高一数学（人教B版）向量数量积的运算律1教案

教案教学根本信息课题向量数量积的运算律学科数学学段：高中班级高一教材书名：一般高中教科书数学必修第三册出版社：人民教育出版社出版日期：2019年7月教学设计参加人员姓名单位设计者王晓正北京师范高校良乡附属中学实施者王晓正北京师范高校良乡附属中学指导者刘雪明北京市房山区老师进修学校课件制作者王晓正北京师范高校良乡附属中学其他参加者教学目标及教学重点、难点教学目标：1.通过学习体会类比猜测证明的探究性学习方法，体会向量数量积的运算方法.2.通过探究性学习培育同学发觉、提出、解决数学问题的力量，有助于开展同学的创新意识.教学重点：向量数量积的运算律及应用.教学难点：向量数量积运算安排律的证明.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图一、复习回忆复习回忆：B1．复习非零向量的夹角BOAOA当a与b都是非零向量时，称的为向量a与向量b的夹角，记作<a,b>.且有<a,b>=<b,a>当<a,b>=π2时，称a2．向量数量积的定义：当a与b都是非零向量时，a·b=|a||b|cos<a,b>.当a与b至少有一个是零向量时，a·b=0.3．向量数量积的几何意义：两个非零向量的数量积，等于其中一个向量在另一个向量上投影的数量与另一个向量的模的乘积.任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在该单向量的加法位向量上的投影的数量.向量的加法4．向量向量的减法向量向量的减法向量的数乘向量的运算向量的数乘向量的运算实数向量数量积实数向量数量积通过回忆反思，对向量数量积的相关学问进行梳理，为探究运算律做预备.二、探究新知，类比向量的线性运算和实数的乘法运算，探究向量数量积的运算律猜测那么你能够猜一猜，向量的数量积运算具有什么样的运算律？猜测探究下面探究这些结论是否正确.探究1.证明：当和都是非零向量时，依据定义，可得，又由于所以，当和至少有一个是零向量时，综上，向量数量积满意交换律.2.分析：是实数，等式左边是与共线的向量，同理，等式右边是与共线的向量.思索①，这个等式有没有有可能成立？思索②，这个等式是否对任意向量恒成立？问题①：当==0时，等式成立.问题②：给出如下图例子：所以，==，所以等式左边是2，等式右边是2，因此等式不成立.综上，等式不肯定成立，不能作为向量数量积的运算律.思索③：等式在什么状况下可以成立？课下完成思索.3.分析：与关系，与的关系当>0时，=，与同向，=当<0时，=，与反向，=证明：当和都是非零向量且时，依据定义可得当>0时，==当<0时，===当和至少与一个是零向量或时，依据定义可得综上，以上结论对任意向量及任意实数恒成立，可以作为运算律.4.分析：三个角之间的关系不易讨论，观看到待证结论左右两侧都有，于是可以将待证结论转化为等式左边即为向量在上射影的数量；等式右边即为向量在上射影的数量与在上射影的数量的和.取是与同向的单位向量，那么=由向量数量积的几何意义可知任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在该单位向量上的投影的数量.证明：当和和都是非零向量时，取，即是与同向的单位向量，设和点O都在直线上，设,那么，分别过点A和B作直线的垂线，那么是在上投影，是在上投影，是在上投影，由于，所以，左右两边同时乘以，那么有成立.当和和至少有一个是零向量时，等式明显成立.由于，向量数量积对加法满意安排律.小结：利用数量积的定义和几何意义，证明白如下三条运算律成立，并且可以推广出：对向量数量积的运算律进行类比猜测，然后进行严谨证明，证明过程中培育同学的分析问题、解决问题的力量.四、例题讲解例1．求证：分析：证明等式的方法：作差法，综合法，分析法等证明：考查向量数量积的安排律，交换律的应用.例2.求.分析：代入求值即可.解：所以，考查向量数量积在求模长中的应用，及向量数量积三条运算律的应用.例3.用向量法证明菱形的对角线相互垂直.文字语言转化为数学语言：是菱形，其中和是对角线，求证：分析：首先结论向量化证明：在菱形中，==由于，所以=0，所以，故小结：用向量法求解几何问题的三个步骤：步骤1.用向量表示题目中的条件和结论的几何关系；步骤2.进行向量的线性运算和数量积运算；步骤3.将向量关系复原为几何结论；关键点：选择适宜、恰当的基底向量，也是难点.通过例题稳固同学对向量数量积的定义和性质、运算律等学问的把握.五、课堂小结1.向量数量积的运算律及证明；2.利用向量数量积的定义和运算律解决等式证明及相关值求解的问题；3.利用向量法求解几何问题.总结本节课向量数量积的运算律及利用定义和运算律解决了哪些问题。六、作业【作业参考答案】证明