E关于>轴的对称点N,于连接MN,交对称轴于P,交）

轴于。,

M、。关于对称轴对称,

0P=PM,

E、N关于y轴对称,

QE=QN,

OP+PQ+QE=PM+PQ+QN,

当M、N、P、Q共线时，OP+PQ+QE最小，最小值为MN,

答案第12页，共39页

在RtAMNE中，

MN=\lEM2+EN2=+62=-A/93.

V33

••・。尸+尸。+。后的最小值为|例；

图3图4

(3)

i77

解：如图5中，作。例，5。于设07?=。，则0M=7。，BM=—

22

DM=BD-BM=4y/3-—a,

2

,//ODM=/C'BQ，4。MD=Z.BOC"=90°,

••.△OMDs^cOB,

0

。

16

2a-2

=

4Ga

八

••+4a—32=0,

答案第13页，共39页

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、锐角三角函数、勾股定理、轴对称与折

叠、二次函数中的线段最值、定值问题、相似三角形的性质与判定，解本题的关键在充分利

用数形结合思想解答问题.

4.(1)©2；②见解析

(2)①加>0；②”=-1；f>3

【分析】(1)①令，=0,求出A,B点坐标即可求解，

②先证直线与抛物线肯定有两个交点尸(x/,勿)与。⑺,”)，再由两点关于抛物线

对称轴x=2对称即可证明；

(2)先求出A(m,0),8(〃,0),C(0,a〃M，再求出直线BC的解析式y=优+的7〃，由

点A在直线BC的上方得当x=m时，y=-am2+amn<0,即可求出胆>0；

②先求出入+々与*3，由玉+刍-工3=加(1+5)为定值求出。=一1，再由直线丫="，与抛物线

相交于不重合的两点得出裙,将a=-l代入，对不等式进行变形即可求出r

4

的取值范围.

(1)

解：①m=\,n=3,

・・・抛物线的解析式为y=-(工一1)(%-3),

令y=o得3)=0,

解得x=l或x=3,

・.,点A在点5的左边，

・・・A(l,0),8(3,0),

，线段AB的长为：3-1=2.

②证明：：抛物线的解析式为y=-(x-l)(x-3)=-(x-2y+l,

・・・x=2时，)取最大值，最大值为1,

・•・当人<1时，直线y=/i与抛物线肯定有两个交点P(x/fy/)>Q(工2，丫2).

•/直线y=h与抛物线的两个交点关于对称轴工=2对称，

••P(X/,>7)与。(必”)关于对称轴x=2对称，

X-2=2-X2

x}+x2=4,

•..X/+X2的值不会随着h的变化而变化；

(2)

答案第14页，共39页

解：①抛物线的解析式为y=

令），=0得4（工_加）（1_〃）=0,

解得X="2或％=〃，

・••点4在点5的左边，m<n,

令％=0得y=〃（一小）（一〃）=amn,

C[O,a/nn）.

设直线BC的解析式为y=kx+b9

将B（%0）,C（OM”）代入得,

[O=nk+h

amn=b

・,・直线BC的解析式为》=-anvc^ramn,

・・•点A(〃?,0)在直线BC的上方，

・••当％=机时，y=-am2+amn<0,

BPtz/n(n-m)<0,

*/m<n,

n-/n>0,

am<0,

•・•a<0,

/.fn>0；

②,・•抛物线的解析式为

m+n〃(〃一〃?)

y=—〃z)(x—〃)="2-a^tn+n)x+amn=a

24

m+n

J抛物线的对称轴为X=手,最大值为v=―叫.

2max।

:直线y="『与抛物线相交于不重合的p（xi,y/）、Q5,”）两点,

方程两边同时除以病得

答案第15页，共39页

整理得K-l>

m

*.*0<m<n,

VP（X/,“）、Q（X2,”）两点关于％=D：对称,

.m+nm+n

,222

玉+/="2+〃，

•・•直线y=W与直线BC交于点N（。，”），

・・%=".

由①得直线BC的解析式为y=-劭吠+劭加，

将为=代入得nr——ainx+amn.

解得x=〃,

a

.m

..x=n---,

3a

m（1A

H=W4--=7771t14-—I,

令1+'=0得〃=-1,

a

此时％+工2-七=。为定值，

将。=—1代入—->1+J-—，

mV-a

得K>1+4=3,

m

”n

当，上3时，一>t>3,满足一>3,

mm

a=~1,t>3.

【点评】本题考查二次函数图象与一元二次方程的关系，求一次函数解析式，解不等式等,

第2问难度较大，根据直线丫=病与抛物线有两个交点列出不等式，再由王+芍-覆为定值

求出。的值是解题的关键.

5.（1）4〃

（2）0

（3）-60七0

（4）-4<C<5

答案第16页，共39页

【分析】(1)根据题意可得x=-2=-2,即可求解；

(2)根据抛物线的顶点在x轴上，可得抛物线与x轴只有一个交点，从而得到16a2-4〃C=(),

进而得到c=4a,即可求解；

(3)根据题意可得抛物线的顶点是(-2,-2),再由当k-2<x<k+4时，二次函数产oN+fec+c

f%—24—2

的最值是-2,可得/〜即可求解；

(4)根据题意可得关于x的方程-/-4x+c=0在-3<xVl的范围内有解，根据题意画出图象，

即可求解.

(I)

解：由题意得：抛物线的工=-二=-2,解得b=4a,

2a

故答案为：4〃；

(2)

解：・・•抛物线的顶点在x轴上，

・••抛物线与x轴只有一个交点，

・・・A=b2-4ac=0,

2

\6a-4ac=0f

・・,存0,

・・・4a-c=0,即c=4m

•,.c-b=4a-4a=0；

(3)

解：:抛物线过点(-2,-2),且对称轴为直线龙=-2,

・••抛物线的顶点是(-2,-2),

当攵一2夕女+4时，二次函数y=aj^+bx+c的最值是一2,

[k-2<-2,

*,•),^9解得：-6<AS0；

[k+A4>-2

(4)

解：当〃二-1时，匕二一4,

答案第17页，共39页

，抛物线y=---4x+c,

•关于x的方程式加+/«+。=0在的范围内有解，即关于x的方程-/-4x+c=0在

-3<JC<1的范围内有解，

c=『+4x,

可以看作是抛物线y=f+4x=(x+2)2-4与直线)=。在-3<乂<1的范围内有交点，

当x=-2时，y=4-8=-4,x=l时，>>=1+4=5,

如图所示，由图象得：c的取值范围：-4<c<5.

【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二

次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键.

6.(l)y=2(x-l)2+2,x<\

⑵|或呼

(3)①］或-25士庖;②且二1.或11一旧或士#_3

918218

【分析】(1)顶点A(九2%)，由点A在第一象限，且。4=石即可求出”?的值，进而求出解

析式，再由开口向上可知在对称轴左侧y随x的增大而减小由此即可求解；

(2)分"仑0和机V0时讨论：当机NO且xM2加时，函数的最小值为工=机时取得；当机<0,

且x42m时，x-2m时，，函数的最小值为x=2m时取得；

(3)先算出尸、Q、M、N四个点的坐标，然后再分情况讨论二次函数与矩形PQMN的两

边交点，求出B、C坐标；①根据正切等于对边比临边的值，可求出加②根据三角形面积

相等列出等式求解.

(1)

顶点坐标A(m,2>h),

OA2=m2+(2w)2=5m2,

又已知O/V=5,

•••5>=5,且A点在第一象限，

Am=l,此时抛物线的解析式为：y=2(x-l)2+2,

抛物线的对称轴为x=l,

由开口向上可知在对称轴左侧y随x的增大而减小，

•••y随x的增大而减小时x的取值范围为：%<1；

(2)

函数的对称轴为x=机，且开口向上，

当机20,且x42，"时，*=机时，函数有最小值为》=2，〃，

答案第18页，共39页

由已知：函数的最小值为3,

3

2m=3,解得"z=5，

当〃zvO,且x42机时，x=2"?时，函数有最小值为y=2〃/+2加，

由已知：函数的最小值为3,

2

•**2m+2m=3,解得mx=1或加2=、+即(正值舍去)，

故m的值为1或」——;

22

(3)

由题意可知，尸(4,2)、Q(4,2—2m)、"(九2)、N(m,2-2m)f

①如图所示，当加＞0时，当抛物线》=2。-团)2+2团与四边形尸。可用的边有两个交点，点

3在PM边上、点C在MN边上且与顶点重合，连接CQ,

此时点。(利2M,

•・,为直角三角形,

CN4ni-2

：.tanZCQN=—

NQ4-m2

Q

解得加=§;

如图所示，当机＜0时，若点8在N。边上，点C在PM边上，连接CQ,过点C作NQ的垂

线，垂足为。，

此时C(m+Jl-MI,2),

...在以2^⑺。中，

答案第19页，共39页

CDMN-2m

tmZCQN2

~DQ~~CP4-m-y/l-m2

-25±y/85

解得加=

18

所以当tanNCQN='[ft，m='或"=-25土:

2918

②如图所示，若点B在PM边上、点C在N0边上,

•・•点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等,

2—2m=2(x-m)2+2m,

解得“不

•..点B的纵坐标大于点C的纵坐标,

...%=必叵不符合题意，舍去,

18

.11-V13

••/7?=---------------

18

如图所示，若点8在PQ边上、点C在N。边上,

•・•点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等,

，4=2-2m,

解得：不符合题意，舍去,

如图所示，当〃?<0时，若点8在NQ边上，点C在PM边上,

答案第20页，共39页

•・,点8到)，轴的距离与点C到x轴的距离相等，

2-2m=2(x-m)2+2/n,

解得：x=m±\J\-2m,

|/n+5/1-2/n|=2或1力-Jl_2T=2,

解得：m=±>/6-3,

综上，加的值为叵［或"-而或±#-3.

218

【点评】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数的图像及性质，涉及分类讨论思想,

情况不定时需要分类讨论，难度较大，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键.

7.(1)4(2,0),B(0,1),直线后a

(2)4或3

49

⑶大于一二小于等于0

【分析】(1)对于直线y=-；x+l,分别令x=0,产0,可得点A(2,0),B(0,1)；再把

抛物线解析式化为顶点式，可得抛物线的对称轴；

(2)根据题意可得在34x44范围内，当43或44时;有最大值a+2,然后分两种情况：

当x=3时，取最大值a+2时；当A4时，取最大值a+2时，即可求解；

(3)设抛物线的顶点为C,点8关于抛物线的对称点为点力，先求出抛物线的顶点坐标，

和点。，然后分两种情况讨论：若点8'与点。重合时，当线段H朋过点C时，即可求解.

(1)

解：对于直线y=-5X+1,

令40,则y=l,

令y=0,则x=2,

...点4(2,0),B(0,1)；

y=2x?-4ax+2a2+a=2(x-a)~+a,

...抛物线的对称轴为直线x=a.

答案第21页，共39页

(2)

解：:)，=2%2-44犬+2。2+。开口向上，

，在34xK4范围内，当％=3或x=4时，有最大值。+2,

当x=3时,y=2a2—1ltz+18,

当x=4时，y=2a2-15t/+32,

当x=3,函数取最大值Q+2时，有〃+2=2/-11〃+18且2/一11〃+1822a2一15白+32,

7

解得，。=2或4,且。2—，

2

4=4；

当户4,函数取最大值。+2口寸，有Q+2=2/—15〃+32且2々2一11〃+1842〃2一15〃+32,

7

解得，。二3或5,且

a=3；

综上所述，a的值为4或3.

(3)

解：如图，设抛物线的顶点为C,点8关于抛物线的对称点为点。，

当a=-l时，抛物线解析式为y=2x2+4x+l=2(x+l)2-1,

...点C(-1,-1),对称轴为直线4-1,

当x=0时，产1,

.,.抛物线与y轴交于点(0,1),

•.,点8(0,1),

点。(-2,1),

设直线A'B'的解析式为y=~x+b,

若点"与点。重合时，线段AB向左平移2个单位，此时点A'(O,O),此时抛物线

y=2x2-4ax+2a2+a与线段A0有两个交点，

把点(-2,1)代入y=+得：-gx(-2)+8=l,

解得：2=0；

当直线AE与抛物线只有一个交点时，

y=2x2+4x+l

联立得：-1,,

y=——x+b

[2

整理得：4x2+9x+2-2b=0,

：.A=81-4x4(2-2ft)=0,

答案第22页，共39页

解得：b=~<

抛物线y=2x2-4ax+2a2+。与线段A所有两个交点时，直线AE与y轴交点的纵坐标的

取值范围为大于-三小于等于0.

【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，一次函数的平移，

熟练掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图形和性质，利用数形结合思想解答是解题的

关键.

8.(i)y=r-4x+3

⑵①玉+々=4；②最小值为—2

【分析】(1)将4,8两点代入解析式解得即可；(2)①若,=必，则凶-必=°，化简即

可得到的关系；②y-%代入化简成顶点式即可得到最小值.

(1)

抛物线y=a¥+法+3与x轴相交于点A(l,0),8(3,0)

〃+b+3=0襄,[a=1

9a+3b+3=0解得%=T

/.y=x2-4x4-3；

(2)

①点加(%①),%(9,%)是抛物线上不同的两点.

=x

/.y}=工；-4玉+3,必2~4X2+3

若弘=必，则乂一％=。.

X-必=(x；—4A■(+3)—(尤-4x>+3)=(X]—X,)(N+X)—4)—0

x2X]+w=4；

X

②K—必=X|~2—4(X]—/)=(*1+%)(西一工2)-4(%一w)=2(X[—9)—4(Xj—x2)

答案第23页，共39页

2

=2^(xt—x,)~2(x,—+—2=2(x,—x,-1)'—2,

当%-々=1时，X-%的最小值为-2.

【点评】本题是二次函数的综合,考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质和最值问题，

熟练掌握待定系数法是解题的关键.

9.⑴抛物线的解析式为y=V+2x+l

7

(2)当”■>如，，*的取值范围为机<-万

(3)相的值为m=-2或机=回二!

2

【分析】⑴当抛物线经过A(TO)时，1一2如+2*一〃?=0,解得：叫=1，网=；，当抛

物线经过8(0,1)时，2加-〃2=1,解得叫=1,吗=-g,取其公共解即可

(2)-：a=\>0,抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，当点。(2,无)，

。(5，%)都在对称轴左侧抛物线上，列不等式；22+2mx2+2m2—rh>52+2mx5+2m2—m,

当点。在对称轴的右侧，点C在对称轴左侧，点C离对称轴远，点。离对称轴近，列不等

式5+机<-加-2,解不等式即可：

(3)当14x43时，函数)，的最小值等于6,分三种情况，抛物线对称轴1?加？3,抛物

线y=(x+”?)-+»?-〃?，得出》?-机=6；当对称轴-“<1即机>-1,在对称轴右侧y随x

的增大而增大，x=l是取最小值，即1+2加+2相2-机=6;当对称轴-机>3即加V-3,在对称

轴左侧y随x的增大而减小，户3时，取最小值，即9+6m+2m2-机=6,解方程即可.

(1)

解:当抛物线经过A(TO)时，1-2也+2病-加=0,

解得：町=1,g=g，

当抛物线经过8(0,1)时，2/-优=1,

解得町=1,，%=-；,

•••抛物线经过A(-1,0),8(0,1)两点，

抛物线的解析式为y=/+2x+l；

(2)

解：.."=1>0,抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，

答案第24页，共39页

当点C(2,yJ，。(5,%)都在对称轴左侧抛物线上，

22+2/nx2+2m2-m＞52+2mx5+2m2-m,

7

解得加〈——，

2

当点。在对称轴的右侧，点C在对称轴左侧，点C离对称轴远，点。离对称轴近，抛物线

得对称轴为x^-m;

7

解得

2

7

...当先＞W，机的取值范围为，〃〈-万；

(3)

解：当1WX43时，函数y的最小值等于6,

抛物线对称轴1?加？3,y=(x+m)2+m2-m,

irT—m=6,

解得席=3(舍去)或加=2

当对称轴-加＜1即机＞-1,在对称轴右侧y随x的增大而增大，

**•^=1是取最小值，即1+2加+2〃/一加=6,

.•.解得〃?=-1131(舍去)或〃7=：士”

22

当对称轴加＞3即/n＜-3,在对称轴左侧y随工的增大而减小，

，x=3时,取最小值,即9+6加+27n2—m=6,

3

解得m=一］＞一3,m=-l＞-3,都舍去，

综合得m的值为m=-2或%=回二1.

2

【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，增减性，最值，掌握待定系

数法求抛物线解析式，抛物线的性质，增减性，最值是解题关键.

10.⑴②

12

(2)当f=-§时，ymax=4；当/=时，ymax=8

(3)①-2＜m＜0或-1＜加＜0；②

【分析】(1)分别求出三个方程的根，根据“灵粹二次方程''的定义进行判断即可；

(2)先将t当作已知数，解一元二次方程，得出再=r+l,x2=t,根据此方程是“灵粹二次

答案第25页，共39页

方程”，得出上L-2或々=-2,解得七二或七一，然后分别求出一元二次方程的最

tr+133

大值即可；

(3)①先求出点A、B、C的坐标，然后分'=-2或4=-2两种情况，列出关于根的不等

nm

式组，然后解不等式组即可；

②根据相为整数，先求出〃，的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系，求出从C的值，

即可得出一元二次方程.

(1)

解：①3X2-5X+3=0,

VA=(-5)2-4X3X3=-11<0,

.••此方程无解，不是“灵粹二次方程”；

②炉+2》-8=0,

解方程得：历=-4,X2=l,

••2=於=-2

,x,2，

,此方程是“灵粹二次方程”；

③久+2=—,

X

解方程得：士=七=-1,

••^-=—=1^-2

-x2-1，

此方程不是“灵粹二次方程”；

综上分析可知，是“灵粹二次方程''的为②.

故答案为：②.

(2)

解一元二次方程炉-(2，+1口+产+/=0得：％=f+l,x2=t,

•/x2-(2f+l)x+*+1=0是“灵粹二次方程”，

A—=-2W(-=-2,

tt+\

12

解得：，=一§或，=一屋

当/=」时，