第四节数列的综合应用(要点归纳夯实基础练)

第四节数列的综合应用【要点归纳】分期还款与数列(1)等额本金还款法：即将本金平均分配到每一期进行偿还，每期还款金额＝eq\f(贷款本金,还款期数)＋(贷款本金－已还本金总额)×利率．(2)等额本息还款法：即将本金和利息平均分配到每一期进行偿还．每期还款金额＝eq\f(A0r1＋rm,1＋rm－1)，其中A0为贷款时的资金，r为银行贷款月利率，m为还款总期数(单位：月)．【夯实基础练】1．(2022·江西南昌一模)已知数列的前项和为，，，则(

)A．12 B． C． D．【解析】因为，取，则有，所以是首项、公比都为2的等比数列，所以.故选：D【答案】D2．(2022•黑龙江省哈三中高三二模)已知数列的前n项和为，满足，则()A．4043 B．4042 C．4041 D．4040【解析】由知：为等差数列，又，，则公差，所以，故，则，可得，而也满足，所以，则.故选：A【答案】A3．(2022•湖南省百校大联考高三(上)联考)设为等差数列的前项和，且，，则()A．75 B．141 C．7 D．99【解析】因为，所以，所以公差，所以，解得.【答案】B4．(2022•辽宁省大连市第一中学高三(上)期中)等比数列的前项和为，若，则()A．2 B．-2 C．1 D．-1【解析】设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；当时，等比数列前项和公式，依题意.【答案】A5．(2022•四川省成都市石室中学高三一模)已知数列的前项和为，其中，，，成等差数列，且(，)，则()A． B． C． D．【解析】(，)，，当时，，当时，，，，成等差数列，，，解得，(，)，，①；所以时，，②；①②得：，又，，，，数列是以首项为1，公比为2的等比数列，则.故选：B.【答案】B6．(2022•黑龙江省哈六中高三(上)期末)已知数列满足：，数列满足：，则数列的前2021项的和()A． B． C． D．【解析】由整理可得，所以是首项为，公差为2的等差数列，所以，即，则，所以.故选：D.【答案】D7．(2022•西南四省名校高三第二次大联考)数列的前n项和为，且，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为()A． B．C． D．【解析】当时，，∴，当时，符合上式，∴，∴．当n为奇数时，，令知，当时，，∴，当n为偶数时，，令，∴，∴．故选：A．【答案】A8．(2022•四川省成都市第七中学高三(下)开学考试)数列的前项和为，若，，，则的通项公式为______.【解析】由，得，两式相减得，又由，，可得，即，故数列从第二项起为公比为4的等比数列，则的通项公式为，故答案为：【答案】9．(2022·安徽芜湖一中一模)已知数列的通项公式为，其前n项和为Sn，则_________________.【解析】的最小正周期为3，则；；.∴，所以.故答案为：.【答案】10．(2022•江苏省扬州中学高三(下)开学检测)如图所示阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正三角形的边长为4，取正三角形各边的四等分点，，，作第2个正三角形，然后再取正三角形各边的四等分点，，，作第3个正三角形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.如图阴影部分，设三角形面积为，后续各阴影三角形面积依次为，，…，，….则___________，数列的前项和__________【解析】设正三角形边长为，后续各正三角形边长依次为，，…，，由题意，，，由于，所以，于是数列是以为首项，为公比的等比数列，故答案为：；【答案】①②11．(2022•广东省铁一中学高三(上)期末)已知数列满足，的前项的和记为，则______.【解析】，，因此，.故答案为：.【答案】12．(2022•厦门外国语学校高考仿真预测试题)数列其中在第个1与第个1之间插入个，若该数列的前2020项的和为7891，则________.【解析】当时，前个1之间共有项，当时，有项，在第63个1的后面在跟的第4个就是第2020项，所以前2020项中含63个1，其余的均为，故该数列前2020项的和为，解得，故答案为：4【答案】413．(2022•重庆市第八中学高三第五次月考)设，用表示不小于的最小整数，例如，，，则称为向上取整函数.已知数列的各项均为正数，其前项和为，且，.则_______________.【解析】当时，，又，；当时，，则，即，，数列是以为首项，为公差的等差数列，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；.故答案为：.【答案】14．(2022•四川省成都市石室中学高三二模)设，有三个条件：①是2与的等差中项；②，；③．在这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答．(如果选择多个条件分别作答，那么按第一个解答计分)若数列的前n项和为，且______．(1)求数列的通项公式；(2)若是以2为首项，4为公差的等差数列，求数列的前n项和．【解析】(1)选条件①时，由于是2与的等差中项；所以，①当时，解得；当时，②，①②得：，整理得，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列；所以(首项符合通项)，所以；选条件②时，由于，；所以：，①，当时，，②，①②得：，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列；故(首项符合通项)，所以；选条件③时，因为，所以当时，当时，因为时也满足，所以(2)若是以2为首项，4为公差的等差数列，所以，所以，故①，②，①②得：；整理得．【答案】(1)(2)15．(2022•西北工业大学附属中学高三九模)已知数列中，，满足.(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1)由得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列；，.(2)由(1)得：，，；令，，则当时，；当时，；，，解得：，即实数的取值范围为.【答案】(1)证明见解析；；(2)16．(2022•西北工业大学附属中学高三第六次适应性训练)已知数列满足.(1)设，求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【解析】(1)由已知有：所以，，其中，所以数列为以为首项，公比为的等比数列.所以，得.(2)由(1)知：，，所以.【答案】(1)(2)17．(2022•辽宁省沈阳市第二中学高三二模)已知等差数列满足，.(1)求的通项公式；(2)等比数列的前项和为，且，再从下面①②③中选取两个作为条件，求满足的的最大值.①；②；③.(注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.)【解析】(1)设等差数列的公差为，因，则，即，于是得，从而有，所以的通项公式是.(2)选择①②：设等比数列的公比为，因，，由(1)知，，，而，则，即有，于是得，因，即，而，解得，则，所以满足的的最大值为10.选择①③：设等比数列的公比为，因，，由(1)知，则，，由，解得，又，则有，于是得，因，即，而，解得，则，所以满足的的最大值为10.选择②③：设等比数列的公比为，因，由(1)知，，则，解得或，而，则有，于是得，因，即，而，解得，则，所以满足的的最大值为10.【答案】(1)；(2)10.18．(2022•辽宁省名校高三第四次联考)已知数列的前项和为，且，．(1)求的通项公式；(2)若数列满足，记数列的前项和为，求证：．【解析】(1)∵，∴当n≥2时，∴，∴∴为从第二项开始的等比数列，公比为q＝3，又，∴，∴(n≥2)，n＝1时也满足上式，∴)；(2)∵，∴①∴②①－②得，∴∵，∴，∴．【答案】(1)；(2)见解析﹒19．(2022•长春外国语学校高三(下)期初考试)已知数列是首项为1的等差数列，数列满足，且，.(1)证明数列是等比数列并求的通项公式；(2)令，求数列的前项和【解析】(1)∵，∴，∴，∴是首项为，公比为3的等比数列，∴，即.(2)由(1)知，，∴，因为，所以，∴，令，①，②①②得.∴.∴.【答案】(1)证明见解析，(2)20．(2022•河北省衡水中学高三六调)已知数列满足：.(1)求的通项公式；(2)令，求数列的前项和.【解析】(1)当时，，当时，，①，②①-②得，，当时，满足通项公式，，.(2