函数的单调性与导数Word版含解析3

3.3导数在研究函数中的应用3.学习目标核心素养1．理解函数的单调性与导数的关系．(重点)2．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．(重点)3．能根据函数的单调性求参数．(难点)1．通过学习函数单调性与导数的关系，培养学生数学抽象与直观想象的素养．2．借助导数求函数的单调性，培养逻辑推理和数学运算的素养.1．函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常函数(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：函数的单调性导数单调递增f′(x)≥0单调递减f′(x)≤0常函数f′(x)＝0思考：在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？[提示]必要不充分条件．2．函数的变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．1．函数y＝x3＋x的单调递增区间为()A．(0，＋∞) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)D[y′＝3x2＋1>0，故选D．]2．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上()A．增函数 B．减函数C．先增后减 D．先减后增A[∵f(x)＝2x－sinx，∴f′(x)＝2－cosx>0，∴f(x)在R上是增函数．]3．若函数f(x)的导数f′(x)＝x(x－2)，则f(x)在区间________上单调递减．[0,2][∵f′(x)＝x(x－2)，由f′(x)≤0得，0≤x≤2，∴f(x)在[0,2]上单调递减．]导数与函数图象的关系【例1】(1)f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()(2)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的()(1)D(2)C[(1)由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势．由已知可得x的取值范围和f′(x)的正、负，f(x)的增减变化情况如下表所示：x(－∞，0)(0,2)(2，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)↗↘↗由表可知f(x)在(－∞，0)内递增，在(0,2)内递减，在(2，＋∞)内递增，满足条件的只有D，故选D．(2)由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：x(－1，b)(b，a)(a,1)f(x)↘↗↘f′(x)－＋－由表可知函数y＝f′(x)的图象，当x∈(－1，b)时，函数图象在x轴下方；当x∈(b，a)时，函数图象在x轴上方；当x∈(a,1)时，函数图象在x轴下方．故选C．]对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图象.eq\o([跟进训练])1．函数y＝f(x)在定义域eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集为__________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))∪(2,3)[根据导数和图象单调性的关系知当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))∪(2,3)时f′(x)<0.]利用导数求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝3x2－lnx；(2)f(x)＝－eq\f(1,3)ax3＋x2＋1(a≤0)．[思路点拨]eq\x(求定义域)→eq\x(求导数)→eq\x(解不等式f′x<0或f′x>0)→eq\x(写单调区间)[解](1)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－eq\f(1,x)＝eq\f(6x2－1,x)，令f′(x)>0，则eq\f(6x2－1,x)>0.又x>0，则6x2－1>0，解得x>eq\f(\r(6),6).所以函数的单调增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)，＋∞)).令f′(x)<0，则eq\f(6x2－1,x)<0，解得0<x<eq\f(\r(6),6)，所以函数的单调减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),6))).(2)因为f′(x)＝－ax2＋2x(a≤0)，当a＝0时，f′(x)＝2x，函数在(－∞，0)上是递减的，在(0，＋∞)上是递增的，当a<0时，令f′(x)>0，则－ax2＋2x>0，解得x>0或x<eq\f(2,a)，所以函数的单调增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,a)))，(0，＋∞)．令f′(x)<0，则－ax2＋2x<0，解得eq\f(2,a)<x<0，所以函数的单调减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，0)).综上，当a＝0时，函数在(－∞，0)上是递减的，在(0，＋∞)上是递增的；当a<0时，函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,a)))和(0，＋∞)上是递增的，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，0))上是递减的．利用导数求函数fx的单调区间的一般步骤1确定函数fx的定义域；2求导数f′x；3在函数fx的定义域内解不等式f′x>0和f′x<0；4根据3的结果确定函数fx的单调区间.提醒：如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开.eq\o([跟进训练])2．求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝eq\f(lnx,x)；(2)f(x)＝eq\f(x,x2＋4)；(3)f(x)＝ex－x.[解](1)函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2).令f′(x)>0，即1－lnx>0，解得0<x<e；令f′(x)<0，即1－lnx<0，解得x>e.所以函数的单调递增区间是(0，e)，递减区间是(e，＋∞)．(2)函数定义域为R，f′(x)＝eq\f(x′·x2＋4－x·x2＋4′,x2＋42)＝eq\f(4－x2,x2＋42).令f′(x)>0，即4－x2>0，解得－2<x<2；令f′(x)<0，即4－x2<0，解得x<－2或x>2；所以函数的单调递增区间是(－2,2)，递减区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)．(3)函数定义域为R，f′(x)＝ex－1.令f′(x)>0，即ex－1>0，解得x>0；令f′(x)<0，即ex－1<0，解得x<0；所以函数的单调递增区间是(0，＋∞)，递减区间是(－∞，0)．已知函数的单调性求参数的取值范围[探究问题]1．在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)＞0是y＝f(x)在某个区间上递增的充分条件．2．一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有什么关系？提示：函数的单调性导数单调递增f′(x)≥0且f′(x)不恒为0单调递减f′(x)≤0且f′(x)不恒为0常函数f′(x)＝0【例3】已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围；(2)若f(x)的递减区间为(－1,1)，求a的取值范围；(3)若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．[解](1)因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，即a≤3.(2)f′(x)＝3x2－a.①当a≤0时，f′(x)≥0，无减区间，不满足条件．②当a>0时，令3x2－a＝0，得x＝±eq\f(\r(3a),3)；当－eq\f(\r(3a),3)<x<eq\f(\r(3a),3)时，f′(x)<0.因此f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－eq\f(\r(3a),3)，eq\f(\r(3a),3)))上为减函数．所以eq\f(\r(3a),3)＝1，即a＝3，综上a的取值范围为{a|a＝3}．(3)f′(x)＝3x2－a，当a≤0时，－a≥0，f′(x)≥0恒成立，满足在区间(－1,1)上是递增的，不符合题意，舍去；当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝±eq\f(\r(3a),3)(a>0)．因为f(x)在区间(－1,1)上不单调，所以0<eq\f(\r(3a),3)<1，即0<a<3.综上a的取值范围为(0,3)．1．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．2．恒成立问题的重要思路(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max.(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.eq\o([跟进训练])3．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增加的，求t的取值范围．[解]由题意得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，∴f′(x)＝－3x2＋2x＋t.若f(x)在(－1,1)上是增加的，则在(－1,1)上f′(x)≥0恒成立．即t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立．考虑函数g(x)＝3x2－2x＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－eq\f(1,3)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,3)，x∈(－1,1)显然g(x)<g(－1)，故t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立⇔t≥g(－1)，即t≥5.而当t≥5时，f′(x)在(－1,1)上满足f′(x)>0，即f(x)在(－1,1)上是增加的．故t的取值范围是[5，＋∞).1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．在利用导数讨论函数的单调性时，首先要确定函数的定义域，在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调性．3．如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连接，可用“，”隔开或用“和”连接．特别提醒：(1)在对函数划分单调区间时，除了注意使导数等于零的点，还要注意在定义域内不连续的点和不可导的点．(2)当不等式f′(x)>0或f′(x)<0不易求解时，可通过列表的方法求函数f(x)的单调区间．(3)区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响．1．判断正误(1)“在区间I上，f′(x)<0”是“f(x)在I上单调递减”()(2)若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f(x)在(a，b)上各点处的切线的倾斜角都是锐角． ()(3)单调递增函数的导函数也是单调递增函数． ()(4)如果函数f(x)在(a，b)上变化得越快，其导数就越大． ()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×2．函数f(x)＝x＋lnx在(0,6)上是()A．增函数B．减函数C．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上是减函数，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，6))上是增函数D．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上是增函数，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，6))上是减函数A[∵f(x)＝x＋lnx的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝1＋eq\f(1,x)>0，∴f(x)在(0,6)上是增函数．]3．在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)<0的解集为()A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－2，－1)∪(1,2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)A[当x>0时，f′(x)<0，此时0<x<1，当x<0时，f′(x)>0，此时x<－1，因此xf′(x)<0的解集为(－∞，－1)∪