2022-2023学年四川省内江市隆昌县第七中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年四川省内江市隆昌县第七中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.把函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，则所得图象对应的函数解析式是（）A．y=sinx B．y=sin4x C． D．参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据三角函数图象变换的法则进行变换，并化简，可得两次变换后所得到的图象对应函数解析式．【解答】解：函数的图象向右平移个单位，得到f（x﹣）=sin[2（x﹣）+]=sin2x的图象，再将所得的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得f（x﹣）=sinx的图象．∴函数y=sinx的图象是函数的图象按题中的两步变换得到的函数的解析式．故选：A．【点评】本题给出三角函数图象的平移和伸缩变换，求得到的图象对应的函数解析式．着重考查了三角函数图象的变换公式等知识，属于中档题．2.函数的单调递增区间是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C．试题分析：，当，所以函数的单调递增区间是，故选C．考点：利用导数求函数的单调性．3.如果a=log41，b=log23，c=log2π，那么三个数的大小关系是（）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a参考答案：A【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log41=0，1＜b=log23＜c=log2π，∴c＞b＞a．故选：A．4.的展开式中的系数是(

)42

35

28

21参考答案：B略5.已知由不等式组，确定的平面区域的面积为7，定点M的坐标为，若，O为坐标原点，则的最小值是A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】B

解析：依题意：画出不等式组所表示的平面区域（如右图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为，由直线恒过点，且原点的坐标恒满足，当时，，此时平面区域的面积为，由于，由此可得.由可得，依题意应有，因此（，舍去）故有，设，故由，可化为，所以当直线过点时，截距最大，即取得最小值，故选B．【思路点拨】首先作出不等式组所表示的平面区域，然后根据直线恒过点B（0，2），且原点的坐标恒满足，当k=0时，y≤2，此时平面区域Ω的面积为6，由于6＜7，由此可得k＜0．联立方程组求出D的坐标，根据三角形的面积公式求得k的值，最后把转化为线性目标函数解决．6.已知圆是半径为的球的一个小圆，且圆的面积与球的表面积的比值为，则线段与的比值为_________.参考答案：答案：7.参考答案：A8.椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为A.

B.

C.

D.参考答案：B

椭圆的顶点,焦点坐标为，所以，,又因为，，成等比数列，所以有，即，所以，离心率为，选B.9.已知为上的可导函数，当时，，则关于x的函数的零点个数为（

）

A．1

B．2

C．0

D．0或2参考答案：C10.已知函数（，），其图像与直线相邻两个交点的距离为，若对于任意的恒成立，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若不等式对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是

。参考答案：12.已知幂函数的图象过点，则=______________。参考答案：13.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P是平面ABC内一点，则的最小值为

.参考答案：

14.设函数，则满足的的取值范围是_______参考答案：15.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）．在极坐标系中，的方程为，则与的交点的个数为_____________.参考答案：116.（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程为，则圆上点到直线的最短距离为

。参考答案：17.右图所示的程序框图的输出结果为

.参考答案：8略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；分类讨论；转化思想．分析：（Ⅰ）求函数的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函数f（x）的单调区间和极值；（II）若在区间（0，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0即可．利用导数研究函数在闭区间[1，e]上的最小值，先求出导函数f'（x），然后讨论研究函数在[1，e]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．解：（I）因为，当a=1，，令f'（x）=0，得x=1，又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗所以x=1时，f（x）的极小值为1．f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（II）因为，且a≠0，令f'（x）=0，得到，若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0即可．（1）当a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，所以，f（x）在区间[1，e]上单调递减，故f（x）在区间[1，e]上的最小值为，由，得，即（2）当a＞0时，①若，则f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，所以f（x）在区间[1，e]上单调递减，所以，f（x）在区间[1，e]上的最小值为，显然，f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0不成立②若，即1＞时，则有xf'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗所以f（x）在区间[1，e]上的最小值为，由，得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）舍去；当0＜＜1，即a＞1，即有f（x）在[1，e]递增，可得f（1）取得最小值，且为1，f（1）＞0，不成立．综上，由（1）（2）可知a＜﹣符合题意．【点评】本题考查利用导函数来研究函数的极值以及在闭区间上的最值问题．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值，体现了转化的思想和分类讨论的思想，同时考查学生的计算能力．19.（12分）对于函数f（x）=x2﹣lnx．（1）求其单调区间；（2）点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，求点P到直线y=x﹣2的最小距离；（3）若g（x）=8x﹣7lnx﹣k，f（x）与g（x）两个函数图象有三个交点，求k的取值范围．参考答案：【考点】：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】：（1）根据题意得f（x）的定义域为x＞0，通过f′（x）即得单调区间；（2）由题，令f′（x）==1，解得x=1或（舍），此时y=1﹣ln1=1，即曲线上过P（1，1）的切线平行于直线y=x﹣2时，有最小距离d==；（3）令f（x）=g（x），记G（x）=﹣x2+8x﹣6lnx，讨论G′（x）即得结论．解：（1）根据题意，得f（x）的定义域为x＞0，所以f′（x）=2x﹣=，故当x∈（0，）时f′（x）＜0，即在此区间内单调减；当x∈（，+∞）时f′（x）＞0，即在此区间里单调增；（2）由题，知直线y=x﹣2的斜率为k=1，令f′（x）==1，得2x2﹣x﹣1=（2x+1）（x﹣1）=0，解得x=1或（舍），此时y=1﹣ln1=1，即曲线上过P（1，1）的切线平行于直线y=x﹣2时，那么这一点到直线的距离最小，此最小距离d==；（3）令f（x）=g（x），即x2﹣lnx=8x﹣7lnx﹣k，得k=﹣x2+8x﹣6lnx，记G（x）=﹣x2+8x﹣6lnx，令G′（x）===0，解得，x1=1，x2=3，不难判断x1=1是极小点，x2=3是极大点，故Gmin（x）=G（1）=﹣1+8=7，Gmax（x）=G（3）=﹣9+24﹣6ln3=15﹣6ln3，又当x→0时，G（x）→+∞，当x→+∞时，G（x）→﹣∞，故要使f（x）与g（x）两个函数的图象有三个交点，必须有：7＜k＜15﹣6ln3．【点评】：本题考查函数的单调性，点到直线的距离，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．20.本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，是上的点且，为△中边上的高.（1）证明：平面；（2）若，，，求三棱锥的体积；（3）证明：平面.

参考答案：

（1）证明：因为平面，所以。因为为△中边上的高，所以。

因为，

所以平面。（2）连结，取中点，连结。

因为是的中点，

所以。

因为平面，所以平面。则，

。（3）证明：取中点，连结，。

因为是的中点，所以。因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以。因为，

所以。因为平面，

所以。

因为，所以平面，所以平面。21.已知双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆C的方程；（2）设动点M，N在椭圆C上，且，记直线MN在y轴上的截距为m，求m的最大值.参考答案：（1）双曲线的焦点坐标为，离心率为.因为双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以，且，解得.故椭圆的方程为.（2）因为，所以直线的斜率存在.因为直线在轴上的截距为，所以可设直线的方程为.代入椭圆方程得.因为，所以.设，，根据根与系数的关系得，.则.因为，即.整理得.令，则.所以.等号成立的条件是，此时，满足，符合题意.故的最大值为.22.本题满分15分）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，．

（I）设是的中点，证明：平面；