高考一轮复习之数列与数学归纳法

第三章数列及数学归纳法数学归纳法函数定义数学归纳法函数定义通项公式等差(比)中项前n项和公式性质数列的定义数列及正整数集合的关系等差数列、等比数列应用高考实力要求1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能依据递推公式写出数列的前几项．2、理解等差数列的概念，驾驭等差数列的通项公式及前n项和的公式，并能解决简洁的实际问题．3、理解等比数列的概念，驾驭等比数列的通项公式及前n项和公式，并能解决简洁的实际问题．4、理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简洁的数学命题．高考热点分析纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用是必考内容，数列及函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点．从解题思想方法的规律着眼，主要有：①方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的“知三求二”问题；②函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③待定系数法、分类探讨等方法的应用．高考复习建议数列部分的复习分三个方面：①重视函数及数列的联系，重视方程思想在数列中的应用．②驾驭等差数列、等比数列的基础学问以及可化为等差、等比数列的简洁问题，同时要重视等差、等比数列性质的敏捷运用．③要设计一些新奇题目，尤其是通过探究性题目，挖掘学生的潜能，培育学生的创新意识和创新精神，数列综合实力题涉及的问题背景新奇，解法敏捷，解这类题时，要引导学生科学合理地思维，全面敏捷地运用数学思想方法．数列部分重点是等差、等比数列，而二者在内容上是完全平行的，因此，复习时应将它们对比起来复习；由于数列方面的题目的解法的敏捷性和多样性，建议在复习这部分内容时，要启发学生从多角度思索问题，提倡一题多解，培育学生思维的广袤性，养成良好的思维品质．3．1数列的概念学问要点1．数列的概念数列是按肯定的依次排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N*或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a1，a2，…，an…，简记为{an}，其中an是数列{an}的第项．2．数列的通项公式一个数列{an}的及之间的函数关系，假如可用一个公式an＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．3．在数列{an}中，前n项和Sn及通项an的关系为：4．求数列的通项公式的其它方法⑴公式法：等差数列及等比数列采纳首项及公差(公比)确定的方法．⑵视察归纳法：先视察哪些因素随项数n的改变而改变，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最终用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．⑶递推关系法：先视察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式．例题讲练【例1】依据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式．⑴－，，－，…；⑵1，2，6，13，23，36，…；⑶1，1，2，2，3，3，…．【例2】已知数列{an}的前n项和Sn，求通项．⑴Sn＝3n－2⑵Sn＝n2＋3n＋1【例3】依据下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式．⑴a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)⑵a1＝1，an＝(n≥2)⑶a1＝1，an＝(n≥2)【例4】已知函数＝2x－2－x，数列{an}满意＝－2n，求数列{an}通项公式．小结归纳1．依据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项及项数之间的关系，常用的方法有视察法、通项法，转化为特别数列法等．2．由Sn求an时，用公式an＝Sn－Sn－1要留意n≥2这个条件，a1应由a1＝S1来确定，最终看二者能否统一．3．由递推公式求通项公式的常见形式有：an＋1－an＝f(n)，＝f(n)，an＋1＝pan＋q，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）．基础训练题一、选择题1．某数列{an}的前四项为0，，0，，则以下各式：①an＝[1＋(－1)n]②an＝③an＝其中可作为{an}的通项公式的是 （）A．① B．①②C．②③ D．①②③2．函数f(x)满意f(n＋1)＝（n∈N*）且f(1)＝2，则f(20)＝ （）A．95 B．97 C．105 D．1923．（2005年山东高考）{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，假如an＝2005，则序号n等于 （）A．667 B．668C．669 D．6704．已知数列{an}满意an·an－1＝an－1＋(－1)n(n≥2)，且a1＝1，则＝ （）A． B．C． D．5．已知数列，3，，…，那么9是它的第几项 （）A．12 B．13C．14 D．156．依据市场调查结果，预料某种家用商品从年初起先n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满意Sn＝（21n－n2－5）（n＝1，2，…，12）．按此预料，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 （）A．5月，6月 B．6月，7月C．7月，8月 D．8月，9月二、填空题7．已知an＝（n∈N*），则数列{an}的最大项为第项．8．已知数列{an}的前n项的和Sn满意关系式lg(Sn－1)＝n，(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为．9．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(n≥1)，且a4＝54，则a1的数值是．10．已知数列{an}的前n项和Sn＝，则数列{}的前n项和Tn＝．三、解答题11．（2002·天律）已知{an}是由非负整数组成的数列，满意a1＝0，a2＝3，an+1·an＝(an－1＋2)(an－2＋2)，n＝3，4，5…，求a3．12．(2005年山东高考)已知数列{an}的首项a1＝5．前n项和为Sn且Sn＋1＝2Sn＋n＋5（n∈N*）．(1)证明数列{an＋1}是等比数列；(2)令f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，求函数f(x)在点x＝1处导数f1(1)．13．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求该数列的通项公式．提高训练题14．已知an＝(n∈N)，试问：数列{an}有没有最大项，假如有，求出最大项；假如没有，说明理由．15．已知数列{an}的前n项和Sn满意Sn＝2an＋(－1)n，n≥1．(1)写出数列{an}的前3项a1，a2，a3；(2)求数列{an}的通项公式．3．2等差数列学问要点1．等差数列的定义：－＝d（d为常数）．2．等差数列的通项公式：⑴an＝a1＋×d⑵an＝am＋×d3．等差数列的前n项和公式：Sn＝＝．4．等差中项：假如a、b、c成等差数列，则b叫做a及c的等差中项，即b＝．5．数列{an}是等差数列的两个充要条件是：⑴数列{an}的通项公式可写成an＝pn＋q(p,q∈R)⑵数列{an}的前n项和公式可写成Sn＝an2＋bn(a,b∈R)6．等差数列{an}的两个重要性质：⑴m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，则．⑵数列{an}的前n项和为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成数列．例题讲练【例1】在等差数列{an}中，(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．【例2】已知数列{an}满意a1＝2a，an＝2a－（n≥2）．其中a是不为0的常数，令bn＝．⑴求证：数列{bn}是等差数列．⑵求数列{an}的通项公式．【例3】已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{}前n项和。求Tn．【例4】美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：⑴从第几年起先，其次种方案比第一种方案总共加的工资多？⑵假如在该公司干10年，问选择其次种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？⑶假如其次种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元．问a取何值时，总是选择其次种方案比第一种方案多加工资？小结归纳1．欲证{an}为等差数列，最常见的做法是证明：an＋1－an＝d(d是一个及n无关的常数)．2．a1，d是等差数列的最关键的基本量，通常是先求出a1，d，再求其他的量，但有时运算较繁．3．对等差数列{an}的最终若干项的求和，可以把数列各项的依次颠倒，看成公差为－d的等差数列进行求和．4．遇到及等差数列有关的实际问题，须弄清是求项的问题还是求和的问题．基础训练题一、选择题1．已知数列{an}满意：a1＝14，an＋1＝an－（n∈N*），则使an·an＋2<0成立的n的值是 （）A．19 B．20 C．21 D．222．已知等差数列{an}满意a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有 （）A．a1＋a101＞0 B．a2＋a100＜0C．a3＋a99＝0 D．a51＝513．已知数列{an}，an＝－2n＋25，当Sn达到最大值时，n为 （）A．10 B．11 C．12 D．134．(2005年全国)假如a1、a2，…a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则 （）A．a1a8＞a4a5 B．a1a8＜C．a1＋a8＞a4＋a5 D．a1a8＝a45．等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中肯定值最小的一项为 （）A．a8 B．a9C．a10 D．a116．在等差数列{an}中，S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为 （）A．7 B．8 C．9 D．10二、填空题7．等差数列{an}中，a1＝1，公差为d，当a1a2＋a2a3取得最小值时，d＝8．(2003年·上海)在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝．9．已知{}为等差数列且a2＝－1，a4＝＋1，那么a10＝．10．等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，且S6<S7，S7>S8，结合下列命题：⑴当n≤7时，Sn是递增的，当n>7时，Sn是递减的．⑵S9肯定小于S6．⑶a7>0，a8<0．⑷S13<0．其中正确命题的序号是（把你认为正确的命题序号都填上）．三、解答题11．有两个等差数列{an}，{bn}，，求的值．12．已知数列{an}前n项和Sn＝n2－9n．(1)求证：{an}为等差数列；(2)求Sn的最小值及相应的n；(3)记数列{}的前n项和为Tn，求Tn表达式．13．下表给出一个“等差数阵”．47()()()…a1j…712()()()…a2j…()()()()()…a3j…()()()()()…a4j………ai1ai2ai3ai4ai5…aij………其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．⑴写出a45的值．⑵写出aij的计算公式．⑶证明正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N＋1可以写成两个不是1的正整数之积．提高训练题14．已知函数f(x)＝abx的图象过点A（4，）和B(5，1)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)记an＝log2f(n)，n是正整数，Sn是数列{an}的前n项和，解关于n的不等式anSn≤(3)对于(2)中的an及Sn，整数96是否为数列{anSn}中的项？若是则求出相应的项数；若不是，则说明理由．15．设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn．⑴若首项a1＝，公差d＝1，求满意的正整数k．⑵求全部的无穷等差数列{an}，使得对一切正整数k都有成立．3．3等比数列学问要点1．等比数列的定义：＝q（q为不等于零的常数）．2．等比数列的通项公式：⑴an＝a1qn－1⑵an＝amqn－m3．等比数列的前n项和公式：Sn＝4．等比中项：假如a，b，c成等比数列，那么b叫做a及c的等比中项，即b2＝（或b＝）．5．等比数列{an}的几个重要性质：⑴m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则．⑵Sn是等比数列{an}的前n项和且Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成数列．⑶若等比数列{an}的前n项和Sn满意{Sn}是等差数列，则{an}的公比q＝．例题讲练【例1】已知等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求项数n和公比q的值．【例2】设等比数列{an}的公比为q(q>0)，它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前n项中数值最大项为27，求数列的第2n项．【例3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数及第四个数的和是16，其次个数及第三个数的和是12，求这四个数．【例4】已知函数f(x)＝(x－1)2，数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的等比数列(q≠1)，若a1＝f(d－1)，a3＝f(d＋1)，b1＝f(q－1)，b3＝f(q＋1)，(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}对随意的自然数n均有：，求数列{cn}前n项和Sn．小结归纳1．在等比数列的求和公式中，当公比q≠1时，适用公式Sn＝，且要留意n表示项数；当q＝1时，适用公式Sn＝na1；若q的范围未确定时，应对q＝1和q≠1探讨求和．2．在等比数列中，若公比q>0且q≠1时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项．3．若有四个数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何奇妙地设这四个数，一般是设为x－d，x，x＋d，再依题意列出方程求x、d即可．4．a1及q是等比数列{an}中最活跃的两个基本量．基础训练题一、选择题1．在等比数列{an}中，首项a1<0，则{an}是递增数列的充要条件是公比q满意 （）A．q>1 B．q<1C．0<q<1 D．q<02．若等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋a，则a等于（）A．3 B．1C．0 D．－13．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值为 （）A． B．－ C．－或 D．4．在等比数列{an}中，若a1＋a2＋…an＝2n－1，则等于 （）A．(2n－1)2 B．(2n－1)C．4n－1 D．(4n－1)5．等比数列{an}中，an>0，a5·a6＝81，则log3a1＋log3a2＋…＋log3A．12 B．16 C．18 D．206．已知数列{an}满意a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，则当n≥1时，an等于 （）A．2n B．C．2n－1 D．2n－1二、填空题7．设k≠0，则等比数列a＋k，a＋k，a＋k的公比是．8．已知等比数列{an}中，a1·a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝．9．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则＝．10．在等比数列{an}中，a1＝3，q＝4，使Sn＞3000的最小自然数n＝．三、解答题11．已知等比数列{an}前n项和Sn＝2n－1，{an2}前n项和为Tn，求Tn的表达式．12．已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，a1＋2a2＝0，S4－S2＝．(1)求an的表达式；(2)解关于n的不等式an≥．13．已知：f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn（n∈N*），且f(1)＝n2．⑴求an．⑵求证：0<f()<1．提高训练题14．等比数列{an}的公比q＞1，其第17项的平方等于第24项，求使a1＋a2＋…＋an＞成立的正整数n的取值范围．15．设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0(n＝1，2，…)(1)求q的取值范围；(2)设bn＝an＋2－，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn和Tn的大小．3．4等差数列和等比数列的综合应用学问要点1．等差数列的常用性质：⑴m，n，p，r∈N*，若m＋n＝p＋r，则有．⑵{an}是等差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)是数列．⑶Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成数列．2．在等差数列中，求Sn的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值．⑴a1>0，d<0时，解不等式组可解得Sn达到最值时n的值．⑵a1<0，d>0时，解不等式组可解得Sn达到最小值时n的值．3．等比数列的常用性质：⑴m，n，p，r∈N*，若m＋n＝p＋r，则有．⑵{an}是等比数列，则{a}、{}是数列．⑶若Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成数列．例题讲练【例1】是否存在互不相等的三个实数a、b、c，使它们同时满意以下三个条件：①a＋b＋c＝6②a、b、c成等差数列．③将a、b、c适当排列后成等比数列．【例2】已知公差大于0的等差数列{}满意a2a4＋a4a6＋a6a2＝1，a2，a4，a8依次成等比数列，求数列{an}的通项公式a【例3】已知△ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b、c依次成等比数列．求证：△ABC是等边三角形．【例4】（2005年北京）数列{an}的前n项和Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn，n＝1，2，3……求：⑴a2、a3、a4的值及{an}的通项公式；⑵a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值.小结归纳1．在三个数成等差（或等比）时，可用等差（或等比）中项公式；在三个以上的数成等差（或等比）时，可用性质：m、n、p、r∈N*，若m＋n＝p＋r，则am＋an＝ap＋ar（或am·an＝ap·ar）进行解答．2．若a、b、c成等差（或等比）数列，则有2b＝a＋c（或b2＝ac）．3．遇到及三角形相关的问题时，一般要留意运用正弦定理（或余弦定理）及三角形内角和等于180°这一性质．4．在涉及an及Sn相关式子中用Sn－1和Sn的关系表示an时应当留意“n≥2”基础训练题一、选择题1．已知等差数列{an}的公差为2，若a1、a3、a4成等比数列，则a2等于 （）A．－4 B．－6C．－8 D．－102．若等差数列{an}中，a1>0，a2005＋a2006>0，a2005·a2006<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是 （）A．4008 B．4009C．4010 D．40113．在等比数列中，若a2·a8＝36，a3＋a7＝15，则公比q的值可能个数为 （）A．1 B．2C．3 D．44．已知数列{an}满意a1＝0，an＋1－an＝2n，那么a2007的值为 （）A．2005×2006 B．2006×2007C．2007×2008 D．200725．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6:S3＝1:2，则S9:S3＝ （）A．1:2 B．2:3C．3:4 D．1:36．已知等比数列{an}的公比为q<0，前n项和为Sn，则S4a5及S5aA．S4a5＝S5a4 B．S4a5>SC．S4a5<S5a二、填空题7．数列{an}按下列条件给出：a1＝2，当n为奇数时，an＋1＝an＋2，当n为偶数时，an＋1＝2an，则a2008＝．8．已知等差数列{an}中，公差d＞0，则使前n项和Sn取得最小值的自然数n是．9．若数列{an}是等差数列，令bn＝（n∈N*）．则数列{bn}也是等差数列，类比上述性质，相应地，若数列{cn}是等比数列，且cn>0，（n∈N*），令dn＝，则数列{dn}也是等比数列．10．在等差数列{an}中，已知公差d＝5，前20项的和S20＝400，则(a22＋a42＋…a202)－(a12＋a32＋…a192)＝．三、解答题11．已知数列{an}中，Sn是它的前n项和并且Sn＋1＝4an＋2(n＝1，2…)，a1＝1．⑴设bn＝an＋1－2an，证明{bn}是等比数列；⑵设Cn＝(n＝1，2，…)，求证{Cn}是等差数列．12．等差数列{an}中，已知公差d≠0，an≠0，设方程arx2＋2ar＋1x＋ar＋2＝0（r∈N*）是关于x的一组方程．⑴证明这些方程必有公共根，并求出这个公共根．⑵设方程arx2＋2ar＋1x＋ar＋2＝0的另一根记为mr，且m1＝2，证明{}也是等差数列．13．已知等比数列{an}共有m项(m≥3)，且各项均为正数，a1＝1，a1＋a2＋a3＝7．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}是等差数列，且b1＝a1，bm＝am，推断数列{an}前m项和Sm及数列{bn－}的前m项和Tm的大小，并加以证明．提高训练题14．（2005年福建）已知{an}是公比为q的等比数列，且a1、a2、a3成等差数列．（1）求q的值.（2）设{bn}是以2为首项，以q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn及bn的大小，并说明理由．15．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，nan＋1＝Sn＋n(n＋1)，(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，假如对一切正整数n都有bn≤t，求t的最小值．3．5数列求和学问要点求数列的前n项和，一般有下列几种方法：1．等差数列的前n项和公式：Sn＝＝．2．等比数列的前n项和公式：①当q＝1时，Sn＝．②当q≠1时，Sn＝．3．倒序相加法：将一个数列倒过来排列及原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和．4．错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．5．裂项求和法：把一个数列分成几个可干脆求和的数列．例题讲练【例1】已知数列：1，，，，…，，求它的前n项的和Sn．【例2】求Sn＝1＋＋＋…＋．【例3】设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，bn＝an·2n，求数列{bn}的前n项和Tn．【例4】求Sn＝1!＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！．小结归纳1．求和的基本思想是“转化”．其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然数的方幂和，从而可用基本求和公式；其二是消项，把较困难的数列求和转化为求不多的几项的和．2．对通项中含有(－1)n的数列，求前n项和时，应留意探讨n的奇偶性．3．倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前n项和用到的方法，在复习中应赐予重视．基础训练题一、选择题1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a6＋a10为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是 （）A．S6 B．S11 C．S12 D．S132．在项数为2n＋1的等差数列中，全部奇数项和及偶数项和之比为 （）A． B． C． D．13．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6：S3＝1:2，则S9：S3等于A．1:2 B．2:3C．3:4 D．1:34．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项之和为10，则项数n为 （）A．11 B．99 C．120 D．1215．若数列{an}的通项公式为an＝，则前n项和为（）A．1－ B．2－－C．n(1－) D．2－＋……6．将棱长相等的正方体按右下图所示的形态摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层，……A．4011 B．4009C．2011015 D．2009010二、填空题7．－1＋3－5＋7－9＋…＋(－1)n(2n－1)＝．8．等差数列{an}中，a1＝，前n项和为Sn，且S3＝S12，则a8＝．9．数列{an}的通项为an＝2n－7，(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝．10．关于数列有下面四个推断：①若a、b、c、d成等比数列，则a＋b，b＋c，c＋d也成等比数列；②若数列{an}既是等差数列也是等比数列，则{an}为常数列；③数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an－1(a∈R)，则数列{an}为等差数列或等比数列；④数列{an}为等差数列时且公差不为零，则数列{an}中不会有am＝an（m≠n）．其中正确推断的序号是．（注：把你认为正确的序号都填上．）三、解答题11．已知数列{an}的前n项和Sn＝10n－n2(n∈N*)，又bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn．12．求和1＋3a＋5a2＋…＋(2n－1)an13．（2005年湖北文科）设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.⑴求数列{an}和{bn}通项公式．⑵设Cn＝，求数列{Cn}前n项和Tn．提高训练题14．以数列{an}的随意相邻两项为坐标的点Pn(an、an＋1)均在一次函数y＝2x＋k的图象上，数列{bn}满意条件：bn＝an＋1－an，且b1≠0．⑴求证：数列{bn}为等比数列．⑵设数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若S6＝T4，S5＝－9，求k的值．15．已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为Sn，Sk⑴求a及k的值．⑵求．3．6*数学归纳法学问要点1．数学归纳法证明的步骤是：⑴．⑵．2．数学归纳法是证明有关自然数n的命题的一种方法，应用广泛．用数学归纳法证明一个命题必需分为两个步骤，第一步验证命题的起始正确性，是归纳的基础；其次步推论命题正确性的可传递性，是递推的依据，两步缺一不行，证明步骤及格式的规范是数学归纳法的一个特征．3．命题成立的起始值，不肯定是自然数1．4．由kk＋1必需运用归纳假设．例题讲练【例1】证明：(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(2n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)（n∈N*）【例2】用数学归纳法证明xn－yn能被x－y整除（n∈N*）．【例3】设a0为常数，且an＝3n－1－2an－1（n∈N*），证明：对随意n≥1，．【例4】平面内有n条直线，其中任两条不平行，任三条不共点，求证：这n条直线把平面分成个区域．小结归纳运用数学归纳法证明命题，第一步是验证，一般较简洁，但不能省略；其次步推证，必需用到归纳假设，否则不是数学归纳法．其次步从k到k＋1时，留意项数的改变．基础训练题一、选择题1．设f(n)＝（n∈N*），则f(n＋1)－f(n)等于 （）A． B．C．＋ D．－2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边计算所得结果为 （）A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a33．用数学归纳法证明不等式2n≥n2时，n应取的第一个值为 （）A．1 B．2C．3 D．44．用数学归纳法证明“”时，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边应添加的项是 （）A． B．＋C．＋－D．＋－－5．设＝1＋（n∈N*），那么－＝ （）A． B．＋C．· D．＋＋6．设凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形的对角线的条数f(n＋1)等于 （）A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n－1C．f(n)＋n D．f(n)＋n－2二、填空题7．求证xn＋yn（n∈N*）被x＋y整除，当其次步假设n＝2k－1命题成立时，进而需证明n＝时命题成立．8．用数学归纳法证明：1－－，第一步应验证左式是，右式是．9．若f(n)＝1＋（n∈N*），则当n＝1时，f(1)＝．10．若数列{an}满意：an＋1＝1－，且a1＝2，则a2006＝．三、解答题11．试证Sn＝n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除．12．用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)213．设an＝1＋（n∈N*），试证明：a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n（an－1），其中n≥2．提高训练题14．已知n≥2，n∈N*，求证：15．（2005年·重庆）数列{an}满意a1＝1且an＋1＝(1＋)an＋(n≥1)．(1)用数学归纳法证明：an≥2(n≥2)；(2)已知不等式ln(1＋x)＜x对x＞0成立，证明：an＜e2(n≥1)其中无理数e＝2.71828…．3．7*归纳、猜想、证明学问要点从视察一些特别的简洁的问题入手，依据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想，然后从理论上证明(或否定)这种猜想，这个过程叫做“归纳——猜想——证明”．它是一个完整的思维过程，是人们从事科学探讨，相识发觉规律的有效途径，也是培育创新思维实力的有效方法．这类题型是高考命题的热点之一．例题讲练【例1】设数列{an}满意an＋1＝，n＝1,2,3,……⑴当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式．⑵当a1≥3时，证明对全部的n∈N*，有an≥n＋2．【例2】已知数列{an}满意Sn＝2n－an，（n∈N*），求出前四项，猜想出an的表达式，并证明．【例3】是否存在自然数m使＝(2n＋7)·3n＋9对随意自然数都能被整数m整除．若存在，求m最大值；若不存在，则说明理由．【例4】数列{an}中，a1＝－，其前n项和Sn满意an＝Sn＋＋2，其中n≥2．⑴求出S1、S2、S3、S4．⑵猜想Sn的表达式，并证明你的猜想．小结归纳1．“归纳、猜想、证明”的思想方法实质上是由特别到一般的相识事物的重要方法，是不完全归纳法及完全归纳法的结合运用．一般是通过视察、分析等手段，利用不完全归纳法得出一个结论，再用数学归纳法（或其它方法）给出证明．2．归纳猜想能培育探究问题的实力，所以成为高考的重点，应引起足够的重视．此类问题分为归纳型问题和存在型问题．解归纳型问题，需从特别状况入手，通过视察、分析、归纳、猜想，探究一般规律，其关键在于正确的归纳猜想．基础训练题一、选择题1．利用数学归纳法证明不等式“1＋＞（n≥2，n∈N*）”的过程中，由“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边增加了 （）A．1项B．k项C．2k－1项D．2k项2．视察下列所给式子：1＋，，1＋，…，则可归纳出 （）A．1＋B．1＋C．1＋D．1＋3．已知数列，，，…，，经过计算S1、S2、S3，可由此推想Sn等于 （）A． B．C． D．4．假如命题p(n)对n＝k成立，那么它对n＝k＋2成立，又若p(n)对n＝2成立，则p(n)对全部 （）A．正整数n成立B．正偶数n成立C．正奇数n成立D．大于1的自然数n成立5．数列{an}满意a1＝，an＋1＝1－，则a30等于（）A． B．－1C．2 D．36．一机器狗每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器狗按前进2步，然后再后退1步的规律移动．若将此机器狗放在数轴的原点，面对正的方向，以1步的距离为1单位长度，令P(n)表示第n秒时机器狗所在位置的坐标，且P(0)＝0，则下列结论中错误的是（）A．P(3)＝1 B．P(5)＝3 C．P(2002)＝667 D．P(2004)<P(2005)二、填空题7．已知f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，则x2，x3，x4的值分别为，猜想xn＝．8．若给出下列式子：1＝1，1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n个式子为．9．数列{an}满意a1＝1，an＝(n∈N*，n≥2)，猜想{an}的通项公式an＝．10．已知An＝2＋4＋6＋…＋2n，Bn＝1＋2＋4＋…＋2n－1(n∈N*)，试猜想An及Bn的大小关系是（不要求证明）．三、解答题11．已知数列{an}前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an，(n∈N*)．⑴试求S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．⑵证明你的猜想，并求an的表达式．12．已知数列{an}满意a1＝1，an＋1＝2an＋1．恳求出a2、a3、a4，猜想{an}的通项公式并加以证明．13．是否存在常数a、b，使得等式：＋＋＋…＋＝对一切正整数n都成立？并证明你的结论．提高训练题14．设数列{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，对于全部自然数n，an及2的等差中项等于Sn及2的等比中项.⑴写出数列{an}的前3项.⑵求数列{an}的通项公式并写出推理过程．15．某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的须要，每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材存量．⑴求an的表达式．⑵为爱护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材量应不小于，若b＝，则该地区今后会发生水土流失吗？若会，须要经过几年？（取lg2＝0.30）单元测试一、选择题1．若数列{an}的前n项和公式为Sn＝log3(n＋1)，则a5等于 （）A． B．C． D．2．若f(1)＝3，f(n＋1)＝，（n∈N*），则f(100)等于 （）A．30 B．32C．34 D．363．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－的值为 （）