九年级数学教案

第二十一章二次根式

教材内容

1.本单元教学的主要内容：

二次根式的概念；：次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式.

2.本单元在教材中的地位和作用：

二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学

习的，它也是今后学习其他数学知识的基础.

教学目标

1.知识与技能

(1)理解二次根式的概念.

(2)理解(a>0)是一个非负数，()2=a(a>0).yfcT=a(a>0).

(3)掌握&,4b=>Jab(a》0,b>0),y[ab•y[b；

y/a[a[a\[a

忖(aNO,b>0),=—j=(aNO,b>0).

(4)了解最简：次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减.

2.过程与方法

(1)先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念.再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论,

并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.

(2)用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定，并运用规定进行计算.

(3)利用逆向思维，得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.

(4)通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念,

来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的.

3.情感、态度与价值观

通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的

乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力.

教学重点

1.二次根式JZ(a>0)的内涵.4a(a与0)是一个非负数：(JZ)2=a(a♦0)；J/=a(a>0)及其运用.

2.二次根式乘除法的规定及其运用.

3.最简二次根式的概念.

4.二次根式的加减运算.

教学难点

1.对JZ(a>0)是•个非负数的理解；对等式(JZ)2=a(a>0)及C=a(a>0)的理解及应用.

2.二次根式的乘法、除法的条件限制.

3.利用最简二次根式的概念把一个：次根式化成最简二次根式.

教学关键

1.潜移默化地培养学生从具体到般的推理能力，突出重点，突破难点.

2.培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生•丝不苟的科学精神.

单元课时划分

本单元教学时间约需11课时，具体分配如下:

21.I二次根式3课时

21.2二次根式的乘法3课时

21.3二次根式的加减3课时

教学活动、习题课、小结2课时

21.1二次根式

第一课时

教学内容

二次根式的概念及其运用

教学目标

理解二次根式的概念，并利用&(a30)的意义解答具体题目.

提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.

教学重难点关键

1.重点：形如JZ(a>0)的式子叫做二次根式的概念；

2.难点与关键：利用“(a>0)"解决具体问题.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)请同学们独立完成卜列三个问题：

3

问题1：已知反比例函数丫=一，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是

X

问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=1,ZC=90°,那么AB边的长是.

问题3：甲射击6次，各次击中的环数如卜.：8、7,9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是S、那么S=

二、探索新知

很明显J5、而、点,都是•些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根

式.因此，一般地，我们把形如&（a》0）的式子叫做二次根式，“■”称为二次根号.

（学生活动）议一议：

1.-1有算术平方根吗？

2.0的算术平方根是多少？

3.当a<0,有意义吗？

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：6、6、=、6（x>o）、瓜啦、-血、」一、

xX+y

y/x+y（x》0,y》0）.

例2.当x是多少时，J3x-1在实数范围内有意义?

三、巩固练习

教材P练习1、2、3.

四、应用拓展

例3.当X是多少时，J2X+3+—!—在实数范围内有意义?

X+1

例4（1）已知y=JH+JH+5,求工的值.

y

⑵若J.+1+db-l=0,求a2（,04+b2004的值.

五、归纳小结（学生活动，老师点评）

本节课要掌握：

1.形如（a^O）的式子叫做二次根式，“«”称为二次根号.

2.要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.

六、布置作业

1.教材P8复习巩固1、综合应用5.

21.1二次根式（2）

第二课时

教学内容

1.y/a（a>0）是一个非负数；

2.（-Ja）2=a（a>0）.

教学目标

理解JZ（a^O）是一个非负数和（JZ）2=a（a》0）,并利用它们进行计算和化简.

通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出&（a^O）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导

出（&）2=a（a^O）i最后运用结论严谨解题.

教学重难点关键

1.重点：JZ（a>0）是,•个非负数；（）2=a（a>0）及其运用.

2.难点、关键：用分类思想的方法导出JZ（a》0）是一个非负数；用探究的方法导出（JZ）2=a（a>0）.

教学过程

一、复习引入

1.什么叫二次根式？

2.当a》0时，叫什么？当a<0时，G有意义吗？

二、探究新知

议一议：（学生分组讨论，提问解答）

4a（a>0）是一个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

&（a》0）是一个非负数.

做一做：根据算术平方根的意义填空：

(Vfl)2=a(a》0)

例1计算

?")2

1.“g)22.(3A/5)

23.(3

三、巩固练习

计算卜.列各式的值:

2)靖)2

(V18)2(2(Vo)2

(3V5)2-(5V3)2

四、应用拓展

例2计算

2(后)22

1.(Vx+T)(x>0)2.3.(Ja」+2a+l)

4.(“x2-12x+9)2

例3在实数范围内分解下列因式：

(1)X2-3(2)X4-4(3)2X2-3

五、归纳小结

本节课应掌握：

1.\[a(a》0)是一个非负数；

2.(\[a)2=a(a"0);反之：a=(\[a)2(a>0).

六、布置作业

1.教材Px复习巩固2.(1)、(2)P97.

21.1二次根式(3)

第三课时

教学内容

=a(a&0)

教学目标

理解J/=a(a»0)并利用它进行计算和化简.

通过具体数据的解答，探究C=a(a>0),并利用这个结论解决具体问题.

教学重难点关键

1.重点：\[a^=a(a>0).

2.难点：探究结论.

3.关键：讲清a30时，］/=2才成立.

教学过程

一、复习引入

老师口述并板收上两节课的重要内容；

1.形如JZ(a&O)的式子叫做二次根式；

2.y/a(a>0)是一个非负数；

3.(4a)2=a(a>0).

那么，我们猜想当a30时，，/=2是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题.

二、探究新知

(学生活动)填空:

例1化简

(1)V9(2)7^47(3)V25(4)

三、巩固练习

教材Pi练习2.

四、应用拓展

例2填空：当a30时，J/=____；当a<0时，J/=,并根据这一性质回答下列问题.

(1)若J/=a,则a可以是什么数？

(2)若J/=-a,则a可以是什么数？

(3)J/>a,则a可以是什么数？

例3当x>2,化简,(X-2)--J(1.

五、归纳小结

本节课应掌握：J/=a(aNO)及其运用，同时理解当a<0时，J/=-a的应用拓展.

六、布置作业

1.教材P8习题21.13、4、6、8.

21.2二次根式的乘除

第一课时

教学内容

\l'Cl•y[b=y/ab(a20,b20),反之J”,•y[b(aNO,bNO)及其运用.

教学目标

理解4a・4b=>[ab(a&0,b00),y/ab=\[a,y/b(a>0,b>0)>并利用它们进行计算和化简

由具体数据，发现规律，导出JZ=疝门30,1)00)并运用它进行计算；利用逆向思维，得出疝=0

(a>0,b»0)并运用它进行解题和化简.

教学重难点关键

重点：,y[b=y/ab(a>0.b》0),\[ab=\[a•\[b(a>o,b》0)及它们的运用.

难点：发现规律，导出右•6=4ab(a>0,b>0).

关键：要讲清5/ab(a<O,b<O)=yfay/b,如J(-2)x(-3)=J-(-2)x3)或J(-2)x(-3)=，2x3=

xV3.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)请同学们完成下列各题.

1.填空

(1)"x囱=,74x9=_____:

(2)J16x,25=,J16x25=.

(3)J100xJ36=,J100x36=.

参考上面的结果，用“>、<或="填空.

74x79___回了,716x725___716x25,V100x7367100x36

2.利用计算器计算填空

(1)V2xVJ____a,(2)V2xVs__7io,

(3)V5xV6__V30,⑷V4xV5__V20

(5)V7xVioV70.

老师点评（纠正学生练习中的错误）

二、探索新知

（学生活动）让3、4个同学上台总结规律.

老师点评：（1）被开方数都是正数；

（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开

方数.

一般地，对二次根式的乘法规定为

y/a•y/b=y/ab.（a，0,b>0）

反过来：I=G♦&(aNO,b?0)

例1.计算

2(3)A/9XJ27(4)J]XA/6

（1）VsxV7(2)

例2化简

(1)(9x16(2)716x81(3)781x100

(4)y19x2y2(5)V54

三、巩固练习

（1）计算（学生练习，老师点评）

①Vi%X血（2）376X2V10

（2）化简：而；屈；V24；V54；而肃

教材Pu练习全部

四、应用拓展

例3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正:

（1）7（-4）X（-9）=V^4X7^9

五、归纳小结

本节课应掌握：(1)4a•\[b=4ab=(a=0,b》0),Jab=yfa,y/b(a^O,bZO)及其运用.

六、布置作业

1.课本P|5114,5,6.(1)(2).

21.2二次根式的乘除

第二课时

教学内容

\Ja\a4a

而(a20,b>0),反过来h访(a20,b>0)及利用它们进行计算和化简.

教学目标

〃NaaNa

理解布=(a，0,b>0)和,1=而(a20,b>0)及利用它们进行运算.

利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化

简.

教学重难点关键

[a4a

1.重点：理解(aNO,b>0),(a>0,b>0)及利用它们进行计算和化简.

2.难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)请同学们完成下列各题：

1.写出二次根式的乘法规定及逆向等式.

3.利用计算器计算填空:

6不

(1)耳,(2)耳,(3),(4)

规律:市

每组推荐•名学生上台阐述运算结果.

(老师点评)

二、探索新知

刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得至II:

一般地，对二次根式的除法规定：

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.

分析:上面4小题利用(a>0,b>0)便可直接得出答案.

三、巩固练习

教材P14练习1.

四、应用拓展

x2-5x+4

例3.已知且x为偶数，求（1+x）—5------的值.

x2-l

五、归纳小结

y]aaa4a

本节课要掌握〒=<一（a20,b>0）和J—=k（aMO,b>0）及其运用.

4b\b\by/b

六、布置作业

1.教材Pis习题21.22、7、8、9.

21.2二次根式的乘除⑶

第三课时

教学内容

最简二次根式的概念及利用最筒二次根式的概念进行二次根式的化简运算.

教学目标

理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.

通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求.

重难点关键

1.重点：最简二次根式的运用.

2.难点关键：会判断这个二次根式是否是最简：次根式.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成卜列各题（请三位同学上台板书）

V330枢

1.计算(1)-/=■»(2)―,—>(3)-1—

V5<2742a

V3V15372_V6瓜2&

老师点评:

V55，V27~3，y[2a~a

2.现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h,km,hzkm,那么它们的传播半径的比是

它们的比是1J2R"।.

12Rh,

二、探索新知

观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点:

1.被开方数不含分母；

2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式.

学生分组讨论，推荐3〜4个人到黑板上板书.

老师点评：不是.

f2Rh^_代；阿

2Rh2V2Rh

j⑵y]x2y4+x4y2；(3)的少

例1.⑴3

例2.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的长.

三、巩固练习

教材P“练习2、3

四、应用拓展

例3.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式:

]]x(应T)血一]_石]

V2+1(V2+1)(V2-I)-2-1，

1lx(V3-V2)_V3-V2国后

耳"(工物一千丁

同理可得：1="_后……

V4+<3

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

-----7=)(V2002+1)的值.

6+1'也+6V4+V3V2002+V2001

五、归纳小结

本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用.

六、布置作业

1.教材1%习题21.23、7、10.

2.选用课时作业设计.

3.课后作业：《同步训练》

21.3二次根式的加减(1)

第一课时

教学内容

二次根式的加减

教学目标

理解和掌握二次根式加减的方法.

先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对：：次根式进行加减的方法的理解.再总结经验，用它来指导根式的计算

和化简.

重难点关键

1.重点：二次根式化简为最简根式.

2.难点关键：会判定是否是最简二次根式.

教学过程

一、复习引入

学生活动：计算下列各式.

(1)2x+3x；(2)2X2-3X2+5X2；(3)x+2x+3y；(4)3a2-2a2+a3

教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并.同类项合并就是字母不变，系数相加减.

二、探索新知

学生活动：计算下列各式.

(1)20+30(2)2V8-3A/8+5A/8

(3)yfl+2+3J9X7(4)3y/3-2y/3+,y/Z

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.

例1.计算

(1)瓜(2)J16尤+J64x

例2.计算

(1)3V48~9+3J12

(2)(J48+J20)+(J12--x/s)

三、巩固练习

教材P”练习1、2.

四、应用拓展

例3.已知4xZ+^Tx-Gy+lO：。，求（一4/索+y?/二］）-（x2J—~5xJ—）的值.

3yvxix

五、归纳小结

本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并.

六、布置作业

1.教材％习题21.31、2、3、5.

21.3二次根式的加减（2）

第二课时

教学内容

利用二次根式化简的数学思想解应用题.

教学目标

运用二次根式、化简解应用题.

通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简：次根式，进行合并后解应用题.

重难点关键

讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点.

教学过程

一、复习引入

上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式：

第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固.

二、探索新知

例1.如图所示的Rt^ABC中，NB=90°,点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从

点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动.问：几秒后aPEQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果

用最简二次根式表示）

ApB

例2.要焊接如图所示的钢架,大约需要多少米钢材（精确到0.1m）?

B

A4mDImC

三、巩固练习

教材P19练习3

四、应用拓展

例3.若最简根式3〃切4a+3/?与根式+6尸是同类二次根式,求a、b的值.(同类二次根式就是被开

方数相同的最简二次根式)

五、归纳小结

本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题.

六、布置作业

1.教材隗习题21.37.

21.3二次根式的加减(3)

第三课时

教学内容

含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除：多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应

用.

教学目标

含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.

复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算.

重难点关键

重点：：次根式的乘除、乘方等运算规律；

难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.

教学过程

一、复习引入

学生活动：请同学们完成卜.列各题：

1.计算

(1)(2x+y),zx(2)(2x2y+3xy2)+xy

2.计算

(1)(2x+3y)(2x-3y)(2)(2x+l)2+(2x-l)2

老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现.它主要有(1)单项式X单项式；(2)单项式X多项式；(3)多

项式+单项式；(4)完全平方公式；(5)平方差公式的运用.

二、探索新知

如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立.

整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式

中的运算规律也适用于二次根式.

例1.计算:

(1)(A/6+y/s)x5/3(2)(4^6-3y/2,)-T-2A/2

例2.计算

(1)(V5+6)(3-V5)(2)(V10+V7)(VlO-V?)

三、巩固练习

课本Pa练习1、2.

四、应用拓展

x—bX—CL

例3.已知-----二2----------,其中a、b是实数，且a+bWO,

ab

AJx+1-y/xJx+l+Jx

化简/一/+;1,并求值.

yjX+1+yjXX+1一,yX

五、归纳小结

本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算.

六、布置作业

1.教材P"习题21.31、8、9.

二次根式复习课

教学目标

1.使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；

2.熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.

教学重点和难点

重点：含二次根式的式子的混合运算.

难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子.

教学过程设计

一、复习

1.请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件.

指出：二次根式的这些基本性质都是在•定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式.

2.二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来.指出：：次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的.把两

个二次根式相除，计算结果要把分母有理化.

⑴a=(W)2g》o)；(2)|a|=7?.

3.在：次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式:

4.在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：

⑴/产=a(a>O)与a=(病?(a)o)；

(2)-^b=V&,Vb(a^O,b>0)与石，6=V^(a>O,b>0)；

11=知〉0,»0)与宗g(a>O,b>0).

(3)

⑵分母有理化身潟="

例如，化简57,可以用3种方法:

⑶看作二次根式的除法*=苧=「=、反

⑴直接约分『答="；

5.■不一定能化成(、局2.

当a》0忖，如(石)2=/=(近)2,(、万)2=痴7=(而)2,此时，好

=(、J)2；当2<0时，)(-2)2=必=(际\但4无意义，所以J(-2>卢(/与2,此

时47卢(石尸.

二、例题

例1x取什么值时，卜列各式在实数范围内有意义:

(1)73-x+、/x—2；(2)-----=；

1-Jx

(3)、施+J-2xi(4)：2.

3x

例2已知m,n为实数，且满足m=—匠一9+中三士「求6m-3n的值.

例3

2.例5中运用了二次根式的基本性质、&=指•加(a)0,b》0和关系式a=(标>

(a30)进行二次根式的混合运算.

三、课堂练习

1.选择题：

(l)7(a~2)2=2-a,a的取值范围是[

A.aW2B.a22

C.aW2D.a<2

⑵X<.2时，J(x+2)2等于[]

A.x+2B.-x-2

C.-x+2D.x-2

(3)化简J(x-a)，+J(x+a)2(0〈x〈a)等于[]

A.2xB.2a

C.-2xD.-2a

(4)把根号外面的因式移入根号内，m,p=[]

Vm

A.7mB.正m

C・-J-mD・-Jm

(5)若0<x<g+1,则|x+应"/(x-、也-1)2等于[]

A.-2&八B.2x-l

C.2点+1D.2J2-1

2.填空题：

⑴若止?有意义，则x的取值范围是；

⑵若运=-1,则a的取值范围是；

a---------

(3)化简aJ-;

(4)若叫】/3m+2n与质是同类最简二次根式,贝必=,

(5)化简J3a2b2(a>0,b<0)=；

(6)若a>0,b<0,则同-值=；

⑺若|x-5|+j2x+y+6=0,贝U3x+y・l=；

⑻若l<x<2,则J(x-2)2-7(1-x)2=;

(9)化简J(x2-y2)(x，-y4)(x〉y〉0)=;

(10)(m-n)J—j--y(m〉n〉0,a<0)=

Vm-n----------

3.求、后［-"工+200必的值.

4.计算:

5M+2右3-的4-2或

四、小结

i.本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握.

2.在次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件（或题中的隐含条件）.

即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围.

3.运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，•定要注意论述每个性质中字母的取值范围的条

件.

4.通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，

解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题.

五、作业

1.x是什么值时，卜.列各式在实数范围内有意义？

2.把下列各式化成最简二次根式：

⑴、颂；⑵©花；

⑶唇；8）注匚（x〉y）.

第二十二章一元二次方程

单元要点分析

教材内容

1.本单元教学的主要内容.

一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题.

2.本单元在教材中的地位与作用.

一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法.学

好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程.应该说，一元二次方程是本书的重点内容.

教学目标

1.知识与技能

了解一元：次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次一解一元二次方程；掌握依据实际问题建

立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题.

2.过程与方法

（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型.根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程

的概念.

（2）结合八册上整式中的有关概念介绍•元二次方程的派生概念，如二次项等.

（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法一直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩

固配方法解一元二次方程.

（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a%0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0,

b2-4ac=0,b2-4ac<0.

（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解元二次方程，并用练习巩

固它.

（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题.

3.情感、态度与价值观

经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数

量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想;

经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生

的学习兴趣.

教学重点

1.一元二次方程及其它有关的概念.

2.用配方法、公式法、因式分解法降次一解一元二次方程.

3.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题.

教学难点

1.一元二次方程配方法解题.

2.用公式法解•元二次方程时的讨论.

3.建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别.

教学关键

1.分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型.

2.用配方法解一元二次方程的步骤.

3.解一元二次方程公式法的推导.

课时划分

本单元教学时间约需16课时，具体分配如卜.：

22.I一元二次方程2课时

22.2降次——解一元二次方程7课时

22.3实际问题与一元二次方程4课时

教学活动、习题课、小结3课时

22.1一元二次方程

第一课时

教学内容

一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念.

教学目标

了解一元二次方程的概念；•般式ax，bx+c=O(aKO)及其派生的概念；应用元二次方程概念解决一些简单题目.

1.通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给•元二次方程下定义.

2.一元二次方程的一般形式及其有关概念.

3.解决一些概念性的题目.

4.态度、情感、价值观

4.通过生活学习数学，井用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.

重难点关键

1.重点：一元二次方程的概念及其•般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题.

2.难点关键：通过提出问题，建立•元二次方程的数学模型，再由•元一次方程的概念迁移到•元二次方程的概念.

教学过程

一、复习引入

学生活动：列方程.

问题(1)《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”

大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？

如果假设门的高为x尺，那么，这个门的宽为尺，根据题意，得.

整理、化简，得；

问题（2）如图，如果一=—,那么点C叫做线段AB的黄金分割点.

ABAC

ACB

如果假设AB=1,AC=x,那么BC=,根据题意，得：.

整理得：.

问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m,另一边剪短2m,恰好变成一个正方形，那么这个正方形

的边长是多少？

如果假设剪后的正方形边长为x,那么原来长方形长是,宽是,根据题意，得：.

整理，得：.

老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理.

二、探索新知

学生活动：请口答下面问题.

（1）上面三个方程整理后含有儿个未知数？

（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？

（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？

老师点评：（1）都只含•个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程.

因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（:次）的方程，叫做一

元二次方程.

一般地，任何个关于x的元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax?+bx+c=O（aKO）.这种形式叫做一元二

次方程的一般形式.

一个•元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=O（a#0）后，其中ax?是二次项，a是二次项系数；bx是次项，b是一次

项系数；c是常数项.

例1.将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的：次项系数、-次项系数及常数项.

例2.（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并

写出其中的二次项、二次项系数；一次项、-次项系数；常数项.

三、巩固练习

教材P32练习1、2

四、应用拓展

例3.求证：关于x的方程（mJ8m+17）x2+2mx+l=0,不论m取何值，该方程都是一元二次方程.

五、归纳小结（学生总结，老师点评）

本节课要掌握：

（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a^O）和二次项、二次项系数，一次项、-

次项系数，常数项的概念及其它们的运用.

六、布置作业

1.教材P34习题22.11、2.

2.选用作业设计.

作业设计

一、选择题

1.在下列方程中，一元二次方程的个数是().

5

①3x?+7=0②ax2+bx+c=0③(x-2)(x+5)=x2-l®3x2--=0

X

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.方程2x2=3(x-6)化为一般形式后二次项系数、-次项系数和常数项分别为().

A.2,3,-6B.2,-3,18C.2,-3,6D.2,3,6

3.px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则().

A.p=lB.p>0C.pKOD.p为任意实数

二、填空题

1.方程3x2-3=2x+l的二次项系数为,一次项系数为,常数项为.

2.•元二次方程的•般形式是.

3.关于x的方程(a-Dx2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是.

三、综合提高题

1.a满足什么条件时，关于x的方程a(x2+x)=V3x-(x+1)是一元二次方程？

2.关于x的方程(2m2+m)xm+U3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？

3.一块矩形铁片，面积为lm\长比宽多3m,求铁片的长，小明在做这道题时，是这样做的：

设铁片的长为x,列出的方程为x(x-3)=1,整理得：x2-3x-l=0.小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面

是他的探索过程：

第一步：_______________________

X1234

X2-3X-1-3-3

所以，<x<

第二步：

X3.13.23.33.4

X2-3X-1-0.96-0.36

所以，<x<

(1)请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；

(2)通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为,十分位为.

22.1一元二次方程

第二课时

教学内容

1.一元二次方程根的概念；

2.根据题意判定个数是否是元二次方程的根及其利用它们解决•些具体题目.

教学目标

了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题.

提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的•般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个

数是否是根.同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题.

重难点关键

1.重点：判定一个数是否是方程的根；

2.难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.

教学过程

一、复习引入

学生活动：请同学独立完成卜.列问题.

问题1.如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,那么梯子的底端距墙多少米？

设梯子底端距墙为xm,那么,

根据题意，可得方程为

整理，得.

列表：

X012345678

问题2.•个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m,苗圃的长和宽各是多少？

设苗圃的宽为xm,则长为m.

根据题意，得.

整理，得.

列表：

X01234567891011

老师点评（略）

二、探索新知

提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中•元二次方程的解是多少？

(2)如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？

老师点评：(1)问题1中x=6是X2-36=0的解，问题2中，x=10是x2+2x-120=0的解.

(3)如果抛开实际问题，问题(1)中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解.

为了与以前所学的•元•次方程等只有个解的区别，我们称：

一元二次方程的解叫做一元二次方程的根.

回过头来看：X2-36=0有两个根，一个是6,另一个是一6,但-6不满足题意；同理，问题2中的x=12的根也满足题意.因

此，由实际问题列出方程并解得的根，并不•定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解.

例1.下面哪些数是方程2X2+10X+12=0的根？

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.

例2.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

(1)X2-64=0(2)3X2-6=0(3)x2-3x=0

三、巩固练习

教材P33思考题练习1、2.

四、应用拓展

例3.要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm,这块铁片应该怎样剪？

设长为xcm,则宽为(x-5)cm

列方程x(x-5)=150,BPx2-5x-150=0

请根据列方程回答以下问题：

(1)x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由.

(2)完成下表：

x1011__121314151617…

X2-5X-150|||||||||

(3)你知道铁片的长x是多少吗？

五、归纳小结(学生归纳，老师点评)

本节课应掌握：

(1)一元二次方程根的概念及它与以前的解的相同处与不同处：

(2)要会判断•个数是否是•元二次方程的根；

(3)要会用一些方法求一元二次方程的根.

六、布置作业

1.教材P34复习巩固3、4综合运用5、6、7拓广探索8、9.

2.选用课时作业设计.

作业设计

一、选择题

1.方程x(x-1)=2的两根为().

A.X|=0,x2=lB.X|=0,x2=-lC.X]=l,x2=2D.X|=-l,X2=2

2.方程ax(x-b)+(b-x)=0的根是().

1122

A.X]=b,x=aB.X|