内蒙古2020年高二数学上学期期中考试卷（六）

内蒙古2020年高二数学上学期期中考试卷（六）

（理科）

（考试时间120分钟满分150分）

一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1.如果a<b<0,那么下列不等式成立的是（

B.ab<b2-ab<-a

2.设D为aABC所在平面内一点，BC=3CD,则（

AD=~^AB-^AC

AD=AB毛AC

3.设△ABC,bcosC+ccosB=asinA,MOAABC的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定

'x-4片340

-3x+5y<25

4.目标函数z=2x+y,变量x,y满足，则有（）

lx>l

A.Zmax=12,Zmin=3B.Zmax=12,Z无最小值

C.Zmin=3,Z无最大值D.Z既无最大值，也无最小值

5.等差数列中,ai+a2+a3=-24,ai8+a19+a20=78,则此数列前20项和等于（）

A.160B.180C.200D.220

3g।----------

6.已知等比数列｛a。｝的各项均为正数，公比平1,设「=——,Q=Va5，a7

则P与Q的大小关系是（）

A.P>QB.P<QC.P=QD.无法确定

1

7.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是存，则判断框内应填入的条

件是（）

A.i<4B.i>4C.i<5D.i>5

8.下列有关命题的说法正确的是（）

A.命题“若x2=l,则x=l"的否命题为：“若x2=l,则xwl”

B.命题勺xeR,使得x2+x+lV0"的否定是："VxeR均有x2+x+lV0"

C.在aABC中，"A>B"是"sinA>sinB”的充要条件

D."XH2或户1"是"x+yw3”既不充分也不必要条件

9.已知T〈xV；,设a=2「sinx,b=2c°sx,c=2tanx,则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a

10.若点O和点F分别为椭圆《+[=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点,

则而•而的最大值为（）

A.2B.3C.6D.8

11.已知数列氏｝满足：ai=l,an+1=^2(nCN*).若

bn+1=(n-X)(-^1),b[=-入，且数列｛bj是单调递增数列，则实数人的取

值范为()

A.入>2B.入>3C.A<2D.入V3

22

12.若F(c,0)是双曲线今-4=1(a>b>0)的右焦点，过F作该双曲线一条渐近

bZ

线的垂线与两条渐近线交于A,B两点，O为坐标原点，^OAB的面积为丝9,则该

7

双曲线的离心率6=()

A.-B.-C.-D.-

3345

二、填空题(共4题，每题20分)

13.若钝角^ABC的面积为10，5，且AB=5,AC=8,则BC等于.

14.已知点P(X,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等，则2*+4丫的最小值

为.

15.等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知Si，2s2,3s3成等差数列,则｛aj的公比

为.

16.已知B(-2,0),C(2,0),Z^ABC的内切圆切BC于D点，且I而-I而=2近,

则顶点A的轨迹方程为.

三、解答题(共6题，共70分)

17.设命题p：实数x满足X?-4ax+3a2c0,其中a<0；命题q：实数x满足x2-2x-

3>0,且「p的「q必要不充分条件，求实数a的取值范围.

18.已知数列｛a"满足：1•二•+…+上[(S^-D.n€N*.

ala2an8

(I)求数列｛an｝的通项公式;

all1

设求%…+三~

(II)b=lo8go_bhhb~hkb•

n3nl2b2b3t>nn+l

19.在aABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点(a,b)在直线x(sinA-

sinB)+ysinB=csinC上.

(I)求角C的值；

(II)若2cos2当-25出23乂3且A<B,求£

222a

20.为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架，三角形支架形状如图，要求/

ACB=60。，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米为了广告牌稳固，要求AC的长

度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？

21.下面图形由单位正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，在横线上方

处画出下一个适当的图形;

曲h

□S1

图：图2图3图4

(2)图中的三角形称为希尔宾斯基三角形，在如图所示的四个三角形中，着色三角形

的个数依次构成数列的前四项，依此着色方案继续对三角形着色，求着色三角形的个数

的通项公式bn

(3)依照(1)中规律，继续用单位正方形绘图，记每个图形中单位正方形的个数为an

2ab

(n=l,2,3,…)，设°=—求数列｛.｝的前n项和Sn.

nn+1

22.已知椭圆C：(a>b>0)的离心率为*以坐标原点为圆心，椭圆的短

半轴长为半径的圆与直线x-y+捉=0相切.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设点P(4,0),A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB

交椭圆C于另一点E,证明：直线AE与x轴相交于定点.

参考答案

一、单项选择题

1.解：由于aVbVO,不妨令a=-2,b=-1,可得导=-1,.•・1>《故A不正

azbab

确.

可得ab=2,b2=l,/.ab>b2,故B不正确.

可得-ab=-2,-a2=-4,/.-ab>-a2,故C不正确.

故选D.

2.解：由已知得到如图

由AD=AB+BD=AB+*|BC=AB+*1(AC-AB)=

故选：A.

3.解：△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

VbcosC+ccosB=asinA,则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,

即sin(B+C)=sinAsinA,可得sinA=l,故A=-p

故三角形为直角三角形，

故选B.

4.解：先根据约束条件画出可行域,

x-4y+3=0

由，得A(5,2),

3x+5y=25

一x-4y+3=0

由《得B(1,1).

1x=l

当直线z=2x+y过点A(5,2)时，z最大是12,

当直线z=2x+y过点B(I,1)时，z最小是3,

但可行域不包括A点，故取不到最大值.

5.解：a1+a2+a3=-24,a|8+a]9+a20=78

a।+a2o+a2+a19+a§+a18=54=3(a]+a2o)

.*.a|+a2o=18

20(ai+a20)=1Rn

b20~2

故选B

6.解：•.•等比数列｛a3的各项均为正数，公比平1,

故选A.

7.解：根据程序框图，运行结果如下：

iTP

第一次循环215

第二次循环321

第三次循环43

第四次循环54之

63

退出循环，故判断框内应填入的条件是i<5

故选C.

8.解：对于A,命题“若x2=l,则x=l"的否命题为："若x2=l,则xxl”不满足否命题的

定义，A不正确；

对于B,命题TxeR,使得x2+x+l<0"的否定是：“VxeR均有x2+x+l<0”,不满足命

题的否定形式，B不正确；

对于C,在AABC中，"A>B"oa>bosinA>sinB,所以在aABC中，"A>B"是"sinA

>sinB”的充要条件，正确；

对于D,"x#2或yxl"是"x+y，3"的逆否命题为：x+y=3,则x=2且y=l,x+y=3,是x=2

且y=l的必要不充分条件；"xr2或yxl"是"x+y差!"充分不必要条件，说既不充分也不必

要条件是不正确的.

故选：C.

JTJT

9.解：因为

42

所以OVcosxVsinxVlVtanx,

而sinx+cosx>1,cosx>1-sinx,

•@二21-§加

故a<b<c.

答案：A

222

10.解：由题意，F(-1,0),设点P(xo，yo),则有为_+纹7,解得v2-?(1--)，

43y04

因为祚(x0+l,y0),0P=(x0.yQ),

__2

2

所以而•祚=x。(xo+l)+yo=2P_+Xo+3,

此二次函数对应的抛物线的对称轴为xo=-2,

一一92

因为-24X042,所以当x()=2时，op・F阿得最大值?'2+3=6，

故选C.

a

11.解：vai=l,an+1=-^-^(n€N*)，

•一1-1

"21+23'

1

ai=--3-,1

17

3+2

1

由此猜想an=^n\

用数学归纳法证明：

①当n=l时，a<=-J-=1,成立；

12-1

②假设n=k时，等式成立，即ak刀、

1

则当n=k=l时,

_1

••・an=FT

/.bn+i=（n-入））=（n-入）2”,

an

：.b2=（1-入）2=2-2人，

・・・b尸-入，数列｛bj是单调递增数列,

/.bj=-入Vbz=2-2人,

解得入V2.

故选C.

22,

12.解：双曲线q-二厂1的渐近线方程为y=±旦,

a2b20

设两条渐近线的夹角为仇

2ab

则tan0=tanZAOB==一

a-b

设FB10B,则F到渐近线y=1x的距离为d=fj=b,

即有|OB|=JC2-b〜，

贝IJ40AB的面积可以表示为工aataneT-^=g

22

2a-b7

故选C.

二、填空题

13.解：因为锐角AABC的面积为10«,且AB=5,AC=8,

所以gx5x8xsinA=10百，

所以sinA&^,

2

所以A=60。，

所以cosA=-1,

由余弦定理可得：BC=^52+82-2X5X8xl=7.

故答案为：7.

14.解：YP(X,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,

222

.\x+(y-4)2=(x+2)+y,

展开化简可得x+2y=3,

xx2x2y

2+4V=2+2y>2^2.2

=2物+2丫=2扬=地

当且仅当2*=22丫即x二|且y啜取最小值4正.

故答案为：472

15.解：：等比数列｛加｝的前n项和为Sn，已知Si，2s2,3s3成等差数列，

n2

.,.an=aiq又4s2=S]+3s3，即4(a]+a[q)=a1+3(ai+ajq+aiq),

解A

故答案为士

3

16.解：如图,

设E、F分别为圆与AB、AC的两个切点，

则|BE|=|BD|,|CD|=|CF|,

又|AE|=|AF|,

-|AC|=|BE|-|CF|=|前|-|而=地，

..•点A的轨迹为以B,C为焦点的双曲线的右支(yM),

且a=M，c=2,

•••b=«2-(&)2=圾,

二方程为f-号1(x>V2)-

17.解：设A={x|x2-4ax+3a2<0(a<0)}={x|3a<x<a(a<0))

B={x|x2-2x-3>0}={x|x<-1或x>3},

•••「p是「q的必要不充分条件，，q是p的必要不充分条件,

AACB,所以3a23或aS-1,又aVO,

所以实数a的取值范围是aw-1.

18.解：(I)-L学(32-1)=3,...

al8

当*2时，・・•工=(•

anala2anala2an-188

2-1)=32nl,...

当n=l,工=32n-1也成立，所以an』—

anJZn_1

(II)*.*bn=log3—=-(2n-1),...

n

_1__________1________=1(_1______L.)

bnbn+l(2n-1)(2n+l)22n-12n+l'

L•七~~~[(i~~)+(A-2)+•••+(75-7-c]<)]

blb2b2b3bnbn+123352n-12n+l

n

2n+l

19.解：(I)将(a,b)代入直线解析式得:a(sinA-sinB)+bsinB=csinC,

a22

由正弦定理一^―=~■F门得:(a-b)+b=c,即a2+b2-c2=ab,

sinAsinBsmC

2,.2_21

由余弦定理得cosC=WJ±_2_=±,

2ab2

VO<C<n,

(II)\*2COS2--2sin2—1+cosA-1+COSB=COSA+COS(2--A)="^COSA+源inA=sin

22322

(A+—)=立，

62

97T

*.*A+B=——f且AVB,

3

71

AO<A<一,

3

口口A冗冗

，即A+-,

66263

.,冗c冗—冗

•-A=TB=T0T

V3

则c-再呼-

asinA1

2

20.解：设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度

为(y-0.5)米在△ABN,依余弦定理得：AB2=AC2+BC2-2ACBCcosZACB

即(y-o,5)2=y2+x2-2yxx±化简，得y(x-1)=X2--

24

Vx>l,

Ax-l>0

2

因此y*4,

X-1

2-1

、(x-i)+(3*2

x~14(x-

3

当且仅当X-I,f时，取"="号，

4(.x-1)

即x=l+4时，y有最小值2+V3

答：AC最短为2+Jg米，BC长度为1

21.解：(1)在第一个图形中，只有一层，一个小正方形；

在第二个图形中，有两层，从上至下分别为1个、2个小正方形；

在第三个图形中，有三层，从上至下分别为1个、2个、3个小正方形；

由此归纳：第四个图形中，有四层，从上至下分别为1个、2个、3个、4个小正方形.

因此答案如右图所示：

(2)由图形从左向右数着色的三角形的个数，发现后一个图形中的着色三角形个数是

前一个的3倍，

所以，所以｛%｝构成以1为首项，公比为3的等比数列，由此不难得到｛、｝的通项公式,

n-1

由等比数列的通项公式，可得着色三角形的个数的通项公式为：bn=3.

(3)由题意，可得an=l+2+3+4+...+n=n—,

n(n+1)-1

2X——--x3nn1

p

cnn+l-n3

所以Sn=l・3°+2・31+…+n・①

所以3Sn=l・3l+2・32+…+(n-l)-3n-1+n-3n.②

①-②得-2S/(30+31+-+3n-1)-n・3，

所以-2Sn与三-n・3吗

1-3

即S__1也二U_.3"+],其中neN+

34

22

22.解：（1）由题意知e1=4:.卡昔即a?哮2.

a2

又•.•圆心（0,0）至U直线X-y+&=0的距离为一/Lm，/.b=V3,

Vl+1

.•.a=2,故椭圆的方程为：2