平面及其性质

平面及其性质第一页，编辑于星期六：十七点四十五分。第1页，共29页。点.第二章直线.平面之间的位置关系立体几何第二页，编辑于星期六：十七点四十五分。第2页，共29页。1.点2.直线3.平面可无限延伸的面无厚薄,可无限延展的点无大小

线无粗细,记为:点A记为:直线a或直线AB记为:平面,平面ABCD,平面AC第三页，编辑于星期六：十七点四十五分。第3页，共29页。一.平面第四页，编辑于星期六：十七点四十五分。第4页，共29页。

几何里的“平面”,是从"平"的物体中抽象出来的,它象水平面一样给人一种平整的感觉,但可以在空间任意放置,可以向四周无限延展,无厚薄,无大小.第五页，编辑于星期六：十七点四十五分。第5页，共29页。问题1:在纸上画什么图形表示平面呢?

平面也可用其他平面图形,如用三角形、梯形等来表示平面.

平面水平放置时,

平行四边形的锐角常画成45,横边画成邻边的2倍.第六页，编辑于星期六：十七点四十五分。第6页，共29页。平面a平面bbaABCDEF平面AC平面CE平面BCF

一般用希腊字母a、b、g

等表示。也可用表示平面的平面图形的顶点字母表示（如下面的图形）。问题2:用什么符号来表示平面?第七页，编辑于星期六：十七点四十五分。第7页，共29页。1.点2.直线3.平面可无限延伸的面无厚薄,可无限延展的点无大小

线无粗细,记为:点A记为:直线a或直线AB记为:平面,平面ABCD,平面AC第八页，编辑于星期六：十七点四十五分。第8页，共29页。练习:(补充)1.

画一水平放置的平面a.2.

画一竖直放置的平面b.3.

画一水平放置的平面a

与一竖直放置的平面

b

相交.4.

画两竖直放置的平面d

和g

相交.ababdg第九页，编辑于星期六：十七点四十五分。第9页，共29页。a

2.

平面也可以看作是点的集合,即平面内的每一个点是平面的元素.若点A

在平面a

内,记作A∈a

.点B

在平面a

外

,记作B

a.【点与直线,点与平面】●A●B

1.

直线可以看作是点的集合,即直线上的每一个点是直线的元素.若点A

在直线l

上,记作A∈l.点B

在直线l

外,记作B

l.●A●Bl可叙述为:直线

l

经过点A.第十页，编辑于星期六：十七点四十五分。第10页，共29页。a直线l

在平面a

内,记作la.直线l

与平面a

相交于点P,l∩a=

P.直线l与平面a

只有一个公共点,l

a.llaaPl【直线与平面】直线可以看作是平面的子集,它们的元素是点.记作或无公共点,称为直线l

在平面a

外,也可叙述为:平面a

经过直线l.记作第十一页，编辑于星期六：十七点四十五分。第11页，共29页。两平面相交,用符号“∩”表示,如:a∩b=

l.abl【平面与平面】第十二页，编辑于星期六：十七点四十五分。第12页，共29页。

例1.

如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.ABablalaabbP(1)(2)解:图(1)Aa,Ba,Aa,Bb,即a∩a=A,a∩b=B;a∩b=l.图(2)aa,bb,a∩b=

l,a∩b=

P,a∩l=

P,b∩l=

P.第十三页，编辑于星期六：十七点四十五分。第13页，共29页。二.平面的基本性质．．ABα

公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.思考1：如果直线l与平面有一个公共点P,则直线l在平面内？如果有两个公共点呢?作用：为判断直线与平面的位置关系提供依据集合符号表示平面经过这条直线第十四页，编辑于星期六：十七点四十五分。第14页，共29页。二.平面的基本性质

公理2过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

思考2：经过两点可以确定一条直线，那么经过几个点可以确定一个平面呢？作用：确定平面,判断几个点共面或直线在同一个平面内集合符号表示．．．ABC“不共线的三点确定一个平面”

已知A、B、C三点不共线，则存在惟一平面，使得A、B、C第十五页，编辑于星期六：十七点四十五分。第15页，共29页。茶几、坐椅第十六页，编辑于星期六：十七点四十五分。第16页，共29页。二.平面的基本性质

公理2的推论1过一直线及直线外上点,有且只有一个平面.

思考：过直线AB及点C有几个平面?作用：判断几个点共面或直线在同一个平面内集合符号表示．．．ABC“直线和直线外一点确定一个平面”

已知直线AB及直线AB外一点C，则存在惟一平面，使得直线AB、C在平面内.第十七页，编辑于星期六：十七点四十五分。第17页，共29页。二.平面的基本性质

公理2的推论2过两条相交直线,有且只有一个平面.

思考：过直线AB和直线AC有几个平面?作用：确定平面,判断几个点共面或直线在同一个平面内集合符号表示．．．ABC“两相交直线确定一个平面”

已知直线AB和直线AC，则存在惟一平面，使得直线AB、AC在平面内.第十八页，编辑于星期六：十七点四十五分。第18页，共29页。二.平面的基本性质

公理2的推论3过两条平行直线,有且只有一个平面.

思考：过直线AB和过C且与直线AB平行的直线CD,有几个平面?作用：确定平面,判断几个点共面或直线在同一个平面内集合符号表示．．．ABC“两平行直线确定一个平面”

已知直线AB//CD，则存在惟一平面，使得直线AB、CD在平面内.第十九页，编辑于星期六：十七点四十五分。第19页，共29页。二.平面的基本性质

思考3：如果两个平面有一个公共点，那么两个平面是否只相交于一个点？为什么？

公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

P

作用：判断两个平面位置关系的基本依据,两个平面的公共点在交线上.abPl集合符号表示第二十页，编辑于星期六：十七点四十五分。第20页，共29页。练习:(课本43页)1.

下列命题正确的是()(A)经过三点确定一个平面

(B)经过一条直线和一个点确定一个平面

(C)四边形确定一个平面

(D)两两相交且不共点的三条直线确定一个平面分析:(A)三点共线时不成立.(B)点在直线上时不成立.如图的四边形ABCDABCD(C)不是平面.(D)ABCl1l2l3如图,

设l1∩l2确定平面a,则Ba,Ca,l3a.D第二十一页，编辑于星期六：十七点四十五分。第21页，共29页。2.(1)

不共面的四点可以确定几个平面?(2)

共点的三条直线可以确定几个平面?解:(2)当三条直线共面时,能确定1个平面(如图);当三条直线不共面时,如图,每经过两条都能确定一个平面,所以能确定3个平面.即经过共点的三条直线可以确定1个或3个平面.l1l2l3l3l2l1abg第二十二页，编辑于星期六：十七点四十五分。第22页，共29页。3.

判断下列命题是否正确,正确的在括号内划“√”,错误的划“×”.(1)

平面a

与平面b

相交,它们只有有限个公共点.()(2)

经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面.()

(3)

经过两条相交直线有且只有一个平面.()(4)

如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合.()第二十三页，编辑于星期六：十七点四十五分。第23页，共29页。4.

用符号表示下列语句,并画出相应的图形:(1)

点A

在平面a

内,但点B

在平面a

外;(2)

直线a

经过平面a

外的一点M;(3)

直线a

既在平面a

内,又在平面b

内.解:(3)aa,ab.baa或a∩b=a.第二十四页，编辑于星期六：十七点四十五分。第24页，共29页。1.

画出满足下列条件的图形:

a∩b=

l,ABa,CDb,AB//l,CD//l.labABCD解:画图如下:习题2.1A组第二十五页，编辑于星期六：十七点四十五分。第25页，共29页。2.

如图,试根据下列要求,把被遮挡的部分改为虚线:

(1)

AB

没有被平面a

遮挡;

(2)

AB

被平面a

直挡.ABa