四边形命题中的计算与证明压轴答案版优选课程网

2021中考分类汇编（四边形

B．正六边形的每一个内角为120°C60°的三角形是等边三角形根据多边形的内角和求出正六边形的内角和，再求出每个内角对B作出判断；C作出判断；D【解答】解：A360°，故错误，假命题；B720120°，故正确，真命题；C60°的等腰三角形是等边三角形，故错误，假命题； B．任意多边形的外角和是360°B360°,正确，不合题意；（2021•岳阳市）下列命题是真命题的是 五边形内角和是

D.三角形的重心是这个三角形的三条【答案】（2021•省达州市）以下命题是假命题的是 的算术平方根是2C．一组数据：3，﹣1，1，1，2，41.5 2x1yx24x5，当1x5y【答案】【详解】解：A、2x12xDyx24x5x轴的交点坐标为1,0,5,0，开口向上，然后可得当1x5y0，正确，故符合题意；（2021•省凉山州）下列命题中，假命题是 ABBCBACCAB=BCBAC的中点，故为假命题；C．（2021•泸州市）下列命题是真命题的是（【答案】（2021•遂宁市）下列说法正确的是 在代数式1，2x，x，985，4 ，1y中，1，x，4

【答案】在代数式1，2x，x，985，4 ，1y中，1，4

2、3、x、1、533，故选项错误；（2021•绥化市）下列命题是假命题的是 【详解】解：选项A：三角形的两边之差小于第三边，故选项A正确，不符合题意；BB正确，不符合题意；CC不正D：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项D相平分②A，B，C，D，E，F六个队进行单循环赛，若A，B，C，D，E分别赛了5，4，3，2，1BD队③两个正六边形一定位似13132其中真命题的个数有A．1 B．2 C．3 D．4 y

x0时，yx若a0，则1a1【答案】

OEBCDEFDE的中点，连接OF交CD于点G接CF，若CE4OF6GF2OD

结论是 A. B. C. ，AC FDE∴OF1BE,OF//BE2∵OF6，CE4，BE12，则CDBC8，∴DGGF1 GF2

2OGtanCDECE1 ∵tanCDE11，2∴tanCDEtanDCF12DHx，则CH2xRt△DHCx24x26485x8585∴85

，C．13.（2021•山东省泰安市）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P段BC上运动（含B、C两点，连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（ 【分析如图AB为边向右作等边△ABF,作射线FQAD于点E,过点DDH⊥QEFE,DH,可得结论．⊥QEABCD,Q ＝QH重合时，DQ的值最小，最小值为，④A′C+B′C的最小值为9． A．1 B．2 C．3 D．4OC即可．④DAAD′,DDAAJ,DD′E⊥CD1CAAE,CEAAT,BDO,ABCD ∵•BD•CO＝∴A′C﹣B′C15,故③正确，2中，∵B′C＝A′D,DAAD′,DDAAJ,DD′E⊥CDCD的E,CDAAA′,CB′+CA′的值最小，最小值＝CD′,∴＝＝ ∴A′C+B′C的最小值为9．故④正确， 【分析】①根据∠DAC＝60°，OD＝OA，得出△OAD为等边三角形，再由△DFE为等论②④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，通过△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，可分析得出点F段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运E′，从而得出结论④正确；∴△OAD∵△DFE在△DAF和△DOE，在△ODE和△OCE，∴点F段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到∴点E运动的路程是2，1.（2021•江苏省无锡市）下列命题中，正确命题的个数 1个，2.（2021•省广元市）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线

P线段ODAP并延长交CDEPPFAPBCFAFEFAF

于G，现有以下结论：①APPF；②DE

；④

AEFS四边形PEFGSAPG °得到△ABHDE=BHDAE=∠BAHAN=AB，若△AEFEF为定值，进而问题可求解；对于⑤由③可得AP 2，进而可得△APG∽△AFE，然后可得相似比为AP 2，最后根据 ABCDPFAP∴由四边形内角和可得BAPBFPAPPF∴△AEF≌△AHF（SAS∵HFBHBFDEBFEFOBD∴OB=OD，BDAC∴AB 2AO∴OPOAAP 2 ∴OP

2BF2∵BPDPBPBMPM2OP∴PB

∴△ABF≌△ANF（AAS∵点P段OD上EF⑤由③可得AP 2 ∴GPAP 2 2 ∴ AGP 2 112S四边形PEFGSAPG，故⑤正确（2021•遂宁市）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：①ABFDBE；② ；③AFBD2BG2BHBD；⑤若CEDE13BHDH1716 22＝45°，根据等式的基本性质确定出ABFDBE；②再根据正方形的对角线等于边长 从而得到比例式，根据BE＝ 22CE=x，DE=3xBC=CD=4xBE2＝BH•BDBH，DH，即可∴ABFDBE∴BD＝AB，BE=∴BDBEABFDBE ∴BDB

又∵BE＝∴2BG2BHBD

⑤∵CE:DE1:CE2CE2x2

17x，BD17 174∴BH x4 ∴DH=BD-BH=42x172x152x ∴BH:DH17（2021•市）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC,BD相交于点O，点E，FBCCD的延长线上，且CE2DF1，GEF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长 【答案】2CHMGMH的长，最后利用勾【详解】解:如图,OK⊥BC，垂足∴CH ∵GEF∴GM1CE1，MC1FC1CDDF14152∴MHMC

5，Rt△MHGGH

MH2MH2322

132（2021•湖南省张家界市）如图,在正ABCD外取一点E,连接DEAECE,过点62作DE的垂线交AE于点P,若DEDP1,PC .下列结论:①APDCED623AECE；③点C到直线DE的距离为 .①②④3

，其中正确F FE EA，BEF＝AB，GAEFCDGE＝GF且∠①∠GEB与∠GFB②GAB，BC③GAD，DC④点G到边AB的距离的最大值为2 ①② （2021•广西贺州市）如图．在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BC3BE且BECF，AEBF，垂足为G，O是对角线BD的中点，连接OG、则OG的长为 85AEBF，AOBDABOGAGO=45，【详解】解：如图，连接OA1AB2

MOON

AOAO=ANNE12ABBCBEAB2AB2BE62621ABBE1AE ABBEABBE62tanEABBE2

35AG

95NGAGAG12910545Rt△ONGOG

4 28558.（2021•省黄石市）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、上，且

MAF

N若正方形的边长为2，则△CEF的周长 下列结论：①BM2DN2MN2；②若F是CD的中点，则tanAEF2；③连接MF，则 （认为所有．【答案 ①. ②.

，即可求出△CEF2，BE=xEF=x+1，CE=2-xRt△EFC中使用勾股定理求x，在利用∠AEF=∠AEB即可求解；对于③：证明A、M、F、D四点共圆，得到∠AFM=∠ADM=45°进而求解∵

，且? ∴EAG45AF在

和EAGEAFEAG=45∴EF=GEAD在FAD和GAB13AF∴? ?ADF+90∴ABG++90GBE∴EF=GE=GB+BE=DF+BE∴CDCEF=EF+EC+CF=(DF+BE)+EC+CF=(DF+CF)+(BE+EC)=CD+BC=，4在

和

BA中：2 AM+45=+45=

?

45，BM ∴?

?

?

RtDHNDNH2DH2DN2BM2DN2AN在MAN和DHAN中：MANHAN AM∴MNNHMN2NH2BM2DN2Rt△EFCEF2CF2CE2(x+1)2=12+(2-x)2x2BE2∴tan? tan?

AB=2?

∴A、M、F、D四点共圆∴△AMF为等腰直角三角形，故③正确；（2021•辽宁省本溪市）在ABCDÐBAD=DE平分ADC

E1EP22，当=90BBFEPAFAF 当=120APBE

，请直接写出VAPE

（2）（3）2

，交CD于点Q，根据已知条件证明

连接FC，过F作FMBC交CB的延长线于点M，由 ，AFFCRtFMC证明

，得 值，VAPE

积成比例，可得VAPE与CDG（1）如图,PE，交CD于点QBEQ

E12ABCDAEQDDEADEQAEAEQDAE△AEQAEAQ,AQEAB//CDCQEAEQAQCAQEEQC120,AEPEQ//AD，AD//BC，BEBCQECQPE=PE在VAPEAE

ACQAEPPEAPACFCFFMBC交CBABCDFEBBFFBE45，FBFEFBCFBEABC135FEA180BEFDEADE1ADC45AEABCDADAE在△AFE和CFBAEAEFEFADaABbAFFMBCFBMBFsinFEBEB

22MFMB1BE1(b RtFMCFC2FM2c2ba)2ba

2b2AF21(AD2AB2)2由（1）可知1BE= 2PEBEAEDEADEQAES△APE

△AEEGAE AEBE1AB1 AE= EG S△ADES△CGDS△APE:S△CDG3:4BG、CFCFAEFGCF、BECF、BEM、N，连MN、试探究：MNBE的关系，并说明理由；BE、BFBE、BFN、QQN，AE=6QN扫（2）

（3）2（1）AF、AC，证明CAF∽BAGBM=MHFH、EH，则可证BMC≌HMFHFBCBA形BEFC内角和为360可得BACHFE，则可证明 ，即BHE（1）ABBC,AGFG,BADGAECBAAGFAF、AC分别平分EAG且ABCAGF2ACAF2 2CFAC2 MCFMBCHF,BCMBCMCBEBEFEFCBCMABEAEBEFC3609090即HFMEFCABEAEB即HFEABEAEBBAEABEAEBBCABFH,EAMN//HE,MN12MNBHEB90,MN12MNBE,MN12ABO，OQ、ON，连接在

OQ12同理可得ON12AFAFOQ32,ONQNO32和3S322329AEB落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交HAE，CDG，MHC．AB＝3，BE＝1DBHEBC边上（端点除外）运动时，∠BHC【分析】(1)由折叠的性质得出∠BAG＝∠GAF＝∠BAF,B,F关于AE对称,证出股定理求出AE ,证明△AEB∽△ABG,得出比例线段,,可求AG,BG的长,方法一:连接BD,由锐角三角函数的定义求出,证明△BDF∽△CDH,由相似三【解答】(1)证明:∵将△ABEAEBF∵AHABCD是正方形∴∠EAH＝解:1,DH,DF,AH∴DHDBH的距离,由(1)AE2＝AB2+BE2,, , 即点D到直线BH的距离为 在Rt△HDF Rt△BCD中B,C,H,D四点共圆∴∠BHC1，在▱ABCD中，∠A＝45°，AD＝6，EADDF＝5，求四边ABFE（结果保留根号）2所示，现规划在河畔的一处滩ABCDEO、P、M、NBC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，CD＝OPMNOPMN面积的最小值及这时点NA的距离，请说明理由．【分析（1）过点A作AH⊥CD交CD的延长线于H，先求出AH＝3，同理EG＝（2）AECDKABCKAN＝xPC＝x米，BO＝2x米，BN＝（800﹣x）米，AM＝OC＝（1200﹣2x）米，MK＝2x（800﹣x）米，进而得出S四边形 （1）AAH⊥CDCDRt△ADH中，AD＝2， EAD∴S四边形 ﹣×5× ＝∴AK＝BC＝1200米，AB＝CK＝800AN＝xPC＝x米，BN＝（800﹣x）∴SOPMN＝S x＝350时，SOPMN最小＝470000（平方米垂足为F．将四边形CBEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°，得到四CB'E'F′，B′E′所在的直线分别交BC于点G，交直线AD于点PCD于点K．E′F′所在BCHADQB′FCDO．2QD①如图3，若BM∥F′B′交GP于点M，tan∠G＝，求的值GBD′（AAaGK＝PKPK可得结论．如图3中，延长B′F′交CH的延长线于R．由tan∠G＝tan∠F′CH＝＝，推出CH＝RH，B′F′＝RF′，可得CR＝2CH＝2x，S△CF′R＝2S△CF′2＝[ABCDBEFCBEFC①2∴△CGB′≌△CDF′（ASA ＝Rt△B′KC∴a2+（ ＝＝∴△PKD≌△GKC（AAS3B′FCH ＝∴＝＝＝∴＝＝＝∴＝（）2＝[]2＝ （2021•省）如题24图，在四边形ABCD中，AB

，AB

点E、F分别段BC、AD上，且EF ，ABAF，CDDECFFBAD为直径的圆与BC若EF2

，求

（1）

，设DCFDFCFDC1802QCD 又QABAF，ABFAFB1802902CFB180CFDBFA CFBF 2AD中点O，过点OOMBCQAB又QOM

， ，，，MBCOM1 QADAFDF又QAFAB，DF ADABCD2OM∴OM1AD2又Q ADBCD60，A120， 又Q 由（2）CFB90EFB30QEF2，在Rt△BFE中BEEFtan30233在Rt△CEF中CEEFtan6023DAEFEFMN ，AB∥EFCEDM

，BEAN23333S△ADES△EFD1EFDM1EF 1EF2122323 833

ABCACB90ACBCD BCDEFBEAFBF

如图2，连接AE，点P、M、N分别为线段ACAEEF的中点，连接PMMN、PN．求PMN的度数 的值在（2）BC

2

（2）（3） 的比值即可求得 PPQNM的延长线于点Q

1MNPQ2CE，可得关系

1CE2，观察图象，当CE8

∴AB

,ABCBACBE垂直于射线CD,∴BEF,EF∴FB 2EB,FBEEFBABF2又ABBF2 ABF∽ABF∽

EF ，MN

，PM

1CE,MN1 ∴ABF∽ABF∽

∴AFBCEBEFB45∴EFAAFBBFE45∴MPN+MNPMPN+MNP+PMN45∴451MN=

1 2ABF∽ABF∽2∴AF=AB2 2∴MN2PPQNM的延长线于点QPMQ45PQ

2PM2

1PQPQ11AF 2PM 2AF1CE 2AF 2822BC2∴AF

∴

22CE21

∴当CE取得最大值时，PMNBEBEEBCBC当CECB

∴S=12=1 （2021•浙江省嘉兴市）在学习浙教版九上第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°，得到矩形AB′C′D′，连BD．[1]1α＝90CDBAB＝1BC的长．3，发现线DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．程，求出x的值即可得出答案；连接DDA'D'D（SS∠'A'＝ADDD＝∠D'DDD'＝M'DAMAD'M≌△AD（SSS（1）ABCDA90C'DB解得 ，x2＝（不合题意，舍去 ∴△AC'D'≌△DAB（SAS（3）MN2＝PN•DN．3AM，∴△AD'M≌△ADM（SSS在△NAP和△NDAPEBDQ，若△DEQDF由对称可得△DEF30°直角三角形（1）PBDABCDEAD（2）①由对称可得，EF∴△DEF②∴△DEF∴DF2∵EF过点F作FM⊥AD于点M，设EM＝a,DM＝∵EF过点F作FM⊥AD于点M，设EM＝a,DM＝∴DFF左侧AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAFABE≌△CDF（AA 在△ABE和△CDF，∴△ABE≌△CDF（AAS（2）解：在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝，AE＝4aBE＝4a，（3a3+（a）252，解得：a＝1a＝﹣2（舍去，∴52＝x（x+4解得：x＝﹣5或x＝﹣,（舍去即EF＝﹣2，由（1）EF＝AE，FH⊥BH．AB＝3，BE＝xxDF从而△ABE≌△EHFEH＝AB＝BCCH＝BE；（2）DFFFP⊥CDPPCHF在△ABE和△EHF，∴△ABE≌△EHF（AAS（2）DFFFP⊥CDPPCHF是矩形，PCHFCFBAAF＝CE．2EFADKDDH⊥EFHDH①②若 ，求HE的长（2）① （2）①根据（1）中结果及题意，证明△DFE

CD DCEDAF90又CEAF

DE CDEADFDFE HEFHD1EF2

是

HB1EF2HDHBCDCB又HD CHCHDCHBCH45． ABCDAD//BCDKDF DKHCDFHE．

DF

2HF

DKHC HEDEBFBOEDF∥BE，DF＝BEDEBF为平行四边形，根据对角线互相垂（2）FFG⊥ABGAD、AB的长度，从而得到∠ABD＝30°，根据菱形性质得到△BEFAGGF的长度，AF的长．在△BOE和△DOF，DEBFDEBF（2）FFG⊥ABGRt△ABDAD＝4，AB＝8，DEBF∴△BEFRt△BGFRt△AGF中，AG＝6， ＝4

，C90ADBABD1BDCDEBCEEEF2

FEFEC

若AD4， 的面积3（2）3（1）先利用角平分线判定定理证得12，再由已知角的等量关系推出ABD1ABDE，则可证明四边形ADBABDABAD

是平行四边形，最后由（2）DEBEAD4，再根据角的等量关系求出2303利用三角函数求得CDDEcos303

∵C90∴ECDC又∵EF ，且EFECDE为∠BDC∴12∵ADB1BDC2∴ADB∵ADBABD∴ABD∴AB//DEAD

∵ADBABD∴ABAD

∴DEBEAD4∵AD//BC，C

又∵1 ∴233∴CDDEcos30 33∴

1BECD143 3

（2021•江苏省无锡市）ABCD1EBC上的AEBCAEF，∠AEF＝90BE如图，若点E段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结②在△PQEQEhmhhBCBCAEFy，请ym的关系式．＝，EG＝AB＝BC，则EG﹣EC＝BC﹣EC，即CG＝BE＝，再在Rt△CGF中，即可求CF＝；P＝m（1﹣m（2）分两种情况：①当m＜时，由△ABE∽△ECP，可求HG＝﹣m2+m，根据MG∥EC2+CQ2＝EQ2②当m＞时，由MG∥AB，可得 ，同①可得MN＝ ，即得 （1）①ABCD在△ABE和△EGF，∴△ABE≌△EGF（AAS∴EG﹣EC＝BC﹣EC，即CG＝BE＝，在Rt△CGF中，CF＝ ②△ABEA90°，得△ADE'PPH⊥EQH∵△ABEA90在△EAQ和△E'AQ中，，∴△EAQ≌△E'AQ（SAS∴∠QEP＝90°﹣∠AEQ＝90°﹣∠AEB＝∠CEPEF是∠QEC的平分线，∴＝，即＝∴CP＝m（1﹣m∴PH＝h＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+∴m＝时，h最大值是 ， ＝∵MG∥CD，GBC∴MN为△ADQ由（1）Rt△EQC解得x＝， ， ＝ 同①可得MN＝ （2021•齐齐哈尔市）综合与实数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．可以激发我们的学习，提高动ABCDAB、ADACAE、AFEF1． ，写出图中两个等腰三角形 1中的

BD2中的PAQAP、AQBDM BM2DN2MN2

（2）（3） （4）（1）

DAFFAC,BAEEAC

，根据正方形的性质：

ABBCCDADABC,ABC,

，则EAF1BAD452如图：将△ADQ顺时针旋转90，证明△APQ≌△APQ证明△ACQABM根据半角模型，将△ADN顺时针旋转90MNDNBN

（1）DAFFACBAE

ADCBAD2FACEAF1 如图：将△ADQ顺时针旋转90AQAQDQBQDAQ由（1）中结论可得PAQBAPDAQBAQBAPPAQ在APQ和△APQAPPAQAQPQPQBQPQDQBD,BD,AC

PAQBAM45PAC，CAQ45BAM△ABM

如图：将△ADN顺时针旋转90由（2）中的结论可证MND45,ABDDABN45DNMBNABDABNRt△MBNBM2BN2MNBM2DN2MN（2021•）在正方形ABCD中，等腰直角△AEF，AFE90，连接CE，HCEBHBFHF

和HBF为定值

；②HBF ACBDO