高二数学选修课件：直线与圆锥曲线

2．5直线与圆锥曲线1．知识与技能掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定，直线和圆锥曲线相交时弦长的计算、弦的中点及与相交的问题等．圆锥曲线的最值问题．2．过程与方法掌握利用方程思想研究直线与圆锥曲线之间的关系的方法．3．情感态度与价值观通过本节学习，让学生体验研究解析几何的基本思想和基本方法．提高学生分析和解决问题的能力．重点：直线与圆锥曲线的位置关系．难点：直线和圆锥曲线的综合问题和最值问题．1．对于联立直线方程和圆锥曲线方程所得到的一元二次方程，一定要对二次项系数是否为零进行判断．当二次项系数为零，得到惟一解，此时是直线与双曲线或抛物线相交的情况，而不是相切的．2．涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用点差法，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法．3．牵涉到直线与圆锥曲线的相交问题，且求解的问题涉及到两根之和或两根之差的形式，均可采用韦达定理的方法进行转化，试试是否可行，但千万不可忽视，“Δ”是前提保障．4．直线与圆锥曲线位置关系的判定，也可采用数形结合的方法，尤其在双曲线中要注意渐近线的特殊性．6．对于有关范围问题研究，一般从判别式“Δ”考虑，尤其是与交点问题的考虑；有些时候也要从曲线方程本身的限制着手；也有些要从式子的特征考虑．例如m2就要求m2≥0，我们还可了解椭圆、双曲线、抛物线内部(包含焦点的部分)点所具有的不等式关系．7．求最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值问题；二是求直线或圆锥曲线中的几何元素的最值以及这些元素存在时确定与之有关的一些问题．在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、基本不等式等使问题获解．同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件．1．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线C：f(x，y)＝0，消去y(或消去x)，得到关于x(或y)的方程mx2＋nx＋p＝0，此时方程组的个数与方程mx2＋nx＋p＝0的解的个数是一致的，当m≠0时，(m＝0时在双曲线中是与渐近线平行的直线，与双曲线相交但只有一个交点；在抛物线中是与对称轴平行的直线，也与抛物线相交但只有一个交点．)方程mx2＋nx＋p＝0是一个一元二次方程，此时方程解的个数(即为直线与圆锥曲线交点的个数)可由判别式Δ＝b2－4ac来判断如下：(1)Δ>0⇔相交；(2)Δ＝0⇔相切；(3)Δ<0⇔相离．2．“设而不求”的方法、韦达定理和弦长公式．(1)设而不求的方法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B，一般地，首先设出坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中有四个参数x1，y1，x2，y2它们的作用，只是过渡性符号，通常是不要求求出的，但有利于用韦达定理等解决问题，是直线和圆锥曲线位置关系中常用的方法．3．与辱弦的鉴中点柳有关钟问题巴求解唯常用贪方法兼：(1冈)韦达乳定理姓法：利用蝴到韦裳达定居理中晃两根态之和弓形式他与中胁点公归式的鹅联系宇．(2骂)点差享法：将点衰的坐福标代袄入曲熊线方除程，雀对方宏程作肠差，惊利用溜平方炸差公果式可蒙出现控中点老形式假和斜晚率形青式．[例1]若直瞒线y＝kx＋1与焦派点在x轴上笨的椭坊圆锋＝1总有遇公共派点，燥求m的取呜值范扑围．[分析]直线风与椭走圆的亮位置推关系祥由椭片圆方脚程与胸直线柱方程和组成炒的方馆程组活的实谢数解紫的个损数来挽确定缩慧，通汪常先椒消元燥再利烫用判倚别式蓄，可发求m的取朗值范甩围．(m＋5k2)x2＋10kx＋5(竹1－m)＝0，∴Δ＝10百0k2－20您(m＋5k2)(疼1－m)＝20m(5k2＋m－1)．∵直线霞与椭议圆总长有公消共点眉，∴Δ≥0对任瓶意k∈R都成挠立．∵m>0，∴5k2≥1－m恒成读立，∴1－m≤0，即m≥1；又姻椭圆剖的焦离点在x轴上精，∴0<m<5，∴1≤m<5样.求过企点P(0堂,1至)且与文抛物淋线y2＝x只有邮一公农共点植的直拥线方抵程．[例2]顶点环在原仗点，雾焦点萝在x轴上寒的抛翻物线非截直蒜线y＝2x－4所得泻弦长|AB|＝3，求融抛物形线方棵程．[分析]设出离抛物违线的尸方程卸，运较用公央式求惊解．抛物赵线的厘顶点汉在原竭点，桃以x轴为旧对称缓轴，佛经过矿焦点送且倾轻斜角餐为13墓5°的直维线，皂被抛拔物线储所截臣得的裳弦长输为8，试拳求抛炭物线隔方程出．[例3]求过攻定点(0剖,1虾)的直揭线被强双曲屋线x2－间＝1截得互的弦岔中点颈轨迹嚼方程驰．[解析]因为挤斜率菠不存垄在时疮该直亲线与贫双曲萍线无奋交点症，所欠以设立直线权的方材程为y＝kx＋1.设它常被双桥曲线怕截得倾的弦AB对应朽的中佛点为P(x，y)．设椭玻圆x2＋3y2＝3与直坛线y＝kx＋m(k≠0)相交寇于不获同的范两点M，N，A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，些求m的取煤值范壤围．[例4]在平训面直姐线坐与标系xO楚y中，域抛物陆线y＝x2上异渴于坐己标原音点O的两滩不同支动点A、B满足AO⊥BO(如图圆所示)．(1滑)求△AO侮B的重笼心G(即三全角形喇三条锤中线够的交薯点)的轨猴迹方框程；(2奖)△AO烈B的面坐积是掌否存栋在最株小值卷？若毁存在宁，请到求出宣最小尿值；艇若不剧存在雷，请坡说明铲理由戚．[分析]重心董轨迹敲可由康重心坐饼标公聚式建踩立等阔式．[说明]本题艳考查狂直线葵与抛陆物线袄的位胞置关填系、丽轨迹菊问题微、最撞值问扯题，列考查需了推求理运解算能爷力及子综合受运用曲知识舟解题副的能贸力．已知酬直线l为椭证圆x2＋4y2＝4的切料线，浆并与追坐标填轴交低于A、B两点颂．试逗求|AB|的最汽小值况；若板椭圆伙和圆C：(x－1)2＋y2＝r2永远扮相交廉，试炼求r的最材小值寇和最而大值桨．[例5]已知冤双曲映线x2－限＝1，过腹点A(1效,1证)能否心作直格线m，使m与已缎知双眯曲线倘交于Q1，Q2两点赤，且A是线矿段Q1Q2的中丈点，吃这样撞的直蒸线m如果于存在丘，求宗出它昏的方瓦程；朗如果酸不存术在，中说明丛理由垄．[分析]假设临存在讯，代单入曲殿线方屯程，预由中麻点坐件标公塔式建织立联时系，仍或用熄点差岭法求僻解．[说明]这是和一类“探索格性”或“存在裕性”问题侧，解飘决这配类问趣题的为思路盆是，梦先假垫设存被在，至然后董利用近已知榆条件疗求解茶，若风求不罪出，拍则说恳明不炕存在酒，若们求出错，则僚也不鲜一定向存在往，还植需看华是否椒符合瓜题意腹，本告例中掀涉及歪到直促线与到双曲拖线相再交，愧必须态满足林联立蛮方程常后整药理出刘来的狐方程时的判王别式Δ>0，结你果发台现当k＝2时，梅联立必后的另方程烟无解显，所塌以此筛直线伟不存测在．若将千例题眼中的版双曲序线方娱程换除为疗－y2＝1其他捉不变赴，该普如何价解决都此题骑？[例6]已知狮直线y＝kx－1与双顾曲线x2－y2＝1的左飘支交季于A、B两点励，若椒另一钢条直哨线l经过P(－2,弄0)及线蜜段AB的中弹点Q.(1维)求k的取抓值范校围．(3孟)求直口线l在y轴上芬的截瓶距b的取章值范币围．[辨析]直线倦与二换次曲销线相破交，碎将直农线方临程代转入曲默线方涛程化殃为关扣于x(或y)的方贸程后迹，注蓬意：①二次送项系述数不窗为0；②Δ>0还是Δ≥0；③韦达则定理薯．一、漂选择肯题1．如弟图所幕示，舌若ab≠0且a≠b，则ax－y＋b＝0与bx2＋ay2＝ab，所洋表示垫的曲层线只鞋可能唱是()[答案]C[解析]过(2伶,0榆)点作喊直线l∥y轴交拿渐近攀线于A(2鸦,2孩)，B(2，－2)两点出，直喜线y＝k(x－2)＋b过(2，b)，当(2，b)点在鞠线段AB上时批，总渠有交东点，闻故选C.[答案]D[答案]B[解析]将y＝x代入y＝ax2＋1得ax2－x＋1＝0，∵相切步，∴Δ＝0，即1－4a＝0，∴a＝.故选B.二、肆填空俗题4．曲浮线x2＋(y－1)2＝4与直坦线y＝k(x－2)＋4有两惩个不礼同的选交点印，则k的取柄值范楚围是__聚__览__秘__．5．一流个正圾三角缝形三英个顶膜点都抛在抛辛物线y2＝4x上，咏其中扭一个拒顶点刘为坐锹标原称点，