信息系统监理师考试重点难点汇总

关键路径（CPM）

AOE网（ActivityOnEdgenetwork）,即边表示活动的网络，与AOV网相对应的是。它通常表示一个工程的计

划或进度。

AOE网是一个有向带权图，图1中的：

边：表示活动（子工程），

边上的权：表示该活动的持续时间，即完成该活动所需要的时间；

顶点：表示事件，每个事件是活动之间的转接点，即表示它的所有入边活动到此完成，所有出边活动从此开

始。

其中有两个特殊的顶点（事件），一个称做源点，它表示整个工程的开始，亦即最早活动的起点，显然它只有出

边，没有入边；另一个称做汇点，它表示整个工程的结束，亦即最后活动的终点，显然它只有入边，没有出边。除

这两个顶点外，其余顶点都既有人边，也有出边，是入边活动和出边活动的转接点。

在一个AOE网中，若包含有n个事件，通常令源点为第。个事件，汇点为第n-1个事件，其余事件的编号（即

顶点序号）分别为l~n-2。

一个AOE网如图，该网中包含有10项活动和7个事件。

例如，边〈I,2＞表示活动4，持续时间（即权值）为3,假定以天为单位，即为需要3天完成，它以V1事件为

起点，以V2事件为终点；边＜2,5＞和＜2,4＞分别表示活动2和as，它们的持续时间分别为4天和2天，它们均以

V2事件为起点，以V5和V4事件为终点。该网中的源点和汇点分别为第1个事件V、和最后一个事件V7,它们分别

表示整个工程的开始和结束。

对于一个AOE网，待研究的问题是：

（1）整个工程至少需要多长时间完成？

（2）哪些活动是影响工程进度的关键？

1.事件的最早发生时间与活动的最早开始时间的关系

在AOE网中，一个顶点事件的发生或出现必须在它的所有入边活动（或称前驱活动）都完成之后，即只要有一个

入边活动没有完成，该事件就不可能发生。所以：

一个事件的最早发生时间是它的所有入边活动，或者说最后一个入边活动刚完成的时间。

•个活动的开始必须在它的起点事件发生之后，也就是说，一个顶点事件没有发生时，它的所有出边活动（或称

后继活动）都不可能开始，所以：

一个活动的最早开始时间是它的起点事件的最早发生时间。若用Ve[j]表示顶点』事件的最早发生时间，用e[i]

表示S一条出边活动为的最早开始时间，则有e[i]=Vcg]„

2.求事件的最早发生时间

对于源点事件来说，因为它没有入边，所以随时都可以发生，整个工程的开始时间就是它的发生时间，亦即最

早发生时间，通常把此时间定义为0,从此开始推出其他事件的最早发生时间。

例如，如图所示的AOE网中，

V5事件的发生必须在铀和ag活动都完成之后，而心和ag活动的开始又必须分别在V2和V4事件的发生之后，

V2和V4事件的发生又必须分别在a,和a2活动的完成之后，因药和a?的活动都起于源点，其最早开始时间均为0,

所以由和a2的完成时间分别为3和6,这也分别是V2和的最早发生时间，以及2和的最早开始时间，故由

和a8的完成时间分别为7和7,由此可知V5事件的最早发生时间为7,即所有入边活动中最后一个完成的时间。

从以上分析可知，一个事件的发生有待于它的所有入边活动的完成，而每个入边活动的开始和完成又有待于

前驱事件的发生，而每个前驱事件的发生又有待于它们的所有入边活动的完成，……总之，・个事件发生在从源点

到该顶点的所有路径上的活动都完成之后，显然，其最早发生时间应等于从源点到该顶点的所有路径上的最长路径

长度。这里所说的路径长度是指带权路径长度，即等于路径上所有活动的持续时间之和。

如从源点到顶点V4共有三条路径，长度分别为5、6和3,所以V4的最早发生时间为6o

从源点V1到汇点V7有多条路径，通过分析可知，其最长路径长度为10,所以汇点V7的最早发生时间为10。

汇点事件的发生，表明整个工程中的所有活动都已完成，所以完成图所对应的工程至少需要10天。

如何从源点V1的最早发生时间1出发，求出其余各事件的最早发生时间。

求一个事件Vk的最早发生时间(即从源点V「Vk的最长路径长度)的常用方法是：

由它的每个前驱事件Vj的最早发生时间(即从源点V「Vj的最长路径长度)分别加上相应入边<i,k>上的权，

其值最大者就是Vk的最早发生时间。由此可知，必须按照拓扑序列中的顶点次序(即拓扑有序)求出各个事件的最早

发生时间，这样才能保证在求一个事件的最早发生时间时，它的所有前驱事件的最早发生时间都已求出。

设V/k]表示vk事件的最早发生时间,V5]表示vk的一个前驱事件vj的最早发生时间,dut(cj,k>)表示边<j,k>

上的权，p表示vk顶点所有入边的集合，则网中每个事件vk(OWkWn-l)的最早发生时间Ve可由下式，按照拓扑有

序计算出来。

Ve(k)=0(k=0)

max{Ve[jl+dut(<j,k>)}(IWkWn-1,<j,k>ep)

按照此公式和拓扑有序计算出图所示的AOE网中每个事件的最早发生时间为：

Ve(l)=0

Ve(2)=Ve(l)+dut(<1,2>)=0+3=3

Ve(3)=Ve(l)+dut(<1,3>)=0+2=2

Ve(4)=max{Ve(l)+dut(<1,4>),Ve⑵+dut(<2,4>),匕(3)+dut(<3,4>)}=max{0+6,3+2,2+1}=6

Ve(5)=max{Ve(2)+dut(<2,5>),Ve(4)+dut(<4,5>)}=max{3+4,6+1)=7

Ve(6)=Ve(3)+dut(<3,6>)=2+3=5

Ve(7)=max{Ve(5)+dut(<5,7>),Ve(6)+dut(<6,7>)}=max{7+3,5+4}=10

最后得到的Ve(7)就是汇点的最早发生时间，从而可知整个工程至少需要10天完成。

3.事件的最迟发生时间与活动的最迟开始时间的关系

事件的最迟发生时间：在不影响整个工程按时完成的前提下，一些事件可以不在最早发生时间发生，而允许向

后推迟一些时间发生，我们把最晚必须发生的时间叫做该事件的最迟发生时间。

同样，在不影响整个工程按时完成的前提下，一些活动可以不在最早开始时间开始，而允许向后推迟•些时间

开始，我们把最晚必须开始的时间叫做该活动的最迟开始时间。AOE网中的任一个事件若在最迟发生时间仍没有发

生或任一项活动在最迟开始时间仍没有开始，则必将影响整个工程的按时完成，使工期拖延。

若用V|[k]表示顶点《事件的最迟发生时间，用l[i]表示Vk的一条入边<j,k>上活动比的最迟开始时间，用dut«j,

k>)表示4的持续时间，则有l[i]=V|[k]-dut(<j,k>)

因为活动的最迟完成时间也就是它的终点事件Vk的最迟发生时间，所以a,的最迟开始时间应等于Vk的最迟发

生时间减去雷的持续时间，或者说，要比Vk的最迟发生时间提前比所需要的时间。

4.求事件的最迟发生时间

为了保证整个工程的按时完成，把汇点的最迟发生时间定义为它的最早发生时间，即V|[n]=VJn]V”其他每

个事件的最迟发生时间应等于汇点的最迟发生时间减去从该事件的顶点到汇点的最长路径长度，或者说，每个事件

的最迟发生时间比汇点的最迟发生时间所提前的时间应等于从该事件的顶点到汇点的最长路径上所有活动的持续

时间之和。

求一个事件Vj的最迟发生时间的常用方法是：由它的每个后继事件Vk的最迟发生时间分别减去相应出边<j,

k>上的权，其值最小者就是vj的最迟发生时间。山此可知，必须按照逆拓扑有序求出各个事件的最迟发生时间，

这样才能保证在求一个事件的最迟发生时间时，它的所有后继事件的最迟发生时间都已求出。

设V|[j]表示待求的Y事件的最迟发生时间，Vjk]表示Y的一个后继事件Vk的最迟发生时间，dut«j,k>)表

示边<j,k>上的权，s表示Vj顶点的所有出边的集合，则AOE网中每个事件Vj(OWjWn-l)的最迟发生时间:

V\U]=Ve[n-l](j=n-1)

min{V,[k]-dut(<j,k>)}(OWjWn-2,vj,k>Gs)

按照此公式和逆拓扑有序计算出图AOE网中每个事件的最迟发生时间为：

V1[7]=Ve[7]=10

V,[6]=V,[7]-dut(<6,7>)=10-4=6

V,[5]=V,⑺-dut(<5,7>)=10-3=7

V、[4]=V,[5]-dut(<4,5>)=7-1=6

V|[3]=min{V,[4]-dut(<3,4>),V,[6]-dut(<3,6>)}=min{6-1,6-3}=3

V|[2]=min{V,[4]-dut(<2,4>),V,[5]-dut(<2,5>)}=min{6-2,7-4)=3

V|[1]=min{V|[2]-dut(<l,2>),V,[3]-dut(<l,3>),V,[4]-dut(<l,4»}=min{3-3,3-2,6-6}=0

5.根据AOE网中每个事件的最早发生时间和最迟发生时间计算出每个活动的最早开始时间和最迟开始时间。

设事件M的最早发生时间为VJj],它的一个后继事件Vk的最迟发生时间为V"k],则边勺，k>上的活动码的

最早开始时间e[i]和最迟开始时间l[i]的计算公式重新列出如下：

e[i]=Vc[j]

l[i]=V,[k]-dut(<j,k>)

根据此计算公式可计算出AOE网中每一个活动电的最早开始时间e[i],最迟开始时间和开始时间余量

l[i]-e[i]o

列出图6-27中每一活动的这三个时间。

@2

ataia30-5%37a8&a1。

e(i)0003302675

l(i)0013403676

1(i)~e(i)0010101001

表中余量的说明:

有些活动的开始时间余量不为0,表明这些活动不在最早开始时间开始，至多向后拖延相应的开始时间余量所

规定的时间开始也不会延误整个工程的进展。如对于活动a5,它最早可以从整个工程开工后的第3天开始，至多向

后拖延1天，即从第4天开始。

有些活动的开始时间余量为0,表明这些活动只能在最早开始时间开始，并且必须在持续时间内按时完成，否

则将拖延整个工期。我们把开始时间余量为0的活动称为关键活动，山关键活动所形成的从源点到汇点的每一条路

径称为关键路径。

程的工期就是按照最长路径长度计算出来的，即等于该路径上所有活动的持续时间之和。当然一条路径上的活动只

能串行进行，若最长路径上的任一活动不在最早开始时间开始，或不在规定的持续时间内完成，都必然会延误整个

工期，所以每一项活动的开始时间余量为0,故它们都是关键活动。

6.求出关键路径的意义

可通过加快关键活动(即缩短它的持续时间)来实现缩短整个工程的工期。

但并不是加快任何一个关键活动都可以缩短整个工程的工期。只有加快那些包括在所有关键路径上的关键活动

才能达到这个目的。

例如，加快图中关键活动a2的速度，使之由6天完成变为4天完成，则不能使整个工程的工期由10天变为8,

因为另一条关键路径{V1,V2,V5,V7}中不包括活动a?,,这只能使它所在的关键路径{V1,V4,V5,V7}变为非关

键路径。而活动ag是包括在所有的关键路径中的，若活动ag由3天变为2天完成，则整个工程的工期可由10天缩

短为9天。另一方面，关键路径是可以变化的，提高某些关键活动的速度可能使原来的非关键路径变为新的关键路

径，因而关键活动的速度提高是有限度的。例如，图1中关键活动ag由3改为2后，路径｛V”V3,V6,V7｝也变

成了关键路径，此时，再提高ag的速度也不能使整个工程的工期提前。

挣值管理分析一例

一概念

1挣值管理是种综合了范围、时间、成本绩效测量的方法。通过与计划完成的工作量、实际挣得的收益、实际的

成本进行比较，可以确定成本、进度是否按计划进行。挣值管理可以在项目某一特定时间点上，从达到范围、时间、

成本三项目标上评价项目所处的状态。

2挣值管理是以项目计划作为一个基准线来衡量：己经完成的工作

花费的时间（是超前还是滞后）

花费的成本（是超支还是节约）

二关键值

1计划值（PV）相当于（BCWS）：即根据批准认可的进度计划和预算到某一时点应当完成的工作所需要投入

的资金。这个值对衡量项目进度和费用都是一个基准，一般来说，PV在项目

实施过程中应保持不变，除非预算、计划或者合同有变更。

2实际值（AC）相当于（ACWP）：即到某一时间点已完成的工作实际花费或消耗的成本。

3挣值（EV）相当于（BCWP）：根据批准认可的预算，到某一时点已经完成的工作应当投入的资金。

三常用的尺度（注意：这些取值都在同时间点上，相当于定个检查日期进行偏差分析）

1成本偏差CV=EV-AC结果：大于0成本节约状态

小于0成本超支状态

2进度偏差SV=EV-PV结果：大于0进度超前状态

小于0进度滞后状态

3成本绩效指标CPI=EV/AC结果：大于1成本节约

小于1成本超支

4进度绩效指标SPI=EV/PV结果：大于1进度超前

结果：小于1进度滞后

四斜率分析法（一般情况下，工程项目出现成本超支，进度落后情况较多，以此种情况进行分析，并且将S曲线

理想化为直线）

在平面直角坐标系的第一象限，以横轴为时间轴，纵轴为成本轴，从原点引斜率不同三条射线。

斜率分别：角度为60度Kl=1.732为ACACWP线

角度为45度K2=l为PVBCWS线

角度为30度K3=0.57为EVBCWP线

作一条直线垂直于时间轴，相当于定一个检查”期:

CV=EV-AC小于0成本超支

SV=EV-PV小于0进度落后

CPI=EV/AC小于1成本超支

SPI=EV/PV小于1进度滞后

五举例说明

某项目计划工期为4年，预算总成本为800万元。在项目的实施过程中，通过对成本的核算和有关成本与进度胡

记录得知，在开工后第二年年末的实际情况是：开工后二年末实际成本发生额为200万元，所完成工作的计划预算

成本额为100万元。与项目预算成本比较可知：当工期过半时，项目的计划成本发生额应该为400万元。试分析项

目的成本执行情况和计划完工情况。

由已知条件可知：PV=400万元AC=200万元EV=100万元

CV=EV-AC=100-200=-100成本超支100万元

SV=EV-PV=100-400=-300进度落后300万元

SPI=EV/PV=100/400=25%二年只完成了二年工期的25%,相当于只完成了总任务在1/4.

CPI=EV/AC=100/200=50%完成同样的工作量实际发生成本是预算成本的2倍。

双代号网络计划

一、双代号网络图

双代号网络图是以箭线及其两端节点的编号表示工作的网络图，如图所示。从下图中可以看出双代号网络图由

箭线、节点、线路三个基本要素组成。

—―

双代号网络图

（一）基本要素

1.箭线（工作）

（1）在双代号网络图中，每一条箭线表示一项工作。箭线的箭尾节点表示该工作的开始，箭头节点表示该工

作的结束。工作的名称标注在箭线的上方，完成该项工作所需要的持续时间标注在箭线的下方。如图所示。由于一

项工作需用一条箭线和其箭尾和箭头处两个圆圈中的号码来表示，故称为双代号表示法。

G工作名林_。

7持续时间j

双代号表示法

（2）在双代号网络图中，任意一条实箭线都要占用时间、消耗资源（有时，只占时间，不消耗资源，如混凝

土的养护）。在建筑工程中，一条箭线表示项目中的一个施工过程，它可以是一道工序、一个分项工程、一个分部

工程或一个单位工程，其粗细程度、大小范围的划分根据计划任务的需要来确定。

（3）在双代号网络图中，为了正确地表达图中工作之间的逻辑关系，往往需要应用虚箭线，其表示方法如图

所示。

O-…一-一二…*0

双代号表示法

虚箭线是实际工作中并不存在的一项虚拟工作，故它们既不占用时间，也不消耗资源，一般起着工作之间的联

系、区分和断路三个作用。联系作用是指应用虚箭线正确表达工作之间相互依存的关系；区分作用是指双代号网络

图中每一项工作都必须用一条箭线和两个代号表示，若两项工作的代号相同时，应使用虚工作加以区分，如图所示;

断路作用是用虚箭线断掉多余联系（即在网络图中把无联系的工作联接上了时，应加上虚工作将其断开）。

情课画法正确前法

虚简线的区分作用

（4）在无时间坐标限制的网络图中，箭线的长度原则上可以任意画，其占用的时间以下方标注的时间参数为

准。箭线可以为直线、折线或斜线，但其行进方向均应从左向右，如图所示。在有时间坐标限制的网络图中，箭线

的长度必须根据完成该工作所需持续时间的大小按比例绘制。

笳线的表达形式

（5）在双代号网络图中，各项工作之间的关系如图所示。通常将被研究的对象称为本工作，用i-_/工作表示,

紧排在本工作之前的工作称为紧前工作，紧排在本工作之后的工作称为紧后工作，与之平行进行的工作称为平行工

作。

2.节点（又称结点、事件）

节点是网络图中箭线之间的连接点。在双代号网络图中，节点既不占用时间、也不消耗资源，是个瞬时值，即

它只表示工作的开始或结束的瞬间，起着承上启下的衔接作用。网络图中有三种类型的节点：

（1）起点节点

网络图的第个节点叫“起点节点”，它只有外向箭线，一般表示一项任务或一个项目的开始,

如图所示。

起点节点

节点类型示意图

（2）终点节点

网络图的最后•个节点叫“终点节点”，它只有内向箭线，一般表示一项任务或一个项目的完成，如图所示。

终点节点

节点类型示意图

（3）中间节点

网络图中即有内向箭线，又有外向箭线的节点称为中间节点，如图所示。

中间节点

节点类型示意图

（4）在双代号网络图中，节点应用圆圈表示，并在圆圈内编号。一项工作应当只有惟一的一条箭线和相应的

对节点，且要求箭尾节点的编号小于其箭头节点的编号。例如在下图中，应有：网络图节点的编号

顺序应从小到大，可不连续，但不允许重复。

工作的

一*工作的

结束结点j

结束结点

前项工作一只后项工作A

I，一/工作的/一“工作的

开始结点开蛤结点

箭尾节点和箭头节点

3.线路

网络图中从起点节点开始，沿箭头方向顺序通过一系列箭线与节点，最后达到终点节点的通路称为线路。线路

上各项工作持续时间的总和称为该线路的计算工期。一般网络图有多条线路，可依次用该线路上的节点代号来记述,

例如网络图5—1中的线路有：①一②一③一④一⑦一⑧，①一②一⑤一⑥一⑦一⑧等，其中最长的一条线路被称

为关键线路，位于关键线路上的工作称为关键工作。

（二）逻辑关系

网络图中工作之间相互制约或相互依赖的关系称为逻辑关系，它包括工艺关系和组织关系，在网络中均应表现

为工作之间的先后顺序。

1.工艺关系

生产性工作之间由工艺过程决定的、非生产性工作之间由工作程序决定的先后顺序叫工艺关系。

2.组织关系

工作之间由于组织安排需要或资源（人力、材料、机械设备和资金等）调配需要而规定的先后顺序关系叫组织

关系。

网络图必须正确地表达整个工程或任务的工艺流程和各工作开展的先后顺序及它们之间相互依赖、相互制约的

逻辑关系，因此，绘制网络图时必须遵循一定的基本规则和要求。

（三）绘图规则

（1）双代号网络图必须正确表达已定的逻辑关系。

（2）双代号网络图中，严禁出现循环回路。

所谓循环回路是指从网络图中的某一个节点出发，顺着箭线方向又回到了原来出发点的线路。如图所示。

循环线路示意图

（3）双代号网络图中，在节点之间严禁出现带双向箭头或无箭头的连线。如图所示。

0<-----O

0-----0

循线的错误画法

（4）双代号网络图中，严禁出现没有箭头节点或没有箭尾节点的箭线。如图所示。

）

o_-_-<I--o©-*0r-"*0

没行筋头和筋尾在点的箭线

（5）当双代号网络图的某些节点有多条外向箭线或多条内向箭线时，为使图形简洁，可使用母线法绘制（但

应满足一项工作用一条箭线和相应的©一对结点表示），如图所示。

®

®

球线表示方法

（6）绘制网络图时，箭线不宜交叉；当交叉不可避免时，可用过桥法或指向法。如图所示。

0------*0

0~~

指向法

简线交叉的表示方法

（7）双代号网络图中应只有一个起点节点和一个终点节点（多目标网络计划除外）；而其他所有节点均应是中

间节点。如图所示。

一个起点节点、一个终点节点的网络图

二、双代号网络计划时间参数的计算

双代号网络计划时间参数计算的目的在于通过计算各项工作的时间参数，确定网络计划的关键工作、关键线路

和计算工期，为网络计划的优化、调整和执行提供明确的时间参数。双代号网络计划时间参数的计算方法很多，一

般常用的有：按工作计算法和按节点计算法进行计算；在计算方式上又有分析计算法、表上计算法、图上计算法、

矩阵计算法和电算法等。本节只介绍按工作计算法在图上进行计算的方法（图上计算法）。

（-）时间参数的概念及其符号

1.工作持续时间

工作持续时间是对一项工作规定的从开始到完成的时间。在双代号网络计划中，工作i-）的持续时间用表

示。

2.工期（T）

工期泛指完成任务所需要的时间，一般有以下三种：

（1）计算工期：根据网络计划时间参数计算出来的工期，用〃表示。

（2）要求工期：任务委托人所要求的工期，用7；表示。

（3）计划工期：在要求工期和计算工期的基础上综合考虑需要和可能而确定的工期，用7；表示。网络计划的

计划工期G应按下列情况分别确定：

1）当已规定了要求工期7；时，

TpWT,（5-1）

2）当未规定要求工期时，可令计划工期等于计算工期，

。=底（5—2）

3.网络计划中工作的六个时间参数

（1）最早开始时间（ESJ

是指在各紧前工作全部完成后，本工作有可能开始的最早时刻。工作i-）的最早开始时间用表示。

（2）最早完成时间（EFf）

是指在各紧前工作全部完成后，本工作有可能完成的最早时刻。工作i-）的最早完成时间用ER--表示。

（3）最迟开始时间（LSjj）

是指在不影响整个任务按期完成的前提下，工作必须开始的最迟时亥人工作i-）的最迟开始时间用LSf表示。

（4）最迟完成时间（LFf）

是指在不影响整个任务按期完成的前提下，工作必须完成的最迟时刻。工作i-/的最迟完成时间用LF「j表示。

（5）总时差（TFjj）

是指在不影响总工期的前提下，本工作可以利用的机动时间。工作i-）的总时差用表示。

（6）自由时差（FFj）

是指在不影响其紧后工作最早开始的前提下，本工作可以利用的机动时间。工作i-/的自由时差用FFj表示。

按工作计算法计算网络计划中各时间参数，其计算结果应标注在箭线之上，如图所示。

ES._,IS,-,ITE-J

IF.-,J

0J_持_续时间——oJ

工作时间参数标注形式

（二）双代号网络计划时间参数计算

按工作计算法在网络图上计算六个工作时间参数，必须在清楚计算顺序和计算步骤的基础上，列出必要的公式,

以加深对时间参数计算的理解。时间参数的计算步骤为：

1.最早开始时间和最早完成时间的计算

从上所述，工作最早时间参数受到紧前工作的约束，故其计算顺序应从起点节点开始，顺着箭线方向依次逐项

计算。

（1）以网络计划的起点节点为开始结点的工作的最早开始时间为零。如网络计划起点节点的编号为1,贝IJ:

ES”j=0（i=l）（5—3）

（2）顺着箭线方向依次计算各个工作的最早完成时间和最早开始时间。

1）最早完成时间等于最早开始时间加上其持续时间：

EFf=ESjj+Di_j（5-4）

2）最早开始时间等于各紧前工作的最早完成时间EFj的最大值：

ESj_j=Max[EFj]（5—5）

或ES「j=Max[ESJ+]（5—6）

2.确定计算工期〃

计算工期等于以网络计划的终点节点为箭头节点的各个工作的最早完成时间的最大值。当络计划终点节点的编

号为n时，计算工期：

Tc=Max[EFt_n]（5-7）

当无要求工期的限制时，取计划工期等于计算工期，即取：TP=TC.

3.最迟开始时间和最迟完成时间的计算

工作最迟时间参数受到紧后工作的约束，故其计算顺序应从终点节点起，逆着箭线方向依次逐项计算。

（1）以网络计划的终点节点（/=〃）为箭头节点的工作的最迟完成时间等于计划工期7；,即：

LFj_.=Tp（5-8）

（2）逆着箭线方向依次计算各个工作的最迟开始时间和最迟完成时间。

1）最迟开始时间等于最迟完成时间减去其持续时间：

LS「j=LFi_j-Dj（5-9）

2）最迟完成时间等于各紧后工作的最迟开始时间大的最小值：

J八

LFf=Min[LSj_k]（5—10）

或LF..=MinLLF.-D..]（5—11）

4.计算工作总时差

总时差等于其最迟开始时间减去最早开始时间，或等于最迟完成时间减去最早完成时间：

TJ-LSjj-ES「j（5-12）

TF”j-LFi_i-EFi_j（5-13）

5.计算工作自由时差

当工作i一_/有紧后工作j一人时，其自山时差应为：

FF.^=EShk-EFi_j（5-14）

或FF^=ESj_k-£S,._7-Di_j（5-15）

以网络计划的终点节点（）为箭头节点的工作，其自由时差/工〜应按网络计划的计划工期7；确定，即:

FFi=Tp-EFj（5-16）

三、关键工作和关键线路的确定

1.关键工作

总时差最小的工作是关键工作。

2.关键线路

自始至终全部由关键工作组成的线路为关键线路，或线路上总的工作持续时间

最长的线路为关键线路。网络图上的关键线路可用双线或粗线标注。

【例5-1】已知网络计划的资料如表所示，试绘制双代号网络计划；若计划工期等于计算工期，试计算各项工

作的六个时间参数并确定关键线路，标注在网络计划上。

双代号网络计•划计算实例

（2）计算各项工作的时间参数，并将计算结果标注在箭线上方相应的位置。

1）计算各项工作的最早开始时间和最早完成时间

从起点节点（①节点）开始顺着箭线方向依次逐项计算到终点节点（⑥节点）。

(a)以网络计划起点节点为开始节点的各工作的最早开始时间为零：

阳_2=阳_3=0

(b)计算各项工作的最早开始和最早完成时间：

EF{_2—ES\_2+。1-2=0+2=2

EE——ESt_3+3=0+4=4

ES2.3—ES2-4=EF-2=2

EF2_3—E52_3+AT=2+3=5

EF2_4—ES2_4+O2_4=2+3=5

ES3_4—ES3_5=Max[EFt_3,EF2_3]=Max[4,5]=5

%_4-ES37+/J1=5+6=11

EF3_5=ES3_5+O3_5=5+5=10

ES4_6—ES4_5=Max[EF3_4,EF2_4]=Max[11,5]=11

EF『6=ES1+O”6=11+5=16

EJ=11+0=11

ES5_6=Max[EF3_5,EF4_5]=Max[10,11]=11

ES5_6=11+3=14

将以上计算结果标注在图中的相应位置。

0I0|02|2|0

H220C5|5|0

2"—

“8卜

DMll|6

3

双代号网络计划计算实例

2）确定计算工期心及计划工期。

计算工期：Tc=Max[EF5_6,EF4_6]=Max[14,16]=16

已知计划工期等于计算工期，即：

计划工期：Tp=Tc=16

3）计算各项工作的最迟开始时间和最迟完成时间

从终点节点（⑥节点）开始逆着箭线方向依次逐项计算到起点节点（①节点）。

（a）以网络计划终点节点为箭头节点的工作的最迟完成时间等于计划工期：

比-6="5-6=16

（b）计算各项工作的最迟开始和最迟完成时间：

£$4-6=LF4-6-O4-6=16—5=11

L$5_6=L&-6_O5-6=16_3=13

LF3_5=LF4_5=LS5_6=13

LS3T=LF3_5—D3_5=13—5=8

LS4_5=LF——D4_5=13—0=13

LF2_4=LF3_4=Min[LS4_5,L54_6]=Min[13,11]=11

LS2_4=LF2_4—D2_4=11—3=8

LS3_4=LF3_4—£）3—4=11-6=5

LT1=Z/尸2-3=Min[LS3.,L5S_5]=Min[5,8]=5

LSJ-3=LF—3—D1_3=5—4=1

LS2_3=LF2_3—£>2_3=5—3=2

=Min"$2—3，L§2—41=Min[2,8]=2

LFX_2

LS1_2=LF{_2—D{_2=2—2=0

4）计算各项工作的总时差：%

可以用工作的最迟开始时间减去最早开始时间或用工作的最迟完成时间减去最早完成时间:

TF}_2=LS}__2—ES\_?=0-0=0

或TF-2="L2—EF-2=2—2=0

TF—=LS―—=1-0=1

TF2_3=LS2_3—ES2_3=2—2=0

TF2_4=LS2_4-ES2.4=8-2=6

T尸3-4=£53_4=5-5=0

TF3_5=LS3_5—ES3_5=8—5=3

=LS-6_ES-6=11T1=0

TF5_6=LS5_6-ES5_6=13-11=2

5）计算各项工作的自山时差：TFi_j

等于紧后工作的最早开始时间减去本工作的最早完成时间:

FF—2=ES2.3—EF12=2-2=0

7

PF——ES3_4—EV—=5—4=1

FF2_3—ES3T—EF2_3=5—5=0

FF2_4-ES4-6—Ef2-4=11—5=6

FF3_4=E54_6-EF3_4=11-11=0

FF3_5=ES5_6-£F3_5=11-10=1

FF.6=Tp—EF—6=16—16=0

FF5-6=Tp-EI=1674=2

将以上计算结果标注在下图中的相应位置。

图例II

14|16|2

3

fIII13

2

16I16|0"又

J

。-5

7i16

“8卜

Mll|6

3

双代号网络计划计算实例

（3）确定关键工作及关键线路。

在下图中，最小的总时差是0,所以,凡是总时差为0的工作均为关键工作。该例中的关键工作是：①一②,

双代号网络计划计算实例

在下图中，自始至终全由关键工作组成的关键线路是：①一②一③一④一⑥。关键线路用双箭线进行标注，如

图所示。

图例III1312

14I16|2

53

片fIII1312

III1310

2IIII0

iT

米H16I160

O65

7116

0|o

/i2|2|OC

2*0

2|816

DHll|6

3

双代号网络计划计算实例

四、双代号时标网络计划

1.双代号时标网络计划的特点

双代号时标网络计划是以水平时间坐标为尺度编制的双代号网络计划，其主要特点有：

（1）时标网络计划兼有网络计划与横道计划的优点，它能够清楚地表明计划的时间进程，使用方便；

（2）时标网络计划能在图上直接显示出各项工作的开始与完成时间，工作的自由时差及关键线路；

（3）在时标网络计划中可以统计每一个单位时间对资源的需要量，以便进行资源优化和调整；

（4）由于箭线受到时间坐标的限制，当情况发生变化时，对网络计划的修改比较麻烦，往往要重新绘图。但

在使用计算机以后，这一问题已较容易解决。

2.双代号时标网络计划的一般规定

（1）时间坐标的时间单位应根据需要在编制网络计划之前确定，可为：季、月、周、天等；

（2）时标网络计划应以实箭线表示工作，以虚箭线表示虚工作，以波形线表示工作的自由时差；

（3）时标网络计划中所有符号在时间坐标上的水平投影位置，都必须与其时间参数相为应。节点中心必须对

准相应的时标位置；

（4）虚工作必须以垂直方向的虚箭线表示，有自由时差时加波形线表示。

3.时标网络计划的编制

时标网络计划宜按各个工作的最早开始时间编制。在编制时标网络计划之前，应先按已确定的时间单位绘制出

时标计划表，如表所示。

1"标讨-划表

II为

（时间单位）12345678910111213141516

网络计划

（时间单位）

双代号时标网络计划的编制方法有两种:

（1）间接法绘制

先绘制出标时网络计划，计算各工作的最早时间参数，再根据最早时间参数在时标计划表上确定节点位置，连

线完成，某些工作箭线长度不足以到达该工作的完成节点时，用波形线补足。

（2）直接法绘制

根据网络计划中工作之间的逻辑关系及各工作的持续时间，直接在时标计划表上绘制时标网络计划。绘制步骤

如下：

1）将起点节点定位在时标表的起始刻度线上。

2）按工作持续时间在时标计划表上绘制起点节点的外向箭线。

3）其他工作的开始节点必须在其所有紧前工作都绘出以后，定位在这些紧前工作最早完成时间最大值的时间

刻度上，某些工作的箭线长度不足以到达该节点时，用波形线补足，箭头画在波形线与节点连接处。

4）用上述方法从左至右依次确定其他节点位置，直至网络计划终点节点定位，绘图完成。

【例5-2］已知网络计划的资料如表所示，试用直接法绘制双代号时标网络计划。

网络计龙资料表

工作名称ABCDEFGIIJ

紧前工作///AA.BDC.ECDG

持续时间（天）347525354

【解】（1）将网络计划的起点节点定位在时标表的起始刻度线上位置上，起点节点的编号为1,如图所示。

<^r

I

-4I

/S/vWWVV'

时间（天）1234567S910II121314

双代号时标网络计划

（2）画节点①的外向箭线，即按各工作的持续时间，画出无紧前工作的A、B、C工作，并确定节点②、③、

④的位置，如图所示。

(3)依次画出节点②、③、④的外向箭线工作D、E、H,并确定节点⑤、⑥的位置。节点⑥的位置定位在其两

条内向箭线的最早完成时间的最大值处，即定位在时标值7的位置，工作E的箭线长度达不到⑥节点，则用波形线

补足，如图所示。

(4)按上述步骤，直到画出全部工作，确定出终点节点⑧的位置，时标网络计划绘制完毕，如图所示。

双代号时标网络计划

4.关键线路和计算工期的确定

(1)时标网络计划关键线路的确定，应自终点节点逆箭线方向朝起点节点逐次进行判定：从终点到起点不出

现波形线的线路即为关键线路。如图中，关键线路是：①一④一⑥一⑦一⑧，用双箭线表示，如图所示。

（2）时标网络计划的计算工期，应是终点节点与起点节点所在位置之差。如图中，计算工期心=14-0=14

（天）。

5.时标网络计划时间参数的确定

在时标网络计划中，六个工作时间参数的确定步骤如下：

（1）最早时间参数的确定

按最早开始时间绘制时标网络计划，最早时间参数可以从图上直接确定：

D最早开始时间ESf

每条实箭线左端箭尾节点（i节点）中心所对应的时标值，即为该工作的最早开始时间。

2）最早完成时间EFf

如箭线右端无波形线，则该箭线右端节点（，节点）中心所对应的时标值为该工作的最早完成时间；如箭线右

端有波形线，则实箭线右端末所对应的时标值即为该工作的最早-完成时间。

如图中可知：ES|_3=0，EF}_3=4；ES3.6=4,EF3_6=6O以此类推确定。

（2）自由时差的确定

时标网络计划中各工作的自由时差值应为表示该工作的箭线中波形线部分在坐标轴上的水平投影长度。

如图中可知：工作E、H、F的自由时差分别为：/居一6=1；F/4_8=2；尸工-8=1。

（3）总时差的确定

时标网络计划中工作的总时差的计算应自右向左进行，且符合下列规定:

1）以终点节点（_/=〃）为箭头节点的工作的总时差TP-.应按网络计划的计划工期。计算确定，即:

TH-EFi（5-17）

如图中可知，工作F、J、H、的总时差分别为：

TF5-&=1「一£F5_8=14—13=1

TF.j_s=Tp~~EF?T=14-14=0

=Tp—EF-8=14—12=2

TF4_S

2）其他工作的总时差等于其紧后工作,一人总时差的最小值与本工作的自由时差之和，即:

TF^j=Min[TFj_k]+FFj-j（5—18）

下图中，各项工作的总时差计算如下:

7氏-7=TF7f+FF6-7=0+0=0

TF3_6=TF6_7+FF3,6=0+l=l

TF_=MinErF_,FF_=Min[2,1]4-0=l+0=l

2557TF5_S]+25

TFt_4=MinETF4_6,TF4_g]+FF]_4