圆锥曲线题库200题（上篇）

平面解析几何题库

1.有如下结论：“圆/+y2=户上一点a%,打)处的切线方程为

Xoy+y()y=r2"，类比也有结论：“椭圆q+4=i(a>b〉o)上一点尸(与，打)处的切

ab~

线方程为誓+誓=1"，过椭圆C：二+/=1的右准线/上任意一点M引椭圆c的

a~tr4

两条切线，切点为A、B.

(1)求证：直线AB恒过一定点；

(2)当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积

4.5Xx

L解：⑴设M(-^—/)«£/?),4f*),8*2，%)，则加4的方程为十+%丁=1

•.•点M在MA上/.—Xj+,=1①...............................3分

V3

同理可得巳-/+/%=1②.......................................5分

由①②知AB的方程为、-x+)=1,即x=6(1一)).......6分

易知右焦点F(50)满足③式，故AB恒过椭圆C的右焦点F(50)……8分

LY2

(2)把AB的方程苫=指(1—y)代入一+/=1,化简得7y—6y—1=0

4

.Lg.史空型=3

12分

77

I皑,

2^/3

又M到AB的距离d=-J—=-

Vl+33

/.△ABM的面积S=g・|AB|/=166

15分

21

2.在平面直角坐标系x0y中，椭圆C：1T+}=l(a>6>0)过点A(笑),3(后1).

(1)求椭圆C的方程;

(2)已知点？(%,%)在椭圆C上，F为椭圆的左焦点，直线/的方程为XoX+3%y-6=O-

①求证：直线/与椭圆C有唯一的公共点；

②若点F关于直线/的对称点为Q,求证：当点P在椭圆C上运动时，直线PQ恒过定点，并求出此定点的坐标.

(f)2(f)2

~2/=6,

所以所求椭圆C的方程为《十号=1....................................................................3分

04

(2)①联立方程组<

6=0，

消去y,得(曷+3止)/-12了红+36-18必=0・(*)...............................................5分

由于点尸5,城在椭圆C上,所以日+9=1,即弼=6-4

故(*)可化为2工2+忌=0.

因为△=(—2工0)2-4忌=0,

所以原方程组仅有一组解，显然z=%,y=y。是方程组的解，

所以直线/与椭圆C有唯一的公共点........................................8分

②点尸的坐标为(-2,0),过点F且与直线/垂直的直线的方程为3%r-H°y+6y°=0.

6xo-18jo

”=式+9y「'

iox+3yoy-6=0,因为点尸（z”W）在椭圆《+?=1，

解方程组得

V乙

3，产一9+6%=0,18^o+6^0jo

"一岔+9乂

j3町一6

3-々'

所以3工=6—忌，所以解即为

尸巫.

3-4

所以点F（-2,。）关于直线,的对称点的坐标为Q（氏,悬）..............12分

6州_»

当x0#=2时，皿=上工。&---“

4ZL6x0-2,

3三一“。

所以直线PQ的方程为y—与3（丁一10）.即（％—2）为一）%+2?=0.

1—2=0,

所以即直线PQ过定点M（2,0）..................................14分

y=0.

当工。=2时,皿=±4,此时Q的坐标为（2,±2，^）,直线PQ过点M（2,0）.

综上，直线PQ恒过定点M（2,0）..........................................16分

如图，在平面直角坐标系尤0y中，椭圆《+工=1（"＞人＞0）的右焦点为尸（1,0）,离心率为坐.

ab~2

分别过O,F的两条弦45,C£＞相交于点E（异于A,C两点），且OE=EF.

（1）求椭圆的方程；

（2）求证：直线AC,BD的斜率之和为定值.

（1）解：由题意，得c=l,e=—=»故。=夜，

a2

从而b2=a2—c2=1,

所以椭圆的方程为您+9=1•①......5分

（2）证明：设直线的方程为y=依，②

直线CZ）的方程为丁=-2。-1）,③......7分

由①②得，点A,8的横坐标为土J-—，

72k2+1

由①③得，点C,•的横坐标为2公±.”2+1）,.....9分

2人“+1

记4与g),B(X2,kx2),6*(X3,Z(1-刍))，£)(X4,k(\-x4)),

则直线AC,的斜率之和为

必一攵（1一&）kx2-k（l-x4）

%一毛x2-x4

=k（X|—1）（工2一,）+。一工3）（犬2+儿一1）

（不一九3）（入2一Z）

_卜2（大工2—刍工4）一（芭+犬2）+（入3+工4）

13分

（%一七）（々一%）

_4122+12/+1J22+1

（玉一电）（々一七）

=0-16分

4.椭圆C的右焦点为尸，右准线为/,离心率为遮，点A在椭圆上，以尸为圆心，E4为半径的圆与/的两个公共

2

点是B,D.

(1)若MB。是边长为2的等边三角形，求圆的方程；

(2)若A,F,5三点在同一条直线机上，且原点到直线机的距离为2,求椭圆方程.

解：设椭圆的半长轴是。，半短轴是b,半焦距离是c,

/T22

由椭圆。的离心率为券，可得椭圆。方程是苏+方

1,2分

(只要是一个字母，其它形式同样得分，)

焦点尸(6),0),准线x=£,设点

(1)AFBD是边长为2的等边三角形，则圆半径为2,且/到直线/的距离是g,

2»211

又尸到直线/的距离是FM=幺—c=L=7，所以，,=6，b=3,

cc73V3

所以c=3百

所以，圆的方程是0—36)2+/=4。...................6分

(2)因为三点共线，且尸是圆心，所以尸是线段AB中点,

4bx0=2c—幺=2屏一金标呈扬,

由B点横坐标是一%得,8分

33

再由系+*i得:4=从一乖＞,

%=——b,

3

电

所以直线加斜率&==一J510分

x{)-c13b

3

直线m：y=-V2(x-c),x+y-V2c=012分

原点。到直线m的距离d=得，

依题意W=2,c=述，所以b=亚,

所以椭圆的方程是上+上=1.15分

82

5.已知椭圆C的方程为4=1(。>0),点48分别为其左、右顶点，点耳、鸟分别为其左、右焦点，以

矿b~

h

点A为圆心，A片为半径作圆A；以点3为圆心，为半径作圆8；若直线/:y=—^x被圆A和圆5截得

的弦长之比为巫.

6

(1)求椭圆。的离心率；

3

(2)己知a=7,问是否存在点P,使得过P点有无数条直线被圆A和圆6截得的弦长之比为巳；若存在，请求出所

4

有的P点坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)由匕=—I,得直线/的倾斜角为150°,

3

则点A到直线/的，距离&=asin(l80°-150°)=,

故直线/被圆A截得的弦长为A,=2&a_cf_d；=2-c)2-

直线/被圆8截得的弦长为右=24/cos(180°—150°)=ga,

r/772(a-c)2-(1)2后

据题意有：k:些,即」——一2-=乂!二，

L26>J3a6

化简得：16/—32e+7=0,

71

解得：e二一或"=一，又椭圆的离心率ew(0,1)；

44

故椭圆C的离心率为e=J.

4

（2）假设存在，设尸点坐标为（加述），过产点的直线为上

当直线上的斜率不存在时，直线上不能被两圆同时所截；

故可设直线上的方程为尸-万=Ar（x-活）,

I—74^—Iryyj-I-y>\

则点幺（-7,0）到直线L的距离4=「1——”,

J1+炉

,.c13a21

由（41）有e=—=一,待L4=a-c=——=——，

aA44

故直线L被扇工截得的弦长为4'=2冉-&,（9分）

iflr-iryy}-4-yj

则点B（7,0）到直线L的距离D2=।1-------।,

Jl+上,

r3=7,故直线上被圆B截得的弦长为与'=2Jr；-8,（11分）

据题意有：|=即有吟Y）=*Y）,整理得g=3%

4[7上一物?十%|3[7先一近+力|

即।t——।=-!一^——/，两边平方整理成关于上的一元二次方程得

VbHt1J1+-2

(7m2+350附+343)1—(350w+14.%比+7/=0,（13分）

关于上的方程有无穷多解,

l)n+350w+343=0

r«=0ff%=0

故有:<350%+14加总=0=>5或《

m=-\m=Y9

7«2=0ii

故所求点尸坐标为《一1,0）或（-49,0）.（16分）

（注设过.P点的直线为y=以+用后求得P点坐标同样得分）

22

6.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：宗r+方v=1（a>b>0）的左焦点为F,右顶点为A,动点M为右准

线上一点（异于右准线与X轴的交点），设线段交椭圆C于点P,已知椭圆C的离心率为士，点M的横坐标

3

9

为

2-

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线外的斜率为匕，直线/WA的斜率为⑥，求4"的取值范围.

c2

解：（1）由已知，得“，3

,T-2

.p=9,

解得.....................4分

2.b2=5,VWWWWvWivVWvW'vWWv*VWlvV<vVlvW

椭扇C的标准方程为卷+《

1..........................6分

(2)设点PCqJi)(-2<3),点，

・点F、P、-W二点共线，原工—2,

Ji%，，13『i

%+213八2(应+2)

7

.•.点七(2」双).................................8分

“jfc2=_^,

“Xi-323(xi+2)

7iv13月_

jt]•用二10分

%-33(%+2)3(—

•.•点P在楠圆C上，.•.曾+午=1,二弁=-浓-9).

13x(-2)(rJ-9)

、g八勺765万+365八1、

--------------=----x----------x(1+-----)12分

Xxi+2X^-3)27Xi+227、&+2,

V-2<3,

.•.此一竺.

9

.,.占收2的取值范围是(-8,-^).14分

\A*wWSA<*»WVWSA/WW'w\i*w*««w*»*wW'v«M*»*w*iAA>\fVS«<W'M*</

22

7.在平面直角坐标系"＞丫中，椭圆£：3+2=1（4＞匕＞0）的右准线为直线/,动直线尸质+加快＜0,加＞0）交椭圆

ab~

于48两点，线段48的中点为M,射线0M分别交椭圆及直线/于P,Q两点，如图.若48两点分别是椭圆

E的右顶点，上顶点时，点。的纵坐标为1（其中e为椭圆的离心率），且。。=石0M.

e

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）如果0P是OM,0Q的等比中项，那么”是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由.

k

解：当4B两点分别是椭圆E的右顶点和上顶点时，则A（a,O）,B（O,b）,.

22

]_

」），•••由。，M,Q三点共线，得2==，化简，得b=l......2分

ceaa~

•：OQ=-BOM,.•.上=石，化简，得加=石c.

a

2

a-=b-+c~、

fZ72=5

由〃=1,解得，’.................................4分

lc2=4.

la=亚c,

(1)椭圆E的标准方程为工+丁=1..................................6分

5.

r2

(2)把y=依+〃?(4<0,机>0),代入丁+丁=1,得

(5&2+1)丁+10，向+5加一5=0....................................8分

5nik_m

当△＞（）,5公一，/+1＞0时，x

M5k2+\'%=5r+I

5mkm

从而点M（-).10分

5^+1'5公+1

所以直线0/W的方程y=$x.

25k2

得X；12分

5k2+\

•.,OP是。M,OQ的等比中项，OP-=OMOQ,

从而xj=|xw|=-蓝冷）-..............14分

由二立=一一”吗，得m=—2k,从而9=-2,满足△＞（）...........15分

5左2+12（5左2+1）k

.为常数-2.16分

k

22

8.如图，已知椭圆。卞+方=1（">人>0）的左顶点，右焦点分别为AF，右准线为加，圆D：

f+y"一x—3y—2=0。

（1）若圆D过A,F两点，求椭圆C的方程；

（2）若直线加”上不存在点Q,使A4FQ为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围。

（3）在（1）的条件下，若直线〃2与X轴的交点为K,将直线/绕K顺时针旋转2得直线/,动点P在直线/上，过P

4

作圆D的两条切线，切点分别为M、N,求弦长MN的最小值。

解：（1）圆/+3;2一%一9、一2=0与无轴交点坐标为，A（—2,0）,尸（0,1）,故a=2,c=l,

22

所以b=百，椭圆方程是：—+^-=lo

43

22

（2）设直线也与大轴的交点是依题意尸。之用4,即土-cAa+c:土2a+2c,

cc

->l+2-,->1+2e,2e2+e-l<0,0<e<~......................9分

cae2

⑶直线/的方程是x-y-4=0,圆D的圆心是W半径是半，

设\1N与PD相交于H,则凡是MN的中点，且PJLLMD,

MDMPMD^PD^-MD1IMD2

MN=2NH=2--------=2-----------------=2MD..JI-----...12分

PDPD\PD2

当且仅当尸。最小时，柄有最小值，

,13

ly_X_4l5

即最小值即是点D到直线，的距离是d=2^—=/，……分

所以加N的最小值是2x述x1-2=匹亚0....................16分

1IT5

9.如图，圆0与离心率为的椭圆T：22

xv（a>0>0）相切于点M（o』）。

2

⑴求椭圆T与圆。的方程;

⑵过点M引两条互相垂直的两直线乙与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）。

②P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d2,求+房的最大值;

②若3M=求乙与乙的方程。

解：（1）由题意知：2=主力=1,。2+〃=。2解得。=2/=l,c=g可知:

a2

x2

椭圆C的方程为彳+/=1与圆。的方程x-y'l4分

2

⑵设P(x°,九)因为4112,则d；+4=PM2=焉+(%+1)

因为,+y；=l所以d；+d；=4—4y：+(yo+l)2=—3(y°+g)2+g,

7分

因为一14九<1所以当为=-,时取得最大值为丝，此时点尸（±孚,一；）

9分

>=丘+1钏汨“2k1一22

（3）设6的方程为y=Zx+l,由<a+丁=1解得4——，中）；

=Zx+1

y幺k1一4"2

解得。（一一竽一,一三）

由,,211分

x,214^+11+4小

[14+y

12k鸿)，

把A,C中的左置换成--可得B（-^~12分

kk+1k+1k+4k~+4

—9k-7k28k

所以MA=(-一勺,\/,MC(-

/+1\+k24/+1

——•2k-2——•8k-8

MB=(———),MD=()

222

k+lk+lk+4'公+4

3k24r-

由3MAMC=4MB•MD得-------=—-解得&=±V215分

1+4%2公+4

所以4的方程为〉=&彳+1,&的方程为>=一日X+1

或乙的方程为y=_Jit+l，4的方程为y=^x+l..................16分

10.如图，已知椭圆C：L+匕=1的左顶点、右焦点分别为A、F,右准线为/,N为/上一点，且在x轴上方，AN

95

与椭圆交于点M。

Q）若AM=MN,求证：AM±MF；

⑵设过A£N三点的圆与y轴交于P,。两点，求P。的最小值。

9

17.⑴证明：由已知，金（一3,0）,9（2,0）,设方£/）«>0）,

则河（（上）在桶圆。：：+[=1上，得£=等；：肠手）,

即

⑵解：设圆方程为/+/+以+少+y=o,将A尸,加"两点坐标代入得:

d=-1

9—3d+/=0

55

4+2d+/=004Q=­t----,

At

819,/八

—4-Z2+-^d+et+f-0/=-2

2

.:圆方程为/+_y2-x-（£+亚）1y-2=0,令x=0,得：y+ey—2=0>

At

设尸（0,必）,。（0,乃），尸。|=|必一乃|二

/.尸。的最小值为3s.

11.已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线/的方程为x=—2,点P在准线/上，纵坐标为3/-！点。

t

在y轴上，纵坐标为2r.

(1)求抛物线C的方程；

(2)求证：直线PQ恒与一个圆心在X轴上的定圆M相切，并求出圆M的方程。

解：(1)设抛物线。的方程为V=2px(p>0),

因为准线/的方程为％=—2,所以—4=—2,即〃=4,

，2

因此抛物线。的方程为寸=8元.

(2)由题意可知，P(-2,3r--),2(0,2z),

t'

2r-(3r--)

则直线PQ方程为：y-2t=--------乙x,

一2

即(产一l)x+2<y-4r=0,

2

设圆心在x轴上，且与直线PQ相切的圆”的方程为(x-x0)+产=/”>0),

则圆心0)到直线PQ的距离K：—DAT]=r，

V(/2-l)2+4r

222

BP(r-l)x0-4r=r+rt①或(/一1)/一4/二-z■—②,

由①可得(%―〃—4)/—〃=0对任意fcRjwO恒成立，则有

X,—r—4=0,fx=2,人,

°,解AT得11°n(舍去)

-xo-r=O,卜=-2,

2

由②可得(％+r-4)r-xo+r=O对任意feR,tH0恒成立，则有

，+1=。,，可解得4=2，

-x0+r=0,[r=2,

因此直线PQ恒与一个圆心在x轴上的定圆M相切，圆M的方程为(x-2>+产=4.

12.已知圆C过点P(l,l)，且与圆M:(x+2『+(y+2)2=r\r>0)关于直线x+y+2=0对称.

(I)求圆C的方程；

(H)设。为圆C上的一个动点,求尸。•MQ的最小值；

(IH)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A,8,且直线PA和直线P3的倾斜角互补，。为坐标原点，试判断直线

0P和AB是否平行?请说明理由.

。一2Z?—2

----+----+2=0八

22r。=0

解：(i)设圆心则乙,/，解得1(3分)

则圆C的方程为x2+/=r2,将点P的坐标代入得r=2,故圆C的方程为f+丁=2.....(5分)

(H)设Q(x,y),则f+y2=2,且pQ.MQ=(x—i,y—i).Q+2,y+2)(7分)

=Y+y2+x+y-4=x+y—2,所以PQ,MQ的最小值为T

(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)

(III)由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,故可设PA:y-\=,

P8:y—1=—A(x—1),由，。得(1+公)£+2后(1—A:)x+(1—幻2一2=0(11分)

x+y-=2

因为点P的横坐标x=l一定是该方程的解,故可得％=------—(13分)

1.\K

k"+2k—1bti

同理，xB=--_1-,所以

1十K

力一乃_攵(4I)-%。)一］)_2攵一/(乙+1八)

所以,直线A8和OP一定平行........(16分)

13.在平面直角坐标系中，直线L：y=mx+3—4m,meR恒过一定点，且与以原点为

圆心的圆C恒有公共点。

⑴求出直线L恒过的定点坐标；

⑵当圆C的面积最小时，求圆C的方程；

(3)已知定点。(Y,3),直线L与⑵中的圆C交于M、N两点，试问丽・丽・tanNMQV是否存在最大值，若

存在则求出该最大值，并求出此时直线L的方程，若不存在请说明理由.

解：⑴直线L：y=mx+3-4m可化简为y=m(x-4)+3

所以直线恒过定点T(4,3)

⑵由题意，要使圆C的面积最小，定点T(4,3)在圆上，

2

所以圆C的方程为刀2+y=25。

⑶QM-QN-tanZMQN

=\QM\\QN\-cosZMQN-tanAMQN

=\QM\\QN\-sinZMQN

=2sAMQN

由题意得直线L与圆C的一个交点为M(4,3),又知定点Q(-4,3),

直线LMQ：y=3,|MQ|=8,则当N(0,-5)时SMQN有最大值32.

^iQM-QNxtanNMQN有最大值为64,

此时直线L的方程为2x-y-5=0。

x2v3

14.已知椭圆—z-+^--1(。>b>0)的离心率为一且过

ab~5

点户（4,不），A为上顶点，厂为右焦点.点Q（Oj）是线

段Q4（除端点外）上的一个动点，过。作平行于x轴的

直线交直线AP于点以QM为直径的圆的圆心为N.

（1）求椭圆方程；

（2）若圆N与x轴相切，求圆N的方程；

（3）设点R为圆N上的动点，点R到直线PF的最大距离为d,求d的取值范围.

3r2V2

解：(l)；e==不妨设c=3k,a=5k,则b=4k,其中k>0,故椭圆方程为——-+-^—=l(a>/>>0),

525k216k2

|942(9)222

・・•P(4,上)在椭圆上，「.J+=i解得k=l,椭圆方程为L+L=i---------4分

525k216k22516

12,

——4

(2)kAP=—=一,，则直线AP的方程为y=-gx+4----------------5分

令y=t(0<Z<4),则x=M(5"；［,r)，

Q(0,t),N(-4-r)-.r),-----------------------------------------7分

4

••・圆N与x轴相切:.5(4—)",由题意M为第一象限的点，则空二!=/,解得/=型-9分

449

.7,2()2()eAA-x-xnA/_.2()2/2()2400

・・N(一,一)，圆N的方程为(Z%---)+(y------)=---------------------------------10分

999981

ioI?

(3)F(3,0),^PF=—・.・直线PF的方程为y=/(x-3)艮m2x-5y-36=0——11分

.・•点N到直线PF的距离为以4-6=24-20r=_l|6_5r|

13131311

d=56-5/|+：(4-/),0<t<4

一12分

.,•当0<怅9时，d=-(6-5t)+-(4-t)=35^~145/,止匕时工型一14分

513452213

当£<t<4时，(5r-6)+-(4-r)=-164+l5/,此时工<4(生一16分

513452213

综上，d的取值范围为丝］.

|_213J

22

15.如图，已知椭圆C:工+上=1的左、右顶点分别为A,B,右焦点为F,直线/为椭圆的右准线，N为/上一动点,

1612

且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点/W.

(1)若AM=MN,求N4WB的余弦值；

(2)设过A,F,N三点的圆与y轴交于P,Q两点，当

线段PQ的中点坐标为(0,9)时，求这个圆的方程.

解：⑴由已知，A(T,0),B(4,0),尸(2,0),直线/的方程为x=8.

设N(8,t)(t>0),因为AM=/WN,所以A4(2,-).

2

由M在椭圆上，得t=6.故所求的点M的坐标为M(2,3).

UlMlULUUUUUUUU

所以M4=(—6,—3),MB=(2,—3),MA・MB=-3.

UUUlUUU

MAMB-3V65

cos/AMB=-t«~tof-

V36+9-V4+9-65

|MA||MB|

(用余弦定理也可求得)

(2)设圆的方程为V+y2+£>x+@+尸=0,将A,F,N三点坐标代入，得

,")=2

16-4D+F=0,"'

72

*4+2D+F=0,n<E=T---,

64+/+8。+田+尸=0,f=_8

7?7?

•/圆方程为d+J+2犬-»-8=0,令X=0,得/一。4)y-8=0.…11分

tt

r+—±J(t+—)2+32

设P(0，X),Q(0,%)，则人2=--~~-------•

7?

由线段PQ的中点坐标为(0,9),得弘+丫2=18,/+—=18.

此时所求圆的方程为f+y2+2x-18y-8=0.

(本题用韦达定理也可解)

(2)(法二)由圆过点4、尸得圆心横坐标为一1,由圆与y轴交点的纵坐标为(0,9),

得圆心的纵坐标为9,故圆心坐标为(一1,9).

易求得圆的半径为3面，

所以，所求圆的方程为方+l)2+(y-9)2=90.

16.已知圆C:Y+V=9,点A(—5,0),直线/:x—2y=0.

⑴求与圆。相切，且与直线/垂直的直线方程；

⑵在直线Q4上(。为坐标原点)，存在定点8(不同于点A),满足：对于圆C上任一点尸，都有为一常数，试

求所有满足条件的点8的坐标.

解：⑴设所求直线方程为y=