多维时间序列的

多维时间序列的第一页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

例：序列y1,y2,y3分别表示我国1952年至1988年工业部门、交通运输部门和商业部门的产出指数序列。第二页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

第一节多维平稳序列一、二阶矩有穷的多维时间序列定义1.1设为m维随机向量序列，其中

若，则称为二阶矩有穷的m维随机向量序列，简称为m维随机序列。记分别称为的均值向量函数和协方差阵函数，其中*表示共轭转置。第三页，共五十九页，编辑于2023年，星期五第四页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

二、多维平稳时间序列定义1.2：设为m维二阶矩有穷随机序列，若均值向量函数和协方差函数满足则称为m维平稳序列，称为平稳相关。

第五页，共五十九页，编辑于2023年，星期五第六页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

定理1.1为m维平稳序列的协方差阵函数，则(i)(ii)(iii)

(iv)对任意正整数,m维复向量,有即为非负定阵。

第七页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

定义1.3：若m维平稳序列满足

(1.1)

其中S>0(正定阵)，则称为m维平稳白噪声序列，简称m维白噪声序列。第八页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

定义1.4：若m维随机序列满足：

(1.2)其中为满足(1.1)的s维白噪声序列，为常值阵序列，满足

则称为m维平稳线性序列。可证(1.2)中的每个分量都均方收敛，且有第九页，共五十九页，编辑于2023年，星期五三、常见多维平稳模型1、多维滑动平均模型2、多维自回归模型第十页，共五十九页，编辑于2023年，星期五第二节多维平稳序列的均值和

自协方差函数的估计

简单起见，以下假定序列为实序列一.均值的估计设是m维平稳序列，是观测值，均值的点估计定义为第十一页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

相合性：定理2.1如果的每个分量序列都是严平稳遍历序列，则当时定理2.2如果自协方差函数满足条件

则其中第十二页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

定理2.3如果则当时，有第十三页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

定理2.4如果为以下的m维平稳线性序列第十四页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

二.自协方差函数的估计设是m维平稳序列，是观测值，的估计为第十五页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

相关系数的估计为

其中表示的第(i,j)元素，自相关系数矩阵的估计是第十六页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

第三节多维AR(p)序列一.多维ARMA模型定义3.1设为实m维平稳序列，称它为k维ARMA(p,q)序列，如果满足如下m维随机差分方程

(3.1)

其中为实系数阵，为实m维白噪声序列，记

(3.2)第十七页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

且满足如下条件：(i)(ii)和是左互质，即若，则(iii),rank表示秩。若满足条件(i)，则称(3.1)具有平稳性和可逆性，且有当p=0时，称(3.1)为m维MA(q)模型，当q=0时，称(3.1)为m维AR(p)模型。第十八页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

多维ARMA(p,q)模型(3.1)的传递形式和逆转形式分别为：

且第十九页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

注：对多维ARMA(p,q)模型建模时遇到两大困难，(1)多维ARMA(p,q)模型的参数不可由唯一决定，当然也不可由的自协方差函数唯一决定称之为多维ARMA模型的不可识别性。(2)一维ARMA模型中，对滑动平均参数的估计常要采用非线性最小二乘估计，对于多维情形就更复杂、更困难。第二十页，共五十九页，编辑于2023年，星期五二.多维AR模型定义3.2设为实m维平稳序列，称它为m维AR(p)序列，如果满足如下k维随机差分方程

(3.3)

其中为实系数阵，为实m维白噪声序列，记

(3.4)第二十一页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

且满足如下条件：(i)(ii)第二十二页，共五十九页，编辑于2023年，星期五VAR(1)模型的解:第二十三页，共五十九页，编辑于2023年，星期五VAR(1)序列的自协方差函数:第二十四页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

三.多维AR模型的参数估计目的：假定自回归的阶数p已知，求出自回归系数阵和白噪声方差阵S的估计。1.自回归系数阵的矩估计设为VAR(p)序列

(3.3)

对(3.3)等式两边右乘，再求数学期望得，第二十五页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

第二十六页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

(3.4)式取k=1,2,…,p可表为矩阵型的线性方程组：

(3.6)

令第二十七页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

称(3.6)式为Yule-Walker方程，它可表为

(3.7)设为的长度为n的样本，当n充分大时，m维样本自协方差阵

(3.8)

可作为的估计。于是，系数阵的估计：AR(p)模型的系数阵的估计

(3.9)称为的矩估计，又称为Yule-Walker估计。第二十八页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

白噪声方差S的矩估计为(3.10)第二十九页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

2.多维AR(p)模型系数的最小二乘估计求使得，

(3.11)达最小，则必须满足：

(3.12)其中是的第行第j列的元素。第三十页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

则有，

(3.13)记

(3.14)

则(3.13)为

(3.15)当n充分大时，渐近相等。

第三十一页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

系数阵的最小二乘估计：由(3.15)解出，记称之为的最小二乘估计。m维白噪声序列的方差阵S的最小二乘估计：

(3.16)第三十二页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

3.多维AR(p)模型系数阵的递推估计1).m维AR模型系数阵随阶数p的递推算法为了表示自回归系数阵随着模型阶数p而变，将它表示为则模型表示为：

(3.17)相应的记为，它满足

(3.18)

第三十三页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

记，并定义

(3.20)其中称之为(3.18)的对偶方程，解为

(3.21)第三十四页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

定理3.1多维AR模型系数阵估计随阶数p有如下递推公式：第三十五页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

2).m维AR模型白噪声方差阵估计随阶数p的递推算法定理3.2当m维AR模型的阶数p增加时，白噪声方差阵估计有如下递推公式其中I为m阶单位阵。注：由定理3.2可递推得到：其中是0阶自回归序列的方差阵估计，可取为：第三十六页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

四.多维AR模型的定阶1.FPE定阶准则(最终预报误差准则)为

(3.22)满足

的相应作为m维AR模型阶数的估计，此时m维AR模型的一步预报误差方差阵达最小。第三十七页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

2.AIC定阶准则为

(3.23)

其中，满足

的相应作为AIC定阶准则下的m维AR模型的定阶。第三十八页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

3.BIC定阶准则为

(3.24)满足

的相应作为BIC准则下的m维AR模型的定阶。注：FPE准则与AIC准则是一致的。

第三十九页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

五.多维AR模型的维数选取与预报1.维数的选取目的：设为m维AR序列，考察m维时序所提供的信息能否用部分分量序列。依据：前个分量记为引入，

(3.25)

其中表示阵的左上角阶子方阵，表示AR(p)序列的最终预报误差方差阵，它与(3.25)比较，如果：第四十页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

(3.26)则认为仅考虑前维时序就够了。如果，

(3.27)

则应考虑用m维时序。步骤：在m维时序每去掉一维进行比较，由(3.26),(3.27)决定取舍，逐步反复比较。第四十一页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

2.m维AR(p)序列的预报

步最小均方误差阵的预报为：

(3.28)步线性最小均方误差阵的预报为：

(3.29)第四十二页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

例：序列X1,X2,X3分别表示我国1952年至1988年工业部门，交通运输部门和商业部门的产出指数序列，试建立多维AR模型。估计：为避免数据的剧烈波动，首先对序列进行对数化处理。第四十三页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

对估计结果的几点注释：1.考虑到有同样变量的多个滞后，可能由于多重共线性，所估计的每一个系数不都是统计上显著的，但集体地看这些系数也许会在标准的F检验的基础上显著。例如在对LY1的回归中，仅在滞后1，2的LY1系数和滞后1期的LY2的系数是统计上显著的而其余的都不是，但总的系数的F检验是统计显著的。第四十四页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

2.最值得关注的是窗口的最后一部分，其结果是针对Var系统整体而言，其中包括决定性残差协方差、对数似然函数值和AIC与SC信息量。本例中AIC函数当P=3时最小，而SC则在P=1时最小，故，考虑由LR（似然比）检验进行取舍。原假设模型的最大滞后期为1，即P=1.检验统计量：其中，分别表示p=1,p=3时模型整体的对数似然函数值。在零假设下，该统计量渐近分布，自由度为从Var(3)到Var(1)对模型参数施加的零约束的个数。Pval=0.00096,故拒绝原假设，采用滞后期为3。第四十五页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

预报：第四十六页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

第四十七页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

六.Var建模的一些问题1.优点

方法简单

无须决定哪些变量是内生的，哪些变量是外生的。

估计简单常用的OLS法可用于逐个地估计每一方程。

预报好在许多案例中，用此法得到预报优于用更复杂的联立方程模型得到的预报。第四十八页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

2.存在的问题：不同于联立方程模型,Var利用较少的先验信息，所以是乏理论的（atheoretic）。由于重点放到预测，Var模型较不适合于政策分析对Var建模最大的挑战在于选择适当滞后长度模型中k个分量严格将应该是（联合）平稳的，如不然，则有必要适当变换数据（如：差分）。这给估计带来较大的难度所估计的模型中的系数往往难于逐一地加以解释，故Var技术的操作人员常估计一种所谓的脉冲响应函数以描述Var系数中的因变量如何响应与方程种的误差项的冲击。第四十九页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

第四节脉冲响应函数脉冲响应函数(IRF:ImpulseResponseFunction)用于衡量来自随机扰动项的一个标准差冲击对内生变量当前和未来取值的影响1.定义一个向量自回归写成向量的形式第五十页，共五十九页，编辑于2023年，星期五1.定义一个向量自回归写成向量的形式于是，即的第i行，第j