【教案】点到直线的距离公式　教学设计高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

教学设计表教学设计标题：点到直线的距离公式学情分析：点到直线的距离公式是选择性必修第一册第二章2.3.3的内容，学生具备了函数、向量（平面向量和空间向量）模块的知识储备和相应的思想方法，学生已经学习了点与点之间的距离公式，初步具备了用代数方法研究几何问题的解析几何思想.教学目标：1.通过探究，会推导点到直线的距离公式，发展学生的直观想像、逻辑推导和数学运算素养；2.通过多种方法证明，学生能从不同角度思考问题，发展学生分析问题，解决问题的能力；3.通过应用举例，学生能利用点到直线的距离公式解决简单的距离问题，发展学生知识应用能力和数学运算素养.教学重难点：重点：点到直线的距离公式推导；点到直线距离公式及其应用.难点：点到直线的距离公式推导.教学过程：一、提出问题如图所示，已知点P(x0,y0)，直线l：二、探究问题如图，过点P作l的垂线，垂足为Q，则线段PQ的长度，就是点P到直线l的距离.探究1线段PQ的长度，就是点P与点Q之间的距离，可以利用两点的距离公式得到，你能求出来吗？分析：可分为三步：第一步：利用垂直关系求出直线PQ的方程;第二步：联立直线PQ与l的方程，求出点Q的坐标;第三步：利用两点的距离公式，求出PQ解：当A=0,B≠0时，l:By+C=0,PQ当A≠0,B=0时，l:Ax+C=0,PQ当A≠0,B≠0时，由PQ⊥l，以及直线l的斜率为-AB，可知直线PQ的斜率为BA联立Ax+By+C=0Bx-Ay=Bx0即点Q的坐标为(B根据两点的距离公式，有PQ===综上，点P(x0,yd思考：上述方法中，我们把点到直线的距离转化为点到点的距离来求解，思路自然但运算量大.反思解题过程，你能发现引起复杂运算的原因吗？由此能否给出简化计算的方法？在上述方法中,若设垂足Q(x,y我们可以不求点Q坐标，根据Ax+By+C=0Bx-Ay=Bx0观察结构，由Ax+By+C=0Bx-Ay=Bx将两式平方相加得x-则PQ探究2我们知道向量是一个强有力的工具,我们已经利用空间向量解决了空间中点到平面的距离问题.由此你能否利用平面向量方法解决平面中点到直线的距离问题吗?受求空间中点到平面的距离方法启发，又在平面中与直线垂直的向量易求，故可得以下解法：如图所示，设点M(x,y)是直线l:Ax+By+C=0上任意一点，PQ由前面所学知道直线l:Ax+By+C=0的一个方向向量为n=1从而PM=因为点M(x,y)PM因此PQ探究3除了上述两种方法，你还有其他方法吗？请阅读下面数学史材料，探究其中解法.材料1：19世纪英国数学家托德亨特对点线距离作了另一种方式的转化，用三角形方法解决.如图，过点P作x轴的平行线，交l于点R，则在Rt∆PQR中，由线段PR和∠PRQ材料2：20世纪，美国数学家泰勒在其《微积分与解析几何》中，抓住距离概念的本质，通过函数的最值来求点到直线的距离.如图，设M为直线l上任意一点，则点P到l的距离就是|PM|的最小值根据材料1，当A≠0,B≠0时，由PR平行x轴可知点R的坐标为(-By0+CA,y0),则PR=x0+PQ根据材料2，B≠0时,设点M(x,-PM=≥即点P到l的距离为Ax【设计意图】借助数学史，引导学生思考，提升学生的求知欲和探索欲.三、应用举例例1求点P-1,2到直线l:3分析：将直线l的方程写成3x-2=0,解：点P(-1,2)到直线ld例2已知∆ABC的三个顶点坐标分别是A1,3,B3,1分析：由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出∆ABC一解：设边AB上的高为h，则h就是点C到直线AB的距离.边AB所在的直线方程为y-3即x+根据点到直线的距离公式，有h又AB=S四、小结回顾推导点到平面的距离的几种方法，总结其中的数学思想方法.这几种解法蕴含了转化与化归的思想：探究1的解法是把点到直线的距离转化为点到点的距离；探究2解法是把点到直线的距离转化为投影向量