黑龙江省哈尔滨市新兴中学高二数学理下学期期末试题含解析

黑龙江省哈尔滨市新兴中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的一个零点所在的区间是()A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)参考答案：B【分析】先求出根据零点存在性定理得解.【详解】由题得，，所以所以函数的一个零点所在的区间是.故选：B【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2.不等式(x2－4)(x－6)20的解集为()A．{x|－2x2}

B．{x|x2或x－2}C．{x|－2x2或x＝6}

D．{x|x2}参考答案：(x2－4)(x－6)2≤0?(x－2)(x＋2)(x－6)2≤0.由穿根法可得{x|－2≤x≤2或x＝6}．答案：C3.若ABC的三角A:B:C=1:2:3，则A、B、C分别所对边a：b：c=(

）

A.1:2:3

B.

C.

D.参考答案：C略4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=30°，a=1，则等于（）A．1 B．2 C． D．参考答案：B【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可求b=2sinB，c=2sinC，化简所求即可计算得解．【解答】解：∵A=30°，a=1，∴由正弦定理可得：，可得：b=2sinB，c=2sinC，∴==2．故选：B．5.以下给出的是计算的值的一个程序框图（如图所示），其中判断框内应填入的条件是（

）A．i>10B．i<10C．i<20D．I>20参考答案：A6.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是(

)A.2

B.3

C.

D.

参考答案：A7.已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A． B． C． D．2参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，利用勾股定理，求出x=，利用sin∠MF2F1=，求得x=a，可得=a，求出a=b，即可得出结论．【解答】解：设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，∵MF1与x轴垂直，∴（2a+x）2=x2+4c2，∴x=∵sin∠MF2F1=，∴3x=2a+x，∴x=a，∴=a，∴a=b，∴c=a，∴e==．故选：A．8.将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为

A．120

B．240

C．360

D．720参考答案：B9.若,则下列不等式:①;②;③④中，正确的不等式有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：C10.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（

）A.

B.C.

D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.用斜二测画法画各边长为2cm的正三角形，所得直观图的面积为________。参考答案：12.若方程所表示的曲线为C，给出下列四个命题：①若C为椭圆，则1<t<4，且t≠；②若C为双曲线，则t>4或t<1；③曲线C不可能是圆；④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1<t<.其中正确的命题是________．(把所有正确命题的序号都填在横线上)参考答案：①②略13.设函数，则f（f（﹣1））=．参考答案：0【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的表达式代入进行求解即可．【解答】解：由分段函数得f（﹣1）=，则f（）=2×﹣1=1﹣1=0，故．故答案为：014.函数f（x）=的最大值为．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】当x≠0时，f（x）==，结合基本不等式，可得函数的最大值．【解答】解：当x=0时，f（0）=0，当x≠0时，f（x）==≤=，故函数f（x）=的最大值为，故答案为：15.设变量满足约束条件则目标函数的最小值为

。参考答案：316.在中，，，且的面积为，则边的长为_____.参考答案：17.一个物体的运动方程为其中位移的单位是米，时间的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是_▲_米/秒．参考答案：5三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.根据下列条件求曲线的标准方程：（1）准线方程为的抛物线；（2）焦点在x轴上，且过点（2，0）、的双曲线．参考答案：【考点】抛物线的标准方程；双曲线的标准方程．【分析】（1）设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0），准线方程为，所以有，故p=3，即可求出抛物线方程；（2）设所求双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），代入点的坐标，求出a，b，即可求出双曲线方程．【解答】解：（1）设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0）．其准线方程为，所以有，故p=3．因此抛物线的标准方程为y2=6x．（2）设所求双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），因为点（2，0），在双曲线上，所以点的坐标满足方程，由此得，解得，

所求双曲线的方程为．19.已知函数．（Ⅰ）当时，求函数在，上的最大值；（Ⅱ）讨论函数的零点的个数．参考答案：（Ⅰ）f（x）max＝9﹣4e-2.（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝（x﹣1）2+（x﹣2）ex，可得f′（x）＝（x﹣1）（ex+2），利用导数研究函数的单调性即可得出最值．（Ⅱ）令a（x﹣1）2+（x﹣2）ex＝0，则a（x﹣1）2＝（2﹣x）ex，讨论f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex的零点个数，即转化为讨论函数y＝a（x﹣1）2与函数g（x）＝（2﹣x）ex的图象交点个数．画出函数g（x）＝（2﹣x）ex的图象大致如图．对a分类讨论即可得出a＞0时，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有两个零点，当a<0时，对a分类讨论研究f(x)的图象的变化趋势得出结论.【详解】（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝（x﹣1）2+（x﹣2）ex，可得f′（x）＝2（x﹣1）+（x﹣1）ex＝（x﹣1）（ex+2），由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，所以f（x）在[﹣2，1]单调递减，在[1，2]上单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝﹣e，又f（﹣2）＝9﹣4e-2＞f（2）＝1所以f（x）max＝9﹣4e-2.（Ⅱ）讨论f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex的零点个数，令a（x﹣1）2+（x﹣2）ex＝0，则a（x﹣1）2＝（2﹣x）ex,转化为讨论函数y＝a（x﹣1）2与g（x）＝（2﹣x）ex的图象交点个数，由g（x）＝（2﹣x）ex，可得g′（x）＝（1﹣x）ex．由单调性可得：g（x）图象大致如右图：所以当a=0时，y＝a（x﹣1）2=0与g（x）＝（2﹣x）ex图象只有一个交点，a＞0时，y＝a（x﹣1）2与函数g（x）＝（2﹣x）ex有两个交点，当a<0时，f′（x）＝2a（x﹣1）+（x﹣1）ex＝（x﹣1）（ex+2a），当a=-时，f′（x）恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）递增，又f（1）=-e<0,f（3）=-e3=-e3>0，此时f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一个零点.当a-时，f′（x）＝0的两根为1，ln(-2a),当1<ln(-2a)时，f（x）在（﹣∞，1）递增；在（1，ln(-2a)）上递减，在（ln(-2a)，+∞）递增，又f（1）=-e<0,又存在=,使+(a-2)x-a=0,+(a-2)x-a]x=0,而+(a-2)x-a]x=ax(x-1)+(x-2)<a（x﹣1）2+（x﹣2）ex=f（x）,所以f（）>0,此时f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一个零点.当1>ln(-2a)时，f（x）在（﹣∞，ln(-2a)）递增；在（ln(-2a),1）上递减，在（1，+∞）递增，又f(ln(-2a))=a[(ln(-2a)﹣1]2-2a[(ln(-2a)﹣2]=a[-4(ln(-2a)+5]<0,又f（1）=-e<0,同样有f（）>0,所以此时f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一个零点.综上当a＞0时，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有两个零点a≤0时，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一个零点.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、数形结合方法、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.（本题满分12分）已知是等比数列{}的前项和，、、成等差数列.(Ⅰ)求数列{}的公比；(Ⅱ)求证、、成等差数列.参考答案：（Ⅰ）由成等差数列得--------------------2分这里，事实上若,则,故,得

,与题设矛盾.所以------------------------------3分从而，整理得

-----------6分.因为,所以---------------8分（Ⅱ）∴成等差数列--------------------------------------12分21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，BD=4，AB=2CD=8．（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？（Ⅲ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．参考答案：考点：平面与平面垂直的判定；棱锥的结构特征；直线与平面平行的性质．专题：计算题；证明题；综合题；转化思想．分析：（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明平面MBD内的直线BD垂直平面PAD，即可证明平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）M点位于线段PC靠近C点的三等分点处，证明PA∥MN，MN?平面MBD，即可证明PA∥平面MBD．（Ⅲ）过P作PO⊥AD交AD于O，说明PO为四棱锥P﹣ABCD的高并求出，再求梯形ABCD的面积，然后求四棱锥P﹣ABCD的体积．解答：证明：（Ⅰ）在△ABD中，∵AD=4，，AB=8，∴AD2+BD2=AB2．∴AD⊥BD．（2分）又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，∴BD⊥平面PAD．又BD?平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD．（4分）

（Ⅱ）当M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，PA∥平面MBD．（5分）证明如下：连接AC，交BD于点N，连接MN．∵AB∥DC，所以四边形ABCD是梯形．∵AB=2CD，∴CN：NA=1：2．又∵CM：MP=1：2，∴CN：NA=CM：MP，∴PA∥MN．（7分）∵MN?平面MBD，∴PA∥平面MBD．（9分）

（Ⅲ）过P作PO⊥AD交AD于O，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．即PO为四棱锥P