专题16北师大版数学必修二全册综合测试题（解析版）-高一数学期末复习冲刺卷（北师大版）

专题16：北师大版数学必修二全册综合测试题（解析版）一、单选题1．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（）A．1 B． C．或1 D．2或1【答案】D【分析】讨论和两种情况，分别求出截距，截距相等即可求解.【详解】当，即时，直线化为，它在两坐标轴上的截距为0，满足题意；当，即时，直线化为，它在两坐标轴上的截距为，解得；综上所述，实数或.故选：D【点睛】易错点点睛：本题的需讨论的情况，此时横纵截距都为，此情况容易遗漏.2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（）A．圆柱 B．圆锥C．球体 D．圆柱､圆锥､球体的组合体【答案】C【分析】由于圆柱､圆锥的底面不是曲线，若截面与底面相交，则截面不可能是圆面，而球的任意截面都是圆，从而可得答案【详解】当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面.故选：C.3．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题中条件，得到圆的半径，进而可得圆的方程.【详解】以点为圆心且与轴相切的圆的半径为，故圆的标准方程是.故选：C.4．若直线与直线平行，则实数m的值等于（）A．1 B． C．1或 D．或【答案】A【分析】利用两直线平行斜率相等且截距不相等或斜率都不存在即可求解.【详解】直线的斜率为，斜率存在，直线的斜率为：，若两直线平行则，即，解得：或，当时两直线重合，所以，故选：A5．如图，在三棱柱中，底面，，，那么三棱锥的体积是（）A． B． C．4 D．8【答案】A【分析】椎体的体积公式，因此要找到三棱锥的高和底面，由题知为高，底面为直角三角形，代入公式计算即可.【详解】底面为三棱锥的高为底面故选：A.6．圆上的点到直线的距离的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出圆心到直线的距离，加上半径最大值，减去半径最小值即可求解.【详解】，圆心，半径，圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的距离的最小值为，最大值为，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为.故选：A7．设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且直线l与圆x2＋y2＝4相交所得的弦长为2，O为坐标原点，则面积的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】根据圆的垂径定理，结合点到直线距离公式、重要不等式进行求解即可.【详解】由直线与圆相交所得的弦长为2，圆的半径为2，由垂径定理可知：圆心到直线的距离，由点到直线距离公式得：＝，所以m2＋n2＝≥2|mn|，当且仅当m＝n时等号成立.所以|mn|≤，又A，B，所以AOB的面积S＝≥3，故AOB面积的最小值为3.故选：C8．在正四面体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】取的中点为，可得，即为所求（或其补角），在中利用余弦定理求解即可.【详解】设正四面体的棱长为2，取的中点为，因为是棱的中点，所以，所以即为所求（或其补角）.在中，，,所以.故选：A.9．直线平面，直线直线，则直线与平面的位置关系是（）A．平行 B．在面内 C．相交 D．平行或相交或在面内【答案】D【分析】根据题意，利用长方体模型分析即可得答案.【详解】解：如图长方体中，设平面为平面，为直线，则直线可以是，而直线与平面的关系分别为：在面内，相交，平行；故直线与平面的位置关系是：平行或相交或在面内故选：D.【点睛】方法点睛：本题解题的关键是利用长方体模型进行解决，考查空间思维能力，是基础题.10．在空间中，、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，则【答案】C【分析】由线面关系和面面关系的性质和判定依次分析即可得出.【详解】对于A，若，则或，故A错误；对于B，若，则或，故B错误；对于C，若则，故C正确；对于D，若，，则与平面可能平行可能相交，也可能在平面内，故D错误；故选：C.11．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】求得点关于轴的对称点，设反射光线所在直线的斜率为，得出反射光线所在直线方程，根据直线与圆相切，列出方程，即可求解.【详解】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点，设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线方程为，即，又由反射光线与圆相切，可得，整理得，解得或.故选：D.12．如图一所示，在平面内，点为圆O的直径的延长线上一点，，过动点作圆的切线，满足，则的面积的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴建立直角坐标系，利用两点间距离公式推导出点的轨迹方程，可得点到距离的最大值，由此能求出的面积的最大值.【详解】以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴建立直角坐标系，因为，所以，设因为过动点作圆的切线，满足，所以，整理得：，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，所以当点在直线上时，此时点到距离最大，的面积的最大，所的面积最大为，故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是建立直角坐标系，设，利用，即可求出点的轨迹方程，可得点到距离的最大值，即为三角形高最大，从而的面积最大.二、填空题13．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______.【答案】【分析】连，，则，可得即为与所成的角或其补角，然后在中利用余弦定理可得答案.【详解】连，，则，所以即为与所成的角或其补角，在中，，，所以由余弦定理得，所以异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：14．通过直线与圆的交点，并且过点的圆的标准方程是___________.【答案】【分析】首先判断直线与圆的位置关系及点与圆的位置关系，即可判断所求圆的方程即为该圆的方程.【详解】因为，即，圆心为，半径为，圆心到直线的距离，即直线与圆相交，又点满足，即点在圆上，故所求的圆的标准方程为.故答案为：.15．已知点是直线上一动点，直线，是圆的两条切线，，为切点，为圆心，则四边形面积的最小值是______.【答案】2【分析】根据切线的性质可将面积转化为，求出的最小值即到直线的距离.【详解】圆化为，可得圆心为，半径为1，如图，可得，，则当取得最小值时，最小，点是直线上一动点，到直线的距离即为的最小值，，.故答案为：2.【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆相切问题，解题的关键是利用切线性质将面积转化为，即求的最小值即可.16．直三棱柱内有一个体积为的球，若是边长为的等边三角形，，则的最大值为________【答案】【分析】根据题意，为使球的体积尽可能的大时，球需与三棱柱内切，先保证截面圆与内切，记截面圆的半径为，根据题中条件，由面积公式，求出，判断此时不能满足球在该棱柱内，为使球在在棱柱内，且体积最大，只能球与棱柱的上下底面相切，进而可得半径，求出体积.【详解】由题意知，为使球的体积尽可能的大时，球需与三棱柱内切，先保证截面圆与内切，记截面圆的半径为，则，即，所以，又直三棱柱的高为，此时不能满足球在该棱柱内，因此为使球在棱柱内，且体积最大，只能球与棱柱的上下底面相切，即，球的半径最大只能是，此时.故答案为：.【点睛】关键点点睛：几何体与球的切接问题，“切”的处理，解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体与旋转体，解答时，首先要找准切点，通过作截面来解决；“接”的处理，把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题，解决此类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体各顶点的距离等于球的半径，再结合几何体的结构特征求解.三、解答题17．已知直线，直线．（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据两直线垂直得出关于实数的方程，解出即可；（2）根据两直线平行得出关于实数的方程，解出即可.【详解】（1）根据题意，已知直线，直线，若，必有，即，解得；（2）若，必有，整理得，解得.【点睛】本题考查利用两直线平行与垂直求参数，解题时要结合两直线的位置关系列出方程或不等式求解，考查运算求解能力，属于基础题.18．如图，在三棱锥P-ABC中，平面ABC且，D、E分别为PC、AC的中点.（1）求证：平面BDE；（2）求证：平面平面PAC.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由三角形中位线定理可得，由线面平行判定定理可得结果；（2）推导出，，从而平面PAC，由此能证得结果.【详解】（1）∵D、E分别为PC、AC的中点，∴，∵平面BDE，平面BDE，∴平面BDE．（2）∵在三棱锥P-ABC中，平面ABC，，D、E分别为PC、AC的中点，∴，，∵，∴平面PAC．∵平面ABC，∴平面BDE⊥平面PAC．19．已知圆，直线.（1）若直线平分圆，求的值；（2）若直线被圆截得的弦长为，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出圆的圆心坐标，由题意可知，直线过圆心，将圆心的坐标代入直线的方程，即可求得实数的值；（2）由勾股定理计算得出圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.【详解】（1）由于直线平分圆，则直线过圆心，则，解得；（2）由勾股定理可知，圆心到直线的距离为，另一方面，由点到直线的距离公式可得，解得.20．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，．（1）若为的中点，求证：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）运用三角形中位线定理、平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理进行证明即可.（2）利用三棱锥的等积性，结合三棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】（1）如图，取的中点，连接，．在中，∵是的中点，∴，，在直角梯形中，过做，垂足为，，所以，又，，∴，，∴四边形为平行四边形，∴．又平面，平面，∴平面．（2），又，因为平面，平面，所以，在直角三角形中，，因此，所以．21．已知圆：，直线：.（1）当直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程.（2）已知点是圆上任意一点，在轴上是否存在两个定点，，使得？若存在，求出点，的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）直线的方程为或；（2）满足题意的定点，存在，其坐标为，或，.【分析】（1）求出圆心到直线的距离，再由弦长公式得出直线的方程；（2）设，，，由结合距离公式化简得出恒成立，再由求出点，的坐标.【详解】（1）由已知可得圆心，.圆心到直线的距离.因此.，解得，直线的方程为或.（2）设，，由已知可得，且，化简得.即恒成立所以，解得，或所以满足题意的定点，存在，其坐标为，或，.22．如图，在边长为的菱形中，现沿对角线把折起，折起后使的余弦值为（1）求二面角.（2）若是的中点，求到面的距离.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦定理求出，取中点，连接可证即为的平面角，再在中利用余弦定理计算可得；（2）依题意可证面，则求出体积，再求