《高等数学》教案 01 函 数

微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分.冯.诺伊曼注：冯.诺依曼（JohnvonNeumann，1903-1957，匈牙利人），20世纪最杰出的数学家之一，在纯粹数学、应用数学、计算数学等许多分支，从集合论、数学基础到量子理论与算子理论等作多方面，他都作出了重要贡献.他与经济学家合著的《博弈论与经济行为》奠定了对策论的基础，他发明的“流程图”沟通了数学语言与计算机语言，制造了第一台计算机，被人称为“计算机之父”.第一章函数、极限与连续函数是现代数学的基本概念之一，是高等数学的主要研究对象.极限概念是微积分的理论基础，极限方法是微积分的基本分析方法，因此，掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键.连续是函数的一个重要性态.本章将介绍函数、极限与连续的基本知识和有关的基本方法，为今后的学习打下必要的基础.第一节函数概念在现实世界中，一切事物都在一定的空间中运动着.17世纪初，数学首先从对运动（如天文、航海问题等）的研究中引出了函数这个基本概念.在那以后的二百多年里，这个概念在几乎所有的科学研究工作中占据了中心位置.本节将介绍函数的概念、函数关系的构建与函数的特性.内容分布图示★集合的概念 ★集合的运算 ★运算规律★区间 ★邻域★函数概念★例1★例2★例3★例4★例5★函数的表示法 ★分段函数举例 ★例6★函数关系的建立★例7★例8函数的特性★有界性 ★例9★单调性★例10★奇偶性★例11★例12★周期性★例13★例14★内容小结 ★课堂练习★习题1-1 ★返回内容要点：一、集合：集合的概念；集合的表示；集合之间的关系；集合的基本运算；区间；邻域；二、函数的概念：函数是描述变量间相互依赖关系的一种数学模型.函数的定义、函数的图形、函数的表示法三、函数关系的建立：为解决实际应用问题,首先要将该问题量化,从而建立起该问题的数学模型,即建立函数关系；四、函数特性：函数的有界性；函数的单调性；函数的奇偶性；函数的周期性.例题选讲：函数举例例1函数.定义域,值域例2（讲义例1）绝对值函数例3判断下面函数是否相同,并说明理由.(1)与(2)与.分段函数举例在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的表达方式来表示的函数,称为分段函数.(1)(讲义例2)符号函数(2)(讲义例3)取整函数,其中,表示不超过的最大整数.(3)(讲义例4)狄利克雷函数（4）函数例4求函数的定义域.例5求函数的定义域.例6设求函数的定义域.例7(讲义例5)某工厂生产某型号车床,年产量为a台,分若干批进行生产,每批生产准备费为b元,设产品均匀投入市场,且上一批用完后立即生产下一批,即平均库存量为批量的一半.设每年每台库存费为c元.显然,生产批量大则库存费高;生产批量少则批数增多,因而生产准备费高.为了选择最优批量,试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.例8(讲义例6)某运输公司规定货物的吨公里运价为:在a公里以内,每公里k元,超过部分公里为元.求运价m和里程s之间的函数关系.例9证明(1)函数在上是有界的.(讲义例7)(2)函数在上是无界的.例10(讲义例8)证明函数在内是单调增加的函数.例11(讲义例9)判断函数的奇偶性.例12判断函数的奇偶性.例13(讲义例10)设求.并讨论其