2023年高考数学湖北卷试题及解析

第③，那么、为区间上的正交函数。所以满足条件的正交函数有2组，应选B。【点评】新定义题型，此题考查微积分根本定理的运用，容易题。由不等式确定的平面区域记为，不等式，确定的平面区域记为，在中随机取一点，那么该点恰好在内的概率为〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何公式知，该点落在内的概率为，选D。【点评】此题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，中等题。8.?算数书?竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖〞的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，，所以，即的近似值为，应选B。【点评】此题考查?算数书?中的近似计算，容易题。9.是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔〕A.B.C.3D.2【答案】B【解析】试题分析：设椭圆的短半轴为，双曲线的实半轴为〔〕，半焦距为，由椭圆、双曲线的定义得，，所以，，因为，由余弦定理得，所以，即，所以，利用根本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为。【点评】此题椭圆、双曲线的定义与性质，余弦定理及用根本不等式求最值，难度中等。10.函数是定义在上的奇函数，当时，，假设，，那么实数的取值范围为〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：依题意，当时，，作图可知，的最小值为，因为函数为奇函数，所以当时的最大值为，因为对任意实数都有，，所以，，解得，故实数的取值范围是。【点评】此题考查函数的奇函数的性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等。填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每题5分，共25分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.必考题〔11—14题〕11.设向量，，假设，那么实数________.【答案】【解析】试题分析：因为，，因为，所以，解得。【点评】此题考查平面向量的坐标运算、数量积，容易题。12.直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，那么________.【答案】2【解析】试题分析：依题意，圆心到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的，即，，所以，故。【点评】此题考查直线与圆相交，点到直线的距离公式，容易题。13.设是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成的3个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的三位数记为〔例如，那么，〕.阅读如下图的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，输出的结果________.【答案】495【解析】试题分析：当，那么；当，那么；当，那么；当，那么，终止循环，故输出。【点评】新定义题型，此题考查程序框图，当型循环结构，容易题。设是定义在上的函数，且，对任意，假设经过点的直线与轴的交点为，那么称为关于函数的平均数，记为，例如，当时，可得，即为的算术平均数.当时，为的几何平均数；当当时，为的调和平均数；〔以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可〕【答案】【解析】试题分析：设，那么经过点，的直线方程为，令，所以，所以当时，为的调和平均数。【点评】此题考查两个数的几何平均数与调和平均数，难度中等。选考题〔选修4-1：几何证明选讲〕如图，为⊙的两条切线，切点分别为，过的中点作割线交⊙于两点，假设那么【答案】4【解析】试题分析：由切割线定理得，所以，。【点评】此题考查圆的切线长定理，切割线定理，容易题。〔选修4-4：坐标系与参数方程〕曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，那么与交点的直角坐标为________【答案】【解析】试题分析：由消去得，由得，解方程组得与的交点坐标为。【点评】此题考查参数方程、极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，曲线的交点，容易题。17、〔本小题总分值11分〕某实验室一天的温度〔单位：〕随时间〔单位;h〕的变化近似满足函数关系；求实验室这一天的最大温差；假设要求实验室温度不高于，那么在哪段时间实验室需要降温？18〔本小题总分值12分〕等差数列满足：=2，且，成等比数列.求数列的通项公式.记为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得假设存在，求n的最小值；假设不存在，说明理由.19(本小题总分值12分)如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.当时，证明：直线平面;是否存在，使平面与面所成的二面角？假设存在，求出的值；假设不存在，说明理由.〔本小题总分值12分〕方案在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米〕都在40以上.其中，缺乏80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系；假设某台发电机运行，那么该台年利润为5000万元；假设某台发电机未运行，那么该台年亏损800万元，欲使水电